小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中學(xué)生“模型意識”培養(yǎng)的實踐研究

［摘 要］ 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是發(fā)展學(xué)生模型意識的依托。研究者以“速度、時間與路程”的概念教學(xué)為例，分別從“緊扣核心概念認(rèn)識速度”“結(jié)合生活厘清概念關(guān)系”“立足問題解決構(gòu)建模型”三個方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計與思考。

［關(guān)鍵詞］ 模型；概念；教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）提出：小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型意識指學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的初步感知與感悟，要求學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)模型具有解決一類問題的作用，并體會生活實際中的大量問題都可用數(shù)學(xué)知識來解決。從學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律來看，小學(xué)生的模型意識比較薄弱，因為缺少經(jīng)歷建模過程而缺乏經(jīng)驗，難以從真正意義上體會模型所具備的價值。概念作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是培育數(shù)學(xué)模型意識的契機。筆者以“速度、時間與路程”的概念教學(xué)為例，談?wù)勅绾谓W(xué)生的模型意識。

一、教學(xué)過程設(shè)計

1. 緊扣核心概念認(rèn)識速度

（1）情境激發(fā)認(rèn)知沖突

上課伊始，教師借助課件展示一幅關(guān)于“比一比，誰走得快”的圖：小明與小亮需要走8分鐘到學(xué)校，小光需要走6分鐘到學(xué)校，要求學(xué)生通過觀察，思考誰走得更快一些。

生（齊聲答）：小光走得快。

師：理由是什么？

生1：他只花了6分鐘就到了學(xué)校，6比8小，所以他走得最快。

師：有沒有不同的意見？

生2：小光雖然去學(xué)?；ǖ臅r間少，但有可能他家離學(xué)校近，因此不能判斷他走得最快。

（學(xué)生點頭）

生3：這三名同學(xué)的家與學(xué)校的距離有可能不一樣。

師：為什么用“有可能”這個詞語？

生3：因為圖中并沒有明確標(biāo)示每一個學(xué)生與學(xué)校的距離是多少，那么就不能確定三名同學(xué)的家與學(xué)校距離的確切數(shù)據(jù)，有可能是500米，也有可能是600米等。

師：確實！家與學(xué)校的距離可以用一個數(shù)學(xué)術(shù)語來表達(dá)，誰知道是什么詞？

生4：路程，即表示學(xué)生家和學(xué)校之間這段路的長度。

師：表述得很清晰，從現(xiàn)有的條件來看，我們知道了時間并不能判斷哪個同學(xué)走得最快，因此我們還需要知道什么條件才能進(jìn)行判斷？

生5：要明確每一名同學(xué)的家與學(xué)校的距離，也就是“路程”的數(shù)值。

設(shè)計意圖：借助多媒體進(jìn)行情境展示是概念教學(xué)的基本手段，也是激發(fā)學(xué)生探索興趣的重要方式。三名學(xué)生步行去學(xué)校的情境與學(xué)生的生活經(jīng)驗息息相關(guān)，由此成功揭示本節(jié)課的重要內(nèi)容，即“時間”與“路程”這兩個核心概念，為“速度”的提煉作鋪墊。

在師生和諧的溝通中，學(xué)生不僅體會到探索“速度”必須在明確時間與路程的基礎(chǔ)上進(jìn)行，還發(fā)現(xiàn)“速度”受“時間與路程”的制約。當(dāng)然，這對學(xué)生而言是一個挑戰(zhàn)，因此這是本節(jié)課教學(xué)的重點與難點。

（2）問題解決構(gòu)建概念

師：現(xiàn)在我們一起來看課件，圖中展示小光的家與學(xué)校的距離是480米，小明的家與學(xué)校的距離為720米，小亮的家與學(xué)校的距離是480米。請大家以列表的形式，將關(guān)鍵信息提取出來。

如表1，學(xué)生提取了關(guān)鍵信息，表示在知道“時間與路程”的情況下要比較誰走得更快，需要進(jìn)一步計算。列式為：小明720÷8=90（米/分），小光480÷6=80（米/分），小亮480÷8=60（米/分）。由此判斷小明走得最快，小光次之，小亮走得最慢。

師：先前不少同學(xué)認(rèn)為小光走得最快，因為他只花了6分鐘，但通過計算發(fā)現(xiàn)小明走得最快。請大家思i2i3IhpwQJXTDOhK0RFhkKlazHaircMy8JHF0ALKA3s=考一下，列式計算后比的是什么？

