深度學(xué)習(xí)視域下新課程的概念教學(xué)

摘" 要：樣本點(diǎn)和樣本空間是隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ). 教學(xué)中要重視樣本點(diǎn)和樣本空間概念內(nèi)涵的教學(xué)，分析概念建立過(guò)程中的各種障礙，突破概念生成的難點(diǎn)，幫助學(xué)生全面深刻地理解概念和應(yīng)用概念.

關(guān)鍵詞：樣本點(diǎn)；樣本空間；概念理解；概念建立

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）10-0008-06

引用格式：徐道奎，黃焱森，姚志佳. 深度學(xué)習(xí)視域下新課程的概念教學(xué)：以樣本點(diǎn)和樣本空間為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（10）：8-12，18.

一、問(wèn)題提出

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生與發(fā)展規(guī)律的科學(xué)，樣本點(diǎn)和樣本空間是隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)，因此也是概率論的基礎(chǔ).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》首次將樣本點(diǎn)和樣本空間納入高中課程，從集合視角描述和刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象，研究隨機(jī)事件并進(jìn)行概率運(yùn)算，在使學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的理解更加準(zhǔn)確、理性和深刻的同時(shí)，其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維方式也發(fā)生了重大變化. 樣本點(diǎn)的選擇和樣本空間的建立十分重要，學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象（主要是古典概型）的前提是選擇好樣本點(diǎn)，建立好樣本空間. 之后很多概率學(xué)習(xí)的問(wèn)題，如事件之間的關(guān)系和運(yùn)算、概率之間的關(guān)系和計(jì)算等，歸根結(jié)底都是對(duì)樣本點(diǎn)和樣本空間的概念理解不深入導(dǎo)致的問(wèn)題.

樣本點(diǎn)和樣本空間概念教學(xué)上存在的問(wèn)題主要表現(xiàn)為以下三個(gè)方面. 第一，教師習(xí)慣了之前的直接從基本事件和事件著手分析的問(wèn)題解決方法，認(rèn)為高中階段概率內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，引入樣本點(diǎn)和樣本空間人為地增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 有的教師甚至沿襲過(guò)去的做法，有意淡化樣本點(diǎn)和樣本空間的概念教學(xué). 第二，教師對(duì)引入樣本點(diǎn)和樣本空間的意義缺乏深刻理解，對(duì)樣本點(diǎn)和樣本空間的基礎(chǔ)地位沒(méi)有給予足夠的重視. 第三，對(duì)樣本點(diǎn)和樣本空間的概念研究不夠，對(duì)概念的理解出現(xiàn)問(wèn)題.

鑒于此，筆者通過(guò)參閱有關(guān)文獻(xiàn)，結(jié)合教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題，談一點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)，不足之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

二、對(duì)樣本點(diǎn)和樣本空間概念的理解

1. 樣本點(diǎn)和樣本空間有什么特征？

樣本點(diǎn)由隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生，是隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果. 隨機(jī)試驗(yàn)所得結(jié)果是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的某種反映，帶有取樣的性質(zhì)，故將其稱為樣本點(diǎn).“點(diǎn)”是結(jié)果的第一種含義. 一般而言，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，且是基本的，樣本空間是樣本點(diǎn)的集合，又稱結(jié)果空間，樣本點(diǎn)是樣本空間這個(gè)集合中的元素. 如果單從結(jié)果的基本性和集合中元素的意義上理解，樣本點(diǎn)隱含盡可能地將隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果細(xì)化和不可再分的含義. 不能再分是確定樣本點(diǎn)應(yīng)該遵循的基本原則. 但是在實(shí)際操作中，要靈活地選取樣本點(diǎn)，不必糾結(jié)樣本點(diǎn)的字面意義，之后會(huì)詳細(xì)說(shuō)明.

2. 怎樣由隨機(jī)試驗(yàn)分析樣本點(diǎn)，建立樣本空間？

樣本點(diǎn)由隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生，樣本點(diǎn)和樣本空間是基于隨機(jī)試驗(yàn)和研究問(wèn)題背景的綜合考量，還是基于研究問(wèn)題本身？怎樣選擇隨機(jī)試驗(yàn)中的樣本點(diǎn)呢？針對(duì)以下例題進(jìn)行說(shuō)明.

