聚焦知識(shí)本質(zhì) 感悟數(shù)學(xué)思想發(fā)展核心素養(yǎng)

［摘 要］ 研究者以“三角形的面積”教學(xué)為例，從“復(fù)習(xí)導(dǎo)入，感知數(shù)學(xué)思想”“實(shí)操活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)思想”“關(guān)系探索，推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式”“鞏固練習(xí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)”“梳理知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)”五個(gè)方面開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)與思考。

［關(guān)鍵詞］ 本質(zhì)；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)

鄭毓信教授提出：真正意義上的數(shù)學(xué)教學(xué)要超越知識(shí)本身所擁有的知識(shí)與技能，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入思維層面，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的提煉與一般性思維品質(zhì)的發(fā)展。這句話不僅闡述了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，還詮釋了核心素養(yǎng)背景下的終極教學(xué)目標(biāo)。“三角形的面積”是小學(xué)階段重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，是后續(xù)幾何教學(xué)的基礎(chǔ)，在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中具有重要地位。本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生自主探索和掌握三角形的面積推導(dǎo)過(guò)程，并能用公式計(jì)算三角形的面積。

一、教學(xué)過(guò)程

1. 復(fù)習(xí)導(dǎo)入，感知數(shù)學(xué)思想

師：本節(jié)課之前，我們學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計(jì)算公式，大家還記得當(dāng)時(shí)是如何獲得公式的嗎？

生1：將待求面積的平行四邊形先轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，推導(dǎo)平行四邊形的面積公式。

師：不錯(cuò)，此為重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想，本節(jié)課咱們將要探索三角形的面積公式，大家覺(jué)得可以從何處著手開(kāi)始研究？

生2：類比平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，我們可以將三角形轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形，如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等，然后進(jìn)行研究。

設(shè)計(jì)意圖：回顧平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，意在喚醒學(xué)生的記憶，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生調(diào)動(dòng)自身已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步感知轉(zhuǎn)化思想，為本節(jié)課的教學(xué)奠定方法基礎(chǔ)。

2. 實(shí)操活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)思想

（1）以圖促猜想

師：結(jié)合你們已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，大家覺(jué)得三角形面積公式可能與三角形本身的什么條件相關(guān)？

生3：應(yīng)該與三角形的底和高有一定關(guān)聯(lián)。

師：這個(gè)想法是否正確呢？現(xiàn)在我們一起來(lái)觀察圖1，逐漸延長(zhǎng)三角形的底，該三角形會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生（齊聲答）：變大。

師：由此可初步獲得什么結(jié)論？

生4：說(shuō)明三角形的面積與它的底邊長(zhǎng)度相關(guān)。

師：很好！如圖2，現(xiàn)在我們將這個(gè)三角形的高逐漸延長(zhǎng)，那么該三角形會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生（齊聲答）：面積變大了。

師：從中有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：三角形的面積與它的高有關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：兩幅直觀圖的應(yīng)用，讓學(xué)生很快就形成初步猜想，即三角形的面積與它本身的底和高存在一定的聯(lián)系。顯然，這個(gè)猜想為探索三角形的面積公式提供了方向。

（2）交流驗(yàn)證猜想

師：通過(guò)以上探索，大家一致覺(jué)得三角形的面積與它的底和高存在聯(lián)系?，F(xiàn)在請(qǐng)大家看圖3，此為三種不同類型的三角形置于邊長(zhǎng)為1的方格紙內(nèi)，我們一起來(lái)探索它們的面積。大家想先研究哪個(gè)三角形？

大部分學(xué)生表示想要先探索直角三角形，因?yàn)樗钐厥?。順?yīng)學(xué)生的思維，教師要求學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，以合作學(xué)習(xí)的方式借助“畫一畫”來(lái)研究直角三角形。經(jīng)討論，各組學(xué)生呈現(xiàn)不一樣的方法。

組1：如圖4，沿著底邊的中點(diǎn)剪開(kāi)三角形，將剪下來(lái)的部分補(bǔ)充到三角形的上半部分，即形成一個(gè)長(zhǎng)方形。該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6÷2=3，寬為2，那么長(zhǎng)方形的面積就是3×2=6。這個(gè)長(zhǎng)方形是由直角三角形割補(bǔ)而來(lái)，從三角形的角度來(lái)分析，其面積就是（底邊÷2）×高。

組2：我們組是在直角三角形的上方添加一個(gè)與它一樣大小的直角三角形，形成了一個(gè)大長(zhǎng)方形。如圖5，該長(zhǎng)方形的面積為6×2=12，那么原三角形的面積就是該長(zhǎng)方形面積的一半6×2÷2=6，即底×高÷2。

