基于模糊PID算法的平衡車自適應(yīng)控制

摘 要：為解決兩輪平衡車在行駛中控制難度大的問題，設(shè)計了一種非基于模型的比例積分微分（PID）控制策略，避免了基于模型的現(xiàn)代控制方案中存在的設(shè)計過程繁雜的問題。針對PID控制穩(wěn)定性低、自適應(yīng)性差的問題，本實驗進一步優(yōu)化出了以位移為反饋的模糊PID控制器。根據(jù)平衡車的物理結(jié)構(gòu)，對其進行了數(shù)學(xué)建模；基于系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，對其作了可控性分析。傳統(tǒng)PID存在的一項艱巨任務(wù)是確定控制器的參數(shù)，且一旦確定了參數(shù)，就很難再重新整定它，故本實驗設(shè)計了模糊邏輯控制器（FLC）以更新PID的權(quán)重參數(shù) -Kp，Ki和Kd。通過Matlab仿真對比驗證，本實驗得到了PID及模糊PID兩種控制方案下系統(tǒng)的響應(yīng)與信號跟蹤情況，模糊PID控制相比PID控制具有更好的控制效果：系統(tǒng)的調(diào)節(jié)速度提高了60%左右，穩(wěn)定性提高了將近50%。在平衡車的負(fù)載重量發(fā)生變化的時候，傳統(tǒng)PID控制難以避免地出現(xiàn)階躍響應(yīng)波動明顯的情況，而模糊PID的系統(tǒng)響應(yīng)相對平穩(wěn)。因此，模糊PID控制下的平衡車系統(tǒng)可實現(xiàn)不同承載情況下位移的準(zhǔn)確跟蹤，滿足了平衡車對系統(tǒng)穩(wěn)、快、準(zhǔn)的要求。

關(guān)鍵詞：模糊 PID 平衡車 仿真 自適應(yīng)

0 引言

此實驗中系統(tǒng)的被控對象為平衡車，它的模型相當(dāng)于一個倒立擺系統(tǒng)[1-2]。然而，這個倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的：如果沒有電動推車的輸入控制電壓，擺桿則會輕易地掉落。倒立擺的平衡狀態(tài)需要靠電動推車的移動來維持。另外，該系統(tǒng)的動力學(xué)是非線性的。在國內(nèi)外研究中，這個控制系統(tǒng)的平衡可通過各種算法來實現(xiàn)[3-4]。

在控制工程實際應(yīng)用中，尤其對于先進控制方案的需求而言，大多數(shù)實際過程控制通常都很復(fù)雜，且難以建模。在實際應(yīng)用場景中，隨著負(fù)荷變化或工況影響，平衡車的模型特性參數(shù)或結(jié)構(gòu)也會發(fā)生改變。在平衡車控制問題研究中，前人嘗試了各種基于模型的自適應(yīng)控制方法，如滑?？刂?、模型預(yù)測控制等；自適應(yīng)控制運用現(xiàn)代控制理論在線辨識對象特征參數(shù)，實時改變其控制策略，使控制系統(tǒng)品質(zhì)指標(biāo)保持在最佳范圍內(nèi)，但其控制效果的好壞很大程度上取決于辨識模型的精度，這對于復(fù)雜系統(tǒng)而言是非常困難的。由于被控對象的數(shù)學(xué)模型無法精確確定， 控制器的整定參數(shù)便無法隨環(huán)境的變化而改變，致使控制效果難以一直保持最優(yōu)，且會導(dǎo)致過大的超調(diào)和振蕩；然而，PID相對容易簡單，且能快速解決問題；因此，本實驗基于 PID 算法進行了控制器設(shè)計；PID參數(shù)的整定方法很多，但大多數(shù)都以對象特性為基礎(chǔ)。

在傳統(tǒng)的PID控制中，存在一項艱巨的任務(wù)就是確定控制器的參數(shù)。而且，一旦確定了參數(shù)，就很難再重新整定它。PID控制器可能會以多種方式進行調(diào)整，包括手工調(diào)整、Ziegler-Nichols調(diào)整等；然而，傳統(tǒng)的PID控制器的適應(yīng)性不是很強。為解決此問題，本實驗使用了模糊邏輯控制器（FLC）更新PID的權(quán)重 - Kp，Ki，Kd[5]。新的權(quán)重使得系統(tǒng)的控制性能表現(xiàn)出更加良好的效果，系統(tǒng)的適應(yīng)性也得到了顯著的提高。[6]