例" 兩次投擲同一枚骰子，求下列問(wèn)題包含哪些樣本點(diǎn).

（1）正面向上的點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)；

（2）正面向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1或2.

該問(wèn)題涉及的試驗(yàn)是投擲兩次骰子，研究的背景是正面向上的點(diǎn)數(shù)問(wèn)題，研究的具體問(wèn)題是點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)和點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值是1或2. 那么，樣本點(diǎn)到底是有序的實(shí)數(shù)對(duì)，即[1，1， 1，2，…， 1，6，][2，1， 2，2，…， 2，6，…， 6，6]，共36個(gè)樣本點(diǎn)，還是第（1）小題的[2，3，…，12]這11個(gè)樣本點(diǎn)和第（2）小題的[0，1，2，3，4，5]這6個(gè)樣本點(diǎn)呢？前者是基于試驗(yàn)及其研究問(wèn)題背景的結(jié)果，后者是基于研究問(wèn)題本身而得到的結(jié)果. 在教學(xué)時(shí)，不同的教師有不同的理解. 筆者則傾向于前者. 文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］給出了選擇樣本點(diǎn)、建立樣本空間的基本原則：與問(wèn)題背景有關(guān)，與問(wèn)題本身無(wú)關(guān). 筆者認(rèn)為，問(wèn)題的背景應(yīng)該源于隨機(jī)試驗(yàn)和問(wèn)題研究的大方向. 上述問(wèn)題涉及的隨機(jī)試驗(yàn)都是投擲兩次骰子，研究的背景（我們感興趣的）是骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)；而點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)、點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1或2是較為具體的研究問(wèn)題，是問(wèn)題本身. 在分析樣本點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該從試驗(yàn)和研究問(wèn)題的背景、方向（正面向上）出發(fā)，不必拘泥于具體問(wèn)題是什么. 樣本點(diǎn)應(yīng)該是隨機(jī)試驗(yàn)最直接的結(jié)果，若以點(diǎn)數(shù)之和或者點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值作為結(jié)果，則這個(gè)結(jié)果就失去了基本性. 例如，點(diǎn)數(shù)之和為6，可以進(jìn)一步細(xì)化，再分為[1，5， 5，1，][2，4， 4，2， 3，3]，不符合之前我們對(duì)樣本點(diǎn)的理解. 另外，人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）對(duì)基本事件的定義是“只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件”. 因此，筆者認(rèn)為樣本點(diǎn)應(yīng)該盡可能地不可細(xì)化和不可再分. 這也是樣本點(diǎn)概念的本義. 當(dāng)然，不可細(xì)化和不可再分也不是絕對(duì)的，之后會(huì)予以說(shuō)明. 筆者在分析上述兩個(gè)問(wèn)題（點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)、點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值是1或2）時(shí)，主張樣本點(diǎn)和樣本空間應(yīng)該一樣，即樣本空間都含有36個(gè)樣本點(diǎn).

3. 樣本空間中的樣本點(diǎn)一定等可能嗎？

古典概型是概率論的重中之重，建立合適的樣本空間是解決古典概型問(wèn)題的前提. 如前所述，我們希望樣本點(diǎn)盡可能地細(xì)化，盡量不可再分. 那么，樣本點(diǎn)一定等可能嗎？針對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解，還是需要回歸樣本點(diǎn)的定義. 隨機(jī)試驗(yàn)中每個(gè)可能的基本結(jié)果不一定是等可能的結(jié)果. 例如，在上述投擲骰子的試驗(yàn)中，假如骰子的結(jié)構(gòu)不均勻，如投擲的是一個(gè)不規(guī)則的四面體骰子，投擲試驗(yàn)一次，各個(gè)面向上的概率是不一樣的，即樣本點(diǎn)不等可能. 又如，打一次靶，假設(shè)能夠命中，有6環(huán)、7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)五個(gè)結(jié)果，顯然每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率不相同.