組3：我們組也是將三角形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，只是轉(zhuǎn)化的方法有所區(qū)別，如圖6，沿著垂直方向的直角邊中點(diǎn)位置把三角形一分為二，將切來(lái)下的三角形補(bǔ)到原圖中，形成一個(gè)寬為1，長(zhǎng)為6的長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方形的面積為6×1=6，即長(zhǎng)×（高÷2）。

組4：如圖7，將兩個(gè)大小形狀一樣的直角三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式可知拼接而成的圖形面積為6×2，那么原直角三角形的面積則為（6×2）÷2，即（底×高）÷2。

組5：如圖8，在原圖的下方添加一個(gè)與原三角形一樣大的三角形，形成一個(gè)新的平行四邊形，其面積為2×6=12，那么原三角形的面積就是2×6÷2=6。

師：各組的方法都非常好！現(xiàn)在我們將各種方法羅列到一起分析，它們之間存在哪些共同點(diǎn)？

生6：不管用哪種方法進(jìn)行探索，都是將未知的三角形面積轉(zhuǎn)化成已知的圖形面積進(jìn)行分析。而且獲得的結(jié)論都一樣，即三角形的面積為底和高乘積的一半。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從三種不同類型的三角形中擇取一種圖形進(jìn)行研究，意在滲透數(shù)學(xué)分類討論思想與特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。按照常規(guī)思維習(xí)慣，學(xué)生選擇最特殊的直角三角形作為第一個(gè)研究對(duì)象，在方格紙的輔助下，在“畫一畫”過(guò)程中充分暴露了思維過(guò)程，形成了豐富的轉(zhuǎn)化方法。教師通過(guò)不同方法的展示，能使學(xué)生在類比分析中提煉轉(zhuǎn)化思想，抽象出三角形面積的概念。

（3）類比優(yōu)化思維

師：經(jīng)過(guò)合作交流，大家呈現(xiàn)了多種研究方法，如果將這些方法進(jìn)行歸類，可歸為幾類？理由是什么？

生7：可分成兩大類，組1與組3的方法為一類，即將直角三角形拼成長(zhǎng)方形；其他三組的研究方法歸為一類，即將兩個(gè)形狀大小都一致的三角形拼接成平行四邊形或長(zhǎng)方形。

師：非常好！這兩種轉(zhuǎn)化方法，會(huì)導(dǎo)致圖形面積出現(xiàn)什么特點(diǎn)？

生8：剪拼形成的圖形面積與三角形面積相等，而增加一個(gè)完全一樣的直角三角形后，圖形面積增加了一倍。

師：不錯(cuò)，剪拼成長(zhǎng)方形的方法與《九章算術(shù)》中所記載的圖形面積研究方法一致（多媒體播放史料中記載的轉(zhuǎn)化過(guò)程）。

師：類比這兩類轉(zhuǎn)化方法，你們覺(jué)得剪拼法簡(jiǎn)便，還是添加圖形的方法更簡(jiǎn)便？

生（齊聲答）：添加法更簡(jiǎn)便一些。

設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生自主探索而來(lái)的方法進(jìn)行梳理、歸類，能使學(xué)生從本質(zhì)上掌握不同方法之間的異同點(diǎn)。史料“以盈補(bǔ)虛”獲取三角形面積法的滲透，即培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，又增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感。剪拼法與倍拼法的類比，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)思想的精妙之處，為接下來(lái)探索其他兩類三角形的面積公式夯實(shí)基礎(chǔ)。

3. 關(guān)系探索，推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式

師：我們探索了直角三角形的面積公式為“底×高÷2”，那么銳角三角形與鈍角三角形的面積公式是怎樣的呢？可從什么角度進(jìn)行探索？

生9：結(jié)合以上探索經(jīng)驗(yàn)，用一個(gè)完全一樣的三角形拼接上去，形成平行四邊形即可。

師生活動(dòng)：教師展示圖9，學(xué)生以小組合作的方式在方格紙上畫圖、拼接，形成結(jié)論：①是銳角三角形，面積為7×4÷2；②是鈍角三角形，面積為4×3÷2。拼接而成的平行四邊形的底為原三角形的底，高為三角形的高。由此可確定，不論哪種類型的三角形，其面積計(jì)算公式均為“底×高÷2”，用字母S表示三角形的面積，a、h分別表示三角形的底與高，那么三角形的面積公式就是S=a·h÷2。