由于在平衡車實際控制過程中各種輸入輸出信號量及評估參數(shù)不易進行定量表示，模糊控制理論為解決這一難題提供了有效方法；因此，本實驗運用了模糊控制理論及其方法，把控制規(guī)則的條件、操作等通過模糊集來進行表示，并把與控制相關(guān)的模糊控制規(guī)則及有關(guān)信息作為知識存入控制器的知識庫中，然后控制器根據(jù)系統(tǒng)的實際響應(yīng)情況，自適應(yīng)地運用模糊邏輯，便可實現(xiàn)對 PID 參數(shù)的自動最優(yōu)化調(diào)整，這就是模糊 PID 控制實現(xiàn)平衡車自適應(yīng)的原理。

1 平衡車的倒立擺模型

1.1 系統(tǒng)的建模過程

平衡車的平衡原理[7]是基于倒立擺[8]的基本運動原理：通過控制桿底部的運動來使擺桿重新豎立起來。在平衡車中，擺桿相當(dāng)于車身，而桿底部的運動則由電動推車的電機來控制。當(dāng)小車傾斜時，控制系統(tǒng)會進行判斷，且根據(jù)擺桿的傾斜程度來調(diào)整電機的輸出電壓，使得小車朝著恢復(fù)平衡的方向運動。具體來說，如果小車向前傾斜，控制系統(tǒng)會增加電機的輸出電壓，使得小車向前運動，從而恢復(fù)平衡。如果小車向后傾斜，則減緩電機電壓的輸出，使得小車向后運動，從而恢復(fù)擺桿的平衡[9-10]。

在這種情況下，我們將考慮一個二維空間中的運動問題，將擺桿的運動范圍限制在圖1中所示的垂直平面中。在該系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸入是水平力F，輸出是擺桿θ的角度位置和電動推車 x的水平位置[11-12]。

本實驗對模型設(shè)置了以下參數(shù)：

M：電動推車的質(zhì)量

m：擺桿的質(zhì)量

b：電動推車的摩擦系數(shù)

l：擺桿質(zhì)量中心到連結(jié)處的長度

I：擺桿的轉(zhuǎn)動慣量

F：施加到平衡車的力

x：平衡車位置

θ：擺桿的擺角。

1.2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

基于平衡車系統(tǒng)的（F，施加到平衡車的力）輸入數(shù)據(jù)和（x，平衡車位置）輸出數(shù)據(jù)，本實驗通過系統(tǒng)辨識方法獲得被控物理系統(tǒng)的近似數(shù)學(xué)模型：

1.3 傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間的轉(zhuǎn)換

傳遞函數(shù)僅描述了輸入和輸出之間的關(guān)系。因此，傳函不是很便于分析其系統(tǒng)的內(nèi)部屬性。為了方便起見，一個較好的解決方案是把傳遞函數(shù)（1）轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間方程的形式[13]。所以：

明顯地，可得到以下形式：

為了得到狀態(tài)空間方程，我們令X1=Z，X2=Z，...，Xn=Z（N-1），所以可得到

在這個矩陣中，我們得到：

這里，In-1為單位矩陣。

現(xiàn)在，我們可以將被控對象的傳遞函數(shù)（1）轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式：

在這里，

1.4 系統(tǒng)可控性分析

為了獲得理想的結(jié)果，我們希望在使用狀態(tài)反饋過程放置特征根，以證明該系統(tǒng)是完全可控。如果放置特征根從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的任何狀態(tài)都能實現(xiàn)，則該系統(tǒng)是完全可控的[14]。

在方程（6）中，可控性矩陣可以被定義為：

根據(jù)可控性理論，只有滿足以下條件，這個系統(tǒng)才是可控的：

在以上系統(tǒng)中，該可控矩陣的秩為：

所以，該系統(tǒng)是可控的。

2 控制方案設(shè)計

2.1 PID控制器設(shè)計

PID控制方案以其三個參數(shù)術(shù)語命名，其總和構(gòu)成了輸出控制變量[15-17]。比例，積分和微分的組合求和可計算PID控制器的輸出[18-20]。這里將ut定義為控制器輸出，PID算法的最終形式是：