4. 樣本點(diǎn)和樣本空間是相對(duì)的還是絕對(duì)的？

樣本點(diǎn)不一定等可能. 那么，凡是等可能的結(jié)果均可以作為樣本點(diǎn)嗎？顯然不是. 與這個(gè)問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的典型案例是不放回抽樣中是否考慮順序的問(wèn)題. 關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，有不同的觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)認(rèn)為必須考慮順序，這樣才符合樣本點(diǎn)的意義；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為若選擇的樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率相同，且能夠解決問(wèn)題，則樣本點(diǎn)和樣本空間可以進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化（注意是“簡(jiǎn)化”），從而不需要考慮取樣的順序. 在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)采用后者，即根據(jù)問(wèn)題和問(wèn)題解決的需要靈活選擇樣本點(diǎn). 要針對(duì)具體隨機(jī)現(xiàn)象給出適當(dāng)?shù)臉颖军c(diǎn)和樣本空間，并能用于表示隨機(jī)事件. 由此可以看出，樣本點(diǎn)的選擇一定要能夠表示隨機(jī)事件并有利于問(wèn)題解決. 選擇樣本點(diǎn)，建立樣本空間，要把精力放在對(duì)現(xiàn)實(shí)中的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化上. 這是至關(guān)重要的.

樣本空間取決于樣本點(diǎn)，而樣本點(diǎn)不僅取決于隨機(jī)試驗(yàn)，還與研究問(wèn)題的背景緊密相關(guān). 因此，樣本點(diǎn)和樣本空間是相對(duì)的，而不是絕對(duì)的. 第一，對(duì)于同一試驗(yàn)，研究問(wèn)題的背景不同，樣本點(diǎn)可以不同，樣本空間也可能因此不同；第二，對(duì)于同一試驗(yàn)，同一研究問(wèn)題，樣本點(diǎn)的選擇可以不同，但必須保證選擇的樣本點(diǎn)、建立的樣本空間有利于問(wèn)題解決（如求概率、分析事件之間的關(guān)系）. 在“兩次投擲同一枚骰子，求其點(diǎn)數(shù)之和為6的概率”的問(wèn)題中，可以把樣本點(diǎn)選擇為36個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，而把樣本點(diǎn)選作[2，][3，…，12]，樣本空間建立為[Ω=2，3，…，12]，不利于問(wèn)題的解決，且沒(méi)有實(shí)際意義.“兩次投擲同一枚骰子，求其點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率”可以把樣本點(diǎn)“簡(jiǎn)化”為[奇，奇]，[偶，偶， 奇，偶， 偶，奇，]而把樣本點(diǎn)選作[奇，奇， 偶，偶， 奇，偶]，進(jìn)而建立樣本空間[Ω=奇，奇， 偶，偶， 奇，偶]是不合適的. 我們強(qiáng)調(diào)樣本點(diǎn)要基于試驗(yàn)的結(jié)果盡可能細(xì)化，要凸顯其不可再分的特征是基于樣本點(diǎn)中“點(diǎn)”的意義，基于樣本空間這個(gè)集合中元素的含義，以及樣本點(diǎn)與基本事件的關(guān)系綜合考慮的，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活處理.

5. 樣本點(diǎn)與事件的關(guān)系是什么？

樣本空間是一個(gè)集合，所有的事件（必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件、基本事件、復(fù)合事件）均是樣本空間的子集. 基本事件是一個(gè)單點(diǎn)集，事件與樣本空間是集合與集合的關(guān)系. 樣本點(diǎn)[ω]是樣本空間[Ω]這個(gè)集合中的元素，即[ω∈Ω]. 基本事件是只含有一個(gè)樣本點(diǎn)的集合，即[ω?Ω]. 從事件的關(guān)系角度來(lái)看，基本事件之間是互斥的關(guān)系，樣本空間由包含全部基本事件的集合表示.