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用類比思想將研究直角三角形面積的經(jīng)驗(yàn)，遷移到其他兩類三角形的面積探索中，能夠促使學(xué)生自主歸納出三角形的面積公式。如此設(shè)計(jì)，不僅凸顯了推理的協(xié)同作用，還有效發(fā)展了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、類比思想與理性思維。

4. 鞏固練習(xí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)

問(wèn)題：如圖10，求各個(gè)三角形的面積。

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成面積的計(jì)算，第一個(gè)三角形面積列式為8×5÷2=20，理由是該三角形為直角三角形，根據(jù)三角形面積公式S=a·h÷2而獲得；其他幾個(gè)三角形的面積不能直接用兩條邊相乘再除以2的方式運(yùn)算，因?yàn)槠渌切沃械倪叢⒉荒艽砣切蔚牡着c高。同時(shí)，值得注意的是在知道底的情況下，要知道對(duì)應(yīng)的高才能獲得相應(yīng)的面積。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生探索在一個(gè)平面內(nèi)，底邊一樣長(zhǎng)，但頂點(diǎn)位置不一樣的三角形面積都一樣，原因在于這些三角形的高相同。

設(shè)計(jì)意圖：展示各種三角形，提供不同的條件讓學(xué)生結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行面積計(jì)算，不僅還原出各個(gè)三角形相對(duì)應(yīng)的平行四邊形，還強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)三角形和它所在平行四邊形關(guān)系的認(rèn)識(shí)。最后一個(gè)三角形提供的條件比較多，意在讓學(xué)生學(xué)會(huì)在眾多條件中辨?zhèn)吻笳?，深化?duì)公式的應(yīng)用意識(shí)。

5. 梳理知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

要求學(xué)生回顧本節(jié)課研究的內(nèi)容、方法以及涉及的數(shù)學(xué)思想等，將它們羅列在一起，借助思維導(dǎo)圖搭建知識(shí)架構(gòu)，為完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、建構(gòu)知識(shí)體系奠定基礎(chǔ)，

設(shè)計(jì)意圖：在課堂總結(jié)環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生將目光轉(zhuǎn)回三角形面積公式的研究過(guò)程，讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法等，為學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)、形成良好的研究意識(shí)與遷移能力奠定基礎(chǔ)。

二、幾點(diǎn)思考

1. 轉(zhuǎn)化思想深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考

轉(zhuǎn)化思想貫穿本節(jié)課的始終，學(xué)生不僅通過(guò)教學(xué)活動(dòng)感知了轉(zhuǎn)化思想的力量，還進(jìn)一步發(fā)展了數(shù)學(xué)邏輯思維。課堂伊始教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平行四邊形的面積推導(dǎo)過(guò)程，喚醒學(xué)生已有的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，為探索三角形的面積公式作鋪墊；探索三角形面積公式時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化成自己所熟悉的圖形，即化未知為已知，從而獲得結(jié)論。轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，使學(xué)生的思維能力得到進(jìn)一步發(fā)展。

2. 借助學(xué)具可有效突破教學(xué)難點(diǎn)

方格紙的應(yīng)用有效開(kāi)啟了學(xué)生的思維，突破了教學(xué)難點(diǎn)。因?yàn)榉礁窦埖拇嬖冢瑢W(xué)生在實(shí)施剪拼與倍拼時(shí)一目了然。尤其是在“畫一畫”環(huán)節(jié)，會(huì)帶給學(xué)生直觀的視覺(jué)體驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)三角形的面積公式從真正意義上做到“知其然且知其所以然”。

3.特殊到一般的思想促進(jìn)思維發(fā)展

特殊到一般的數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的一種思想方法，教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣展示三類三角形，讓學(xué)生從中挑選一個(gè)先行研究，能夠成功將學(xué)生的思維帶進(jìn)特殊的直角三角形中。隨著直角三角形面積公式的形成，教師引導(dǎo)學(xué)生探索銳角與鈍角三角形，就水到渠成了。如果讓學(xué)生從課堂伊始就想到構(gòu)造一個(gè)完全相同的三角形與原三角形“倍拼”成平行四邊形，顯然大部分學(xué)生都不具備這樣的能力。

數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與特殊到一般思想的輔助，使得學(xué)生的思維在逐步探究中螺旋式上升，自然地完成“倍拼”構(gòu)想，三角形的面積公式也隨之形成。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義。

總之，聚焦知識(shí)本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法是新課標(biāo)背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)思想方法的提煉可有效發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光、思維與語(yǔ)言觀察、思考和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。