生6：比的是這三名同學(xué)每分鐘走的路程是多少，小光雖然花的時間少，但他的路程短，因此他并不是走得最快的。

生7：簡而言之，比1分鐘所走的路程。

師：不錯，因為路程不一樣，即使花同樣的時間去走，也不能判斷兩個人走得一樣快。想要判斷誰走得快，在知道路程的背景下，需要比較1分鐘的路程。那么怎么確定1分鐘的路程呢？

生8：路程除以時間就能獲得1分鐘所走的路程。

為了讓學(xué)生深刻理解這部分關(guān)系，教師邊畫圖、邊解說：小明花了8分鐘，走了720米，列式為720÷8=90（米/分），就是將720平分為8份，所獲得的每1份就是走1分鐘的路程。以此類推其他兩名同學(xué)1分鐘所行走的路程，將所得到的結(jié)論進(jìn)行比較更公平，誰來說說理由？

生9：如此計算，不論路程與時間是多少，都能通過1分鐘的路程對誰走得快進(jìn)行比較，這種方法更公平。

師：1分鐘的路程我們可以用一個詞來描述——速度，通過以上分析，誰來說說你對速度的理解？

生10：1分鐘行走的路程即速度。

生11：路程除以時間就能獲得相應(yīng)的速度。

師：非常好！當(dāng)我們對不同路程與不同時間無法比較行走的快慢時，就需要借助“速度”進(jìn)行比較。此時你們對“速度”是怎么理解的？（板書：速度）

生12：速度就是一把標(biāo)尺，具有公平性。

生13：對于快慢的比較，實測為速度的比較。

生14：當(dāng)我們進(jìn)行快慢的比較時，不僅要看路程，還要根據(jù)所耗費的時間，以獲得速度。

設(shè)計意圖：在明確“路程”的基礎(chǔ)上，教師鼓勵學(xué)生自主比較速度快慢，促使學(xué)生厘清比較速度快慢的本質(zhì)就是將“1分鐘所行走的路程”視為標(biāo)尺，這把標(biāo)尺的名稱為“速度”。學(xué)生若探尋出這把衡量速度快慢的標(biāo)尺，則成功獲取了“速度”的概念，使得核心概念由此形成?！八俣取笔怯蓪W(xué)生自己根據(jù)實際情境提取的，因此在理解上更加深刻，為“路程=速度×?xí)r間”這個模型的構(gòu)建夯實了基礎(chǔ)。

2. 結(jié)合生活厘清概念關(guān)系

教師借助課件展示兩幅汽車儀表盤的圖，第一幅圖顯示66千米/時，第二幅圖顯示120千米/時，要求學(xué)生說說哪輛車的速度比較快？

生（齊聲答）：第二幅圖中車的速度快。

師：關(guān)于這個問題，比的是什么？

生15：比的是速度，兩個儀表盤都顯示車輛1小時所行駛的路程，因此這是一種公平的比較方法。

師：不錯，這里的速度就是一把“標(biāo)尺”，可以直接分辨出快慢?，F(xiàn)在請大家思考一個問題：小敏步行的速度為4千米/時，飛機飛行的速度為12千米/分，可否去掉單位里的“時”與“分”？

生16：不可以，在單位不明確的情況下，不好進(jìn)行速度的比較。

生17：我也同意這位同學(xué)的觀點，用斜杠標(biāo)注上時間單位則能一目了然，必要時還要進(jìn)行單位的換算。

師：看來大家對路程與時間單位都有了一定的認(rèn)識。眾所周知，光的傳播速度大約為每秒鐘30萬千米，聲音的傳播速度約為每秒鐘340米，那么這兩者誰的速度更快一些呢？