6. 樣本空間如何表示？

樣本空間是樣本點(diǎn)的集合，為了使樣本點(diǎn)具有直觀性，對(duì)樣本空間的表征大多數(shù)采用列舉法，可以通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖等方式把樣本空間中的元素逐個(gè)列舉出來(lái). 實(shí)際上，也可以用描述法. 例如，在兩次投擲一枚骰子的試驗(yàn)中，研究正面向上的點(diǎn)數(shù)的情況，可以將樣本空間表示為[Ω=x，yx=1，2，3，4，][5，6，y=1，2，3，4，5，6]在研究事件之間的關(guān)系時(shí)，有時(shí)也會(huì)采用韋恩圖表示樣本空間（全集）.

教學(xué)中，要把上述對(duì)樣本點(diǎn)和樣本空間的理解及其反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)（元素與集合）凸顯出來(lái)，把隱含的數(shù)學(xué)思想（用集合的思想研究隨機(jī)現(xiàn)象）滲透于概念的建立和形成過(guò)程之中.

三、樣本點(diǎn)和樣本空間概念建立的學(xué)情分析

學(xué)生學(xué)習(xí)樣本點(diǎn)和樣本空間的最大問(wèn)題是思維方式上存在障礙. 第一，對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的理解存在障礙. 隨機(jī)試驗(yàn)是廣義的，而不是狹義的物理、化學(xué)和生物等學(xué)科的試驗(yàn)，凡是使隨機(jī)現(xiàn)象得以實(shí)現(xiàn)和對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察均是隨機(jī)試驗(yàn)，實(shí)際操作、取樣分析、統(tǒng)計(jì)觀察等也是試驗(yàn). 我們感興趣的隨機(jī)試驗(yàn)有三個(gè)特點(diǎn)，即試驗(yàn)的可重復(fù)性、每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的可預(yù)測(cè)性和一次具體試驗(yàn)的結(jié)果的隨機(jī)性. 第二，選擇和抽象樣本點(diǎn)、建立樣本空間的障礙. 隨機(jī)試驗(yàn)所產(chǎn)生的基本結(jié)果稱作樣本點(diǎn)，試驗(yàn)發(fā)生了，樣本點(diǎn)基本就確定了. 因此，要從隨機(jī)試驗(yàn)開(kāi)始進(jìn)行分析. 第三，樣本點(diǎn)和樣本空間的應(yīng)用上存在障礙. 例如，對(duì)事件和事件關(guān)系的分析. 用集合語(yǔ)言描述、刻畫(huà)事件及其關(guān)系有一個(gè)過(guò)程，要讓學(xué)生盡可能多地接觸試驗(yàn)，以便逐步適應(yīng)和習(xí)慣.

四、樣本點(diǎn)和樣本空間概念的建立

基于上述分析，筆者認(rèn)為，要把樣本點(diǎn)和樣本空間的本質(zhì)和內(nèi)涵滲透至概念形成中，教師在教學(xué)中要把握好三個(gè)問(wèn)題：一是根據(jù)概念生成的邏輯線索，設(shè)置從隨機(jī)試驗(yàn)到隨機(jī)現(xiàn)象再到選擇樣本點(diǎn)、建立樣本空間的概念生成的邏輯路徑；二是通過(guò)各種問(wèn)題情境，讓學(xué)生充分感悟樣本點(diǎn)和樣本空間概念的真實(shí)含義，準(zhǔn)確選擇樣本點(diǎn)和建立樣本空間；三是掌握給出樣本點(diǎn)（列舉、樹(shù)狀圖、表格、排列、組合等）的各種方法，掌握樣本點(diǎn)的具體呈現(xiàn)方式（語(yǔ)言文字描述、字母符號(hào)描述、數(shù)字描述）. 做到“五會(huì)”，即會(huì)描述、會(huì)抽象、會(huì)解釋、會(huì)轉(zhuǎn)化、會(huì)應(yīng)用.

1. 基于隨機(jī)試驗(yàn)抽象樣本點(diǎn)

讓學(xué)生在隨機(jī)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過(guò)想象進(jìn)入試驗(yàn)場(chǎng)景，分析試驗(yàn)結(jié)果，理解選擇樣本點(diǎn)、建立樣本空間的路徑.

案例：分析試驗(yàn)，回答樣本點(diǎn)和樣本空間.