在以上公式中，Kp是比例增益，Ki是積分增益，而Kd是微分增益。另外，e（t）表示誤差，t是時間變量，τ是積分部分的變量，該變量的值從0到當(dāng)前時間t之間變化。

在平衡車中，PID 的作用如下：

比例Kp：比例控制器根據(jù)小車的位移來調(diào)整電機的輸出。位移偏差越大，比例控制器輸出的控制量也越大，從而快速地使小車向平衡位置移動。

積分Ki：積分控制器用于消除小車在平衡位置附近的靜態(tài)誤差。如果存在靜態(tài)誤差，積分控制器會根據(jù)誤差的積分來調(diào)整電機的輸出，使得小車能夠準(zhǔn)確地保持在平衡位置。

微分Kd：微分控制器用于提高小車系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調(diào)和振蕩。通過位移偏差的變化率，微分控制器可以調(diào)整電機的輸出，使得小車的運動更加平穩(wěn)。

PID 控制器在平衡小車中的參數(shù)需要經(jīng)過實驗和調(diào)試來確定，通常需要根據(jù)小車的動力學(xué)特性和傳感器的反饋來進行調(diào)整。通過合理地調(diào)整 PID 參數(shù)，可以使平衡小車能夠快速、穩(wěn)定地實現(xiàn)自動平衡，從而實現(xiàn)精準(zhǔn)的控制和運動。

對于該系統(tǒng)，PID不同的部分對系統(tǒng)的控制效果具有不同的影響。下表描述了PID各個參數(shù)對系統(tǒng)總體的影響：

基于此策略，控制系統(tǒng)的總體設(shè)計框圖２如圖所示。

為了獲得最佳PID控制參數(shù)，該解決方案之一由線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR）提供，這是一個反饋控制器，其方程式在下面給出。根據(jù)連續(xù)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程（6），其代價函數(shù)定義為：

最佳控制方法是定義性能索引（代價函數(shù)），并搜索最小化該索引的控制u= -Kx。 Q是n×n對稱半正定矩陣，R是M×M對稱正定矩陣。

令，，Ｒ＝１

在Matlab中，我們可使用指令ｋ=lqr（A，B，Q，R）求解以上方程。在以上求解基礎(chǔ)上，我們便可得到KP，Ki，和Kd的最優(yōu)解。

2.2 模糊PID控制器設(shè)計

為解決傳統(tǒng)的PID控制器適應(yīng)性差問題，本實驗使用模糊邏輯控制器（FLC）更新PID的權(quán)重 - KP，Ki和Kd。

組合式的模糊PID控制器如圖所示，輸入r是平衡車所需到達的位置，并且輸出y是小車實際的位置。使用反饋，我們可以獲得系統(tǒng)輸出誤差的輸入和輸出。然后，誤差和誤差的微分可作為模糊控制器的輸入，它決定了 KP，Ki和Kd的更新范圍。

根據(jù) KP，Ki，和Kd不同功能，我們在定義模糊規(guī)則時使用的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)的性能增加或減少 KP，Ki，和Kd的值。例如，如果響應(yīng)太慢，我們可以增加比例KP的數(shù)值和積分Ki的數(shù)值；或者，如果誤差很大，我們也可以做類似的整定。因此，本實驗制定了表2的模糊規(guī)則。

其中，NB，NM，NS，Z，PS，PM和PB分別是負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大。這些分別是隸屬函數(shù)的輸入和輸出。同理，我們也可以制定?Ki和?Kd的模糊規(guī)則。

2.3 定義隸屬函數(shù)

如表2所示，模糊邏輯塊中有兩個輸入隸屬函數(shù)，誤差（e）和誤差變化（ec）和三個輸出隸屬函數(shù)，P參數(shù)的變化（?KP），I參數(shù)的變化（?Ki）以及D參數(shù)的變化（?Kd）。模糊塊考慮了與輸入數(shù)據(jù)匹配的模糊規(guī)則。因此，設(shè)計模糊控制器時采取的關(guān)鍵步驟是確定哪些變量的狀態(tài)影響了系統(tǒng)動態(tài)性能，必須將其視為對控制器的輸入信號。隸屬函數(shù)在以下圖4至圖8中定義。