生18：因為條件中給的單位都是“每秒鐘”，因此可以將光速與聲速直接進(jìn)行比較，顯然是光速更快。

師：這個規(guī)律可否讓我們聯(lián)想到現(xiàn)實生活中關(guān)于天氣變化的什么現(xiàn)象？

生19：雷雨天，總是先閃電，而后聽見雷聲，估計就是因為光速比聲速快的原因吧！

師：非常好！同學(xué)們對生活現(xiàn)象的觀察很仔細(xì)?，F(xiàn)在大家對于“速度”有沒有新的想法？請小組合作討論。

生20：“速度”是指1小時、1分鐘、1秒鐘的路程。

生21：還包括每天、每周與每年，簡而言之就是一個單位時間內(nèi)所形成的路程。

師：有點意思，你提到了“一個單位時間”，具體是指什么？

生21：就是1秒、1分、1天……

生22：我們可以理解為一個單位時間所走的路程為速度，如時速、秒速、年速等。

師：除了行走的路程之外，我們生活中還有哪些與“速度”相關(guān)的現(xiàn)象？

生23：小明每分鐘所寫文字的量為240個，速記員每分鐘在筆記本上記錄的文字?jǐn)?shù)量等。

師：誰來說說此時你對“速度”這個概念的理解？

生24：速度是指在確定的時間內(nèi)，比如1天、1年、1分鐘內(nèi)所完成的事情。

師：咱們回頭來看課堂伊始的情境，當(dāng)時各位同學(xué)的看法還不一樣，隨著路程條件的補充，速度的概念就自然地浮出水面。

設(shè)計意圖：關(guān)于速度、時間和路程間的關(guān)系，必須建立在單位一致的基礎(chǔ)上。教師借助步行的速度、光速、聲速、打字的速度等，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)完整的概念體系。學(xué)生由此感悟“速度”不僅涉及“時間”與“路程”這兩個要素，還涉及其他復(fù)合量，因此在描述時需結(jié)合具體的復(fù)合量來分析。

3. 立足問題解決構(gòu)建模型

師：接下來，我們就借助以上所學(xué)內(nèi)容來解決一些實際問題。

問題1：張大爺?shù)牟叫兴俣葹?千米/時，那么他2小時所走的路程是多少？

問題2：小王從家開車出差，早晨7點出發(fā)，上午11點到達(dá)目的地，已知他的車速為80千米/時，那么小王出差的目的地與他家之間的路程是多少？

問題3：觀察圖1，嘗試根據(jù)這幅圖編寫數(shù)學(xué)小故事。

前兩個問題，學(xué)生列式分別為：4×2=8（千米），（11-7）×80=320（千米）。問題3為一道開放題，學(xué)生可結(jié)合自己的生活經(jīng)驗編寫數(shù)學(xué)小故事。如一名學(xué)生編寫的故事為：小明的爸爸每天以60千米/時的速度去上班，5小時到達(dá)單位，請問他家與單位之間的路程是多少千米？顯而易見，這名學(xué)生雖然厘清了圖1中的數(shù)量關(guān)系，但在故事編寫時忽略了生活實際，上班需要開車5小時并不符合實際。

教師借助該生所呈現(xiàn)出來的問題強調(diào)數(shù)學(xué)源自生活，在實際應(yīng)用時要符合生活邏輯，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)精神。

設(shè)計意圖：教師借助循序漸進(jìn)的問題讓學(xué)生充分感知本節(jié)課所涉及的“速度、時間與路程”之間的關(guān)系，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，初步形成模型意識。學(xué)生在問題的解決過程學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維來觀察與思考生活的過程，不僅建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型，還為形成“三會”能力奠定了基礎(chǔ)。

師：現(xiàn)在請大家回顧本節(jié)課的一些生活實際問題，雖然情境不一樣，但它們的共同點是什么？

生25：所有的問題都闡述了“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系。

師：不錯，這就是本節(jié)課我們的重中之重——探索路程、時間與速度三者間的聯(lián)系。根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”的關(guān)系式，可否分別獲得“速度”與“時間”？

在這個問題的啟發(fā)下，學(xué)生很快就提出：速度=路程÷時間；時間=路程÷速度，并表示想要厘清三者間的關(guān)系，重點在于記住“路程=速度×?xí)r間”這個關(guān)系式，在實際應(yīng)用時則可根據(jù)該式進(jìn)行推導(dǎo)即可。

設(shè)計意圖：速度的概念與路程和時間有著密不可分的聯(lián)系，建立三者間的關(guān)系式就是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生一旦掌握這個模型，就能應(yīng)用模型解決更多、更復(fù)雜的問題。

二、思考與感悟

培養(yǎng)學(xué)生“模型意識”時教師要關(guān)注其建模過程。實踐發(fā)現(xiàn)，建立數(shù)學(xué)模型要經(jīng)歷“提出問題—構(gòu)建模型—模型應(yīng)用”三個過程。學(xué)生在此過程中親歷建模過程，能發(fā)展模型意識，并將這種經(jīng)驗正遷移到其他數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中。本節(jié)課教學(xué)中，教師通過多媒體展示豐富的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)生活中與“速度、時間、路程”相關(guān)的現(xiàn)象，從真正意義上踐行了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以生為本”“自主學(xué)習(xí)”“生活教育”等理念。

總之，每一個數(shù)學(xué)模型都是解決一類數(shù)學(xué)問題的總結(jié)與提煉。教師在概念教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu)，不僅能有效提升學(xué)生的“四基與四能”和“三會能力”，還能促進(jìn)學(xué)生“模型意識”的形成與發(fā)展，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng)。