在引導(dǎo)學(xué)生分析試驗(yàn)時(shí)，教師要有意識(shí)地讓學(xué)生回答三個(gè)問(wèn)題：表述的是什么試驗(yàn)？問(wèn)題研究的背景是什么？試驗(yàn)的所有可能的基本結(jié)果是什么？這是分析樣本點(diǎn)和樣本空間的基本流程.

試驗(yàn)1：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，分別研究正面向上的點(diǎn)數(shù)之和和點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

雖然試驗(yàn)1研究的兩個(gè)問(wèn)題不同，但是隨機(jī)試驗(yàn)和研究問(wèn)題的背景相同，即隨機(jī)試驗(yàn)都是投擲兩次骰子，研究問(wèn)題的背景都是需要關(guān)注正面向上的點(diǎn)數(shù). 因此，試驗(yàn)1中選擇的樣本點(diǎn)和建立的樣本空間相同.

試驗(yàn)2：從裝有3個(gè)紅球（號(hào)碼分別為1，2，3）2個(gè)白球（號(hào)碼分別為4，5）的袋子中一次摸出兩個(gè)球，分析出現(xiàn)相同顏色的事件所包含的樣本點(diǎn)，研究?jī)蓚€(gè)球的號(hào)碼數(shù)字之和的樣本空間.

試驗(yàn)3：從裝有3個(gè)紅球（號(hào)碼分別為1，2，3）2個(gè)白球（號(hào)碼分別為4，5）的袋子中摸出一個(gè)球記錄結(jié)果后將其放回袋子中，然后再摸出一個(gè)球，分析出現(xiàn)相同顏色的事件所包含的樣本點(diǎn)，研究?jī)蓚€(gè)球的號(hào)碼數(shù)字之和的樣本空間.

試驗(yàn)2與試驗(yàn)3比較，理解選擇樣本點(diǎn)、建立樣本空間的基本路徑，即引導(dǎo)學(xué)生回答上述強(qiáng)調(diào)的三個(gè)問(wèn)題，說(shuō)明了選擇樣本點(diǎn)應(yīng)該遵循的基本原則和抽樣的有序、無(wú)序問(wèn)題.

師：試驗(yàn)2和試驗(yàn)3研究的問(wèn)題涉及的是什么試驗(yàn)？

生：從編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球中取出兩個(gè)球.

師：試驗(yàn)2和試驗(yàn)3研究的背景是什么？

生：研究取出的球的號(hào)碼.

師：有哪些可能的結(jié)果？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回答與研究問(wèn)題背景相關(guān)的試驗(yàn)的直接結(jié)果，不需要考慮研究問(wèn)題本身，體會(huì)試驗(yàn)結(jié)果要盡可能細(xì)化，不可再分.

問(wèn)題1：結(jié)合試驗(yàn)情境和研究問(wèn)題的背景，你認(rèn)為樣本點(diǎn)應(yīng)該怎樣選擇？

生：樣本點(diǎn)為[1，2， 1，3， 1，4， 1，5，][2，3， 2，4， 2，5， 3，4， 3，5， 4，5]共有10個(gè). 樣本空間為：[Ω=1，2， 1，3， 1，4，][1，5]，[2，3]，[2，4]，[2，5]，[3，4]，[3，5，][4，5].

問(wèn)題2：為什么研究的問(wèn)題不同，選擇的樣本點(diǎn)和建立的樣本空間卻相同？

生：無(wú)論是研究顏色還是號(hào)碼之和，選擇上述樣本點(diǎn)都可以刻畫(huà)出試驗(yàn)的每個(gè)可能的結(jié)果. 例如，[1，2， 1，3， 2，3， 4，5]代表顏色相同，[1，4，][1，5， 2，4， 2，5， 3，4， 3，5]代表顏色不同；[1，2]代表點(diǎn)數(shù)之和為3，[1，3]代表點(diǎn)數(shù)之和為4，[1，4， 2，3]代表點(diǎn)數(shù)之和為5，[1，5， 2，4]代表點(diǎn)數(shù)之和為6，[2，5， 3，4]代表點(diǎn)數(shù)之和為7，[3，5]代表點(diǎn)數(shù)之和為8，[4，5]代表點(diǎn)數(shù)之和為9.