3 仿真與結(jié)果分析

基于e和ce，?KP、?Ki，和?Kd在不同時刻持續(xù)變化，以實現(xiàn)系統(tǒng)的良好動態(tài)和靜態(tài)控制性能。最后，本實驗獲得了PID控制參數(shù)的值。通常，根據(jù)e和ce的不同值，控制器需要不同的PID參數(shù)設(shè)置。模糊PID控制的設(shè)計目標(biāo)是提高穩(wěn)態(tài)控制精度，同時也不會太過于影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。

根據(jù)平衡車的負(fù)載重量，針對不同承載情況所需的PID參數(shù)，模糊控制器可優(yōu)化出對應(yīng)的?KP、?Ki，和?Kd：

不同承載情況下，傳統(tǒng)PID與模糊PID的控制仿真結(jié)果如下：

顯然，在圖10中，這兩個系統(tǒng)中的性能都是比較完美的，因此我們不易觀察及計算哪個系統(tǒng)的誤差較小。因此，由于誤差太小，一個相對好的解決方案是將兩種控制器的輸出信號與同一個階躍信號比較。通過對比，我們可以得到：模糊PID的誤差小于傳統(tǒng)PID控制的誤差。此外，我們還可以計算他們的平均誤差，并且清晰地獲取到他們各自的系統(tǒng)響應(yīng)情況。我們綜合比較圖10、11及12這三種情況，得到系統(tǒng)在模糊PID控制中得到的系統(tǒng)平均誤差為：

平均誤差1 = 2.3154 ×10-6。

傳統(tǒng)PID控制下得到的系統(tǒng)平均誤差為：

平均誤差2 = 4.5560 ×10-6。

為了進行比較，表3總結(jié)了兩個控制方案的控制結(jié)果。通過對比發(fā)現(xiàn)，模糊PID控制不僅可以實現(xiàn)比PID控制器更準(zhǔn)確得控制效果，而且還可以大大提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。這個良好效果的實現(xiàn)是由控制器設(shè)計中的模糊控制規(guī)則發(fā)揮作用的，該規(guī)則用于修改PID參數(shù)，使系統(tǒng)具有良好的自學(xué)習(xí)能力和適應(yīng)性。模糊PID控制的唯一問題是，它需要比傳統(tǒng)PID控制方法承擔(dān)更繁重的計算量，這對微處理器芯片所需的算力也提出了更好的要求。

數(shù)值仿真研究結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的PID控制相比，模糊PID控制表現(xiàn)出更高的控制精度。模糊控制器的自我調(diào)整和在線更新功能在這個過程中發(fā)揮了核心作用。模糊控制規(guī)則經(jīng)過精心調(diào)整以產(chǎn)生盡可能小的超調(diào)、更小的穩(wěn)態(tài)誤差，以及更小的調(diào)節(jié)時間。這表明，模糊控制的挑戰(zhàn)在于調(diào)整這些控制規(guī)則。為了滿足更高控制要求，更多的經(jīng)驗需要融入到模糊規(guī)則的設(shè)計與制定中。

4 結(jié)束語

本實驗針對平衡車對行駛運動的要求，將模糊PID組合式控制策略運用到了車身的平穩(wěn)控制中。Matlab仿真實驗表明，模糊PID相比于傳統(tǒng)PID表現(xiàn)出了調(diào)節(jié)速度更快、穩(wěn)定性更好的效果。當(dāng)平衡車的承載情況變化時，PID控制下的系統(tǒng)階躍響應(yīng)會有明顯變化，而模糊PID控制下的效果較好，這說明模糊PID控制具有較好的自適應(yīng)能力，保證了系統(tǒng)所需設(shè)計要求的同時，并最大程度地減少系統(tǒng)誤差。通過本實驗，我們可以通過模糊邏輯將人類經(jīng)驗轉(zhuǎn)移到計算機語言中，實現(xiàn)人類經(jīng)驗和強大計算能力的完美結(jié)合。在這個過程中，我們的關(guān)鍵問題是如何定義這些模糊規(guī)則和設(shè)計隸屬函數(shù)，以滿足的系統(tǒng)的功能需求。我們可以繼續(xù)嘗試使用多種方式，例如查表法，梯度下降訓(xùn)練或遞歸最小二乘法等；這些將會是本課題下一階段工作中需要學(xué)習(xí)和研究的內(nèi)容。