問(wèn)題3：在研究點(diǎn)數(shù)之和的問(wèn)題時(shí)，為什么不宜把點(diǎn)數(shù)之和的結(jié)果作為樣本點(diǎn)？

生：有些點(diǎn)數(shù)之和不是基本的、不可細(xì)化的結(jié)果，不利于問(wèn)題的解決，沒(méi)有實(shí)際意義.

問(wèn)題4：你認(rèn)為選擇樣本點(diǎn)、建立樣本空間的原則是什么？

師生共同總結(jié)：關(guān)注試驗(yàn)和研究問(wèn)題的背景，不刻意考慮研究問(wèn)題本身.

問(wèn)題5：為什么沒(méi)有考慮兩個(gè)球的順序？能否考慮順序？

生：因?yàn)閱?wèn)題的背景和問(wèn)題本身與順序無(wú)關(guān)，所以可以把樣本空間適當(dāng)簡(jiǎn)化. 當(dāng)然，也可以考慮順序.

引導(dǎo)學(xué)生思考：試驗(yàn)3與試驗(yàn)2的區(qū)別是什么？怎樣選擇樣本點(diǎn)？樣本點(diǎn)中是否要考慮兩次取球的順序？樣本空間中有多少個(gè)樣本點(diǎn)？

試驗(yàn)2和試驗(yàn)3對(duì)應(yīng)于兩種不同的抽樣，即無(wú)放回抽樣和有放回抽樣. 選擇樣本點(diǎn)時(shí)，有放回抽樣需要考慮順序；無(wú)放回抽樣可以考慮順序，有時(shí)無(wú)需考慮順序，是否考慮順序要視情況而定.

試驗(yàn)4：從高二（5）班50名學(xué)生數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)中任取3名學(xué)生的成績(jī)，分析成績(jī)合格的人數(shù).

以下三種方法是課堂上學(xué)生的回答中具有代表性的方法.

方法1：將成績(jī)合格的學(xué)生記為1，成績(jī)不合格的學(xué)生記為0，則抽取的三名學(xué)生的成績(jī)情況有[1，1，1， 1，1，0， 1，0，1， 0，1，1， 0，0，1，][0，1，0， 1，0，0， 0，0，0]，共8個(gè)樣本點(diǎn).

方法2：將成績(jī)合格的學(xué)生記為1，成績(jī)不合格的學(xué)生記為0，抽取的3名學(xué)生的成績(jī)?cè)囼?yàn)有4個(gè)樣本點(diǎn)，即[0，0，0， 0，0，1， 0，1，1， 1，1，1.]

方法3：將50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行編號(hào)，記為[a1，a2，…，a50]. 將其中任意3名學(xué)生的成績(jī)表示為[ai，aj，ak i，j，k=1，2，…，50，i≠j，i≠k，j≠k，][ai，aj，ak]是其中的1個(gè)樣本點(diǎn).

問(wèn)題1：上述三種方法中，你認(rèn)為哪種選擇樣本點(diǎn)的方法合適，為什么？

問(wèn)題2：為什么方法3最能體現(xiàn)樣本點(diǎn)的特征？

通過(guò)試驗(yàn)4，比較分析同一試驗(yàn)有多種選擇樣本點(diǎn)的方法，引導(dǎo)學(xué)生分析哪種最合適，從而體會(huì)選擇樣本點(diǎn)的基本原則.

試驗(yàn)5：在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)[M]開(kāi)始位于[3，2]處，每次向右或向下移動(dòng)一個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)三次，分析運(yùn)動(dòng)結(jié)果.

設(shè)質(zhì)點(diǎn)[M]每向右移動(dòng)一次記為1，向下移動(dòng)一次記為0，則樣本點(diǎn)為[0，0，0， 1，0，0， 0，1，0，]

[0，0，1， 1，1，0， 1，0，1， 0，1，1， 1，1，1.]

讓學(xué)生寫(xiě)出樣本空間.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)試驗(yàn)5，讓學(xué)生理解隨機(jī)試驗(yàn)的廣泛性，體會(huì)用數(shù)字表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的好處.

通過(guò)分析上述試驗(yàn)，讓學(xué)生感悟樣本點(diǎn)的意義、內(nèi)涵，選擇樣本點(diǎn)的原則，理解從隨機(jī)試驗(yàn)到樣本點(diǎn)和樣本空間及隨機(jī)事件的分析過(guò)程.

2. 用集合語(yǔ)言描述和刻畫(huà)樣本點(diǎn)、樣本空間

概念教學(xué)要立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，用集合語(yǔ)言描述隨機(jī)事件不僅要精準(zhǔn)，還要能夠反映具體的隨機(jī)事件與樣本空間的關(guān)系，以及隨機(jī)事件之間的相互關(guān)系.

我們把在條件[E]下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件. 作為樣本點(diǎn)和樣本空間的應(yīng)用，怎樣把樣本點(diǎn)和樣本空間在描述隨機(jī)事件中的作用顯現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生理解用集合語(yǔ)言描述事件的方法，體會(huì)事件是樣本點(diǎn)的集合且是樣本空間的子集呢？具體方法如下.

第一，通過(guò)人教A版教材第228頁(yè)“思考”欄目中的體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生探究“球的號(hào)碼是奇數(shù)”“球的號(hào)碼是3的倍數(shù)”這兩個(gè)事件所包含的樣本點(diǎn)的情況，并用集合表示，讓學(xué)生觀察事件與樣本空間[Ω]的關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上給出事件的集合定義. 此過(guò)程著重引導(dǎo)學(xué)生理解兩個(gè)問(wèn)題：由隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生的所有事件都是樣本空間[Ω]的子集；事件[A]發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件[A]對(duì)應(yīng)的集合中的某個(gè)（而非全部）樣本點(diǎn)出現(xiàn).

第二，在集合語(yǔ)言背景下，通過(guò)較復(fù)雜的試驗(yàn)情境進(jìn)一步把隨機(jī)試驗(yàn)、研究背景、試驗(yàn)結(jié)果、樣本點(diǎn)和樣本空間、事件、事件與樣本空間的關(guān)系等概念串聯(lián)起來(lái)，對(duì)它們之間的關(guān)系層層遞進(jìn)地進(jìn)行分析，讓學(xué)生形成概念體系建立的完整印象，感悟準(zhǔn)確選擇樣本點(diǎn)、建立樣本空間的重要性.

第三，通過(guò)必然事件和不可能事件概念的建立，進(jìn)一步滲透事件是樣本空間的子集的思想，體會(huì)樣本點(diǎn)和樣本空間在事件描述中的作用.

引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題，并根據(jù)事件發(fā)生的意義作答.

問(wèn)題1：包含“所有”樣本點(diǎn)的事件（即樣本空間[Ω]）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中一定發(fā)生嗎？是什么事件？

問(wèn)題2：不包含“任何”樣本點(diǎn)的“事件”（即事件[?]）在一次試驗(yàn)中一定不發(fā)生嗎？是什么事件？

通過(guò)各種案例（簡(jiǎn)單的、復(fù)雜的）實(shí)現(xiàn)事件在自然語(yǔ)言與集合語(yǔ)言之間的切換（轉(zhuǎn)化）. 體會(huì)集合語(yǔ)言描述事件的數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生用集合語(yǔ)言描述事件的意識(shí)，使其逐步體會(huì)到用集合語(yǔ)言描述事件更精準(zhǔn)，從集合視角理解事件發(fā)生更準(zhǔn)確，且使之后求解概率、理解事件之間的關(guān)系和運(yùn)算、理解概率關(guān)系更方便、更容易.

五、結(jié)束語(yǔ)

樣本點(diǎn)和樣本空間的概念，表面上看似簡(jiǎn)單，實(shí)則內(nèi)涵深刻，它既是學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，又是學(xué)習(xí)概率的難點(diǎn). 在教學(xué)中，教師要給予充分重視，在概念生成的教學(xué)上放慢節(jié)奏，多下功夫.

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作者簡(jiǎn)介：徐道奎（1963— ），男，正高級(jí)教師，安徽省特級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

黃焱森（1981— ），男，一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

姚志佳（2000— ），女，新聘教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.