基金項目：（1）2023年國家級職業(yè)教育教師教學(xué)創(chuàng)新團隊特色項目（CXTD005）（2）廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項目（2023KQNCX187）；（3）廣東省高等職業(yè)院校交通運輸類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會教育教學(xué)改革與研究項目（JTYSJZW2023A01）；（4）2024校級大學(xué)生科技課題（GDCP-ZX-2024-026-N2）。

參考文獻：

[1]黃俊民，肖翔.基于PID的自平衡車控制系統(tǒng)設(shè)計[J].裝備制造技術(shù)，2024（05）：125-127+143.

[2]易奎辰，曾紅兵，梁津銘，等.考慮時滯的自平衡車控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2024，38（02）：33-40.

[3]馬一凡.基于自適應(yīng)PID的雙輪自平衡車數(shù)學(xué)建模[J].華東科技，2023（02）：109-111.

[4]劉澤偉，馮靖靖，李婉鈺，等.多回路PID控制下的兩輪平衡車系統(tǒng)設(shè)計[J].自動化儀表，2022，43（11）：19-23+28.

[5]任紅格，吳啟隆，史濤.OC學(xué)習(xí)機制的兩輪平衡車模糊自平衡控制[J].機械設(shè)計與制造，2023（05）：283-286.

[6]羅燦.基于自適應(yīng)模糊PID的雙輪自平衡車的控制系統(tǒng)研究[D].長春：吉林大學(xué)，2018.

[7]王子浩，王健.基于STM32的藍牙平衡小車系統(tǒng)設(shè)計[J].電子世界，2020（09）：172-173.

[8]許東昌.基于DSP兩輪移動倒立擺小車在平衡控制中的應(yīng)用研究[D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2016.

[9]莊治強.基于Freescale小車的智能控制算法研究[D].蘭州：西北師范大學(xué)，2016-2017.

[10]王躍.基于STM32的自平衡小車PID控制算法研究[J].電腦與電信，2022（09）：63-68.

[11]陶言侃.雙輪自平衡機器人設(shè)計及軌跡跟蹤控制研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2020.

[12]張鑫炎.兩輪自平衡小車的平衡控制及軌跡跟蹤問題研究[D].沈陽：東北大學(xué)，2020.

[13]陳愛琢，張從佳，周楊林，等.基于動態(tài)可重構(gòu)電池網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)空間模型的電池荷電狀態(tài)估計[J/OL].中國電機工程學(xué)報，1-14[2024-10-07].https：//doi.org/10.13334/j.0258-8013.pcsee.232151.

[14]吉紅，王穎麗，趙忠義，等.基于二級倒立擺的數(shù)學(xué)建模及系統(tǒng)性能分析[J].機械設(shè)計，2023，40（07）：137-142.

[15]陳慧蓉，丁美玲.基于模糊PID控制算法的溫度控制系統(tǒng)[J].科技創(chuàng)新與生產(chǎn)力，2024，45（09）：103-105+109.

[16]俞飛，陸曉強，王蘭群.基于模糊PID算法的閥門電動執(zhí)行器控制方法[J].機械管理開發(fā)，2024，39（08）：20-22.

[17]吳文進，吳晶，郭海婷，等.基于變論域模糊PID算法的鋰電池組級聯(lián)式均衡控制[J/OL].電子測量與儀器學(xué)報，1-9[2024-10-07].http：//kns.cnki.net/kcms/detail/11.2488.tn.20240830.0851.004.html.

[18]毛清華，陳彥璋，馬騁，等.基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID的煤礦掘進機俯仰控制研究[J].工礦自動化，2024，50（08）：135-143.

[19]周玉康，曾妍，黎穎，等.基于先進傳感與控制技術(shù)的外骨骼機器人設(shè)計[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2024，14（25）：9-12.

[20]杜家杰，金振華，趙鳳，等.免疫分析儀精密移液控制技術(shù)設(shè)計[J].現(xiàn)代儀器與醫(yī)療，2024，30（04）：46-50.