密碼中的數(shù)學(xué)

自人類文明出現(xiàn)后，信息交流日益增多。為了保護(hù)信息不被通信雙方之外的第三人窺探，密碼隨之誕生。早在周代，姜太公與周武王在軍事作戰(zhàn)中就采用了“陰符”來實(shí)現(xiàn)保密通信。所謂“陰符”，是指君主和主將事先約定，用不同長度的木板或竹節(jié)來代表特定的含義。如三寸代表戰(zhàn)事失利、士卒傷亡，四寸代表軍隊將領(lǐng)陣亡等。由于“陰符”上并未刻有任何文字，即便不慎丟失，也無需擔(dān)心信息泄露。但這種方式僅能傳遞有限的信息，所以人們又研究出了一些密碼規(guī)則，以便更隱秘地傳遞信息。

在戰(zhàn)爭年代，密碼設(shè)計者不斷設(shè)計出新的密碼規(guī)則，這些密碼規(guī)則又不斷地被密碼分析者破譯。設(shè)計和破譯就像矛和盾，此消彼長。從而，密碼在戰(zhàn)爭中不斷發(fā)展演變，越來越復(fù)雜，越來越難以破譯。今天讓我們一起從以下幾個方面來探尋“密碼中的數(shù)學(xué)”吧。

密碼學(xué)的基本概念

提及“密碼”，多數(shù)人會想到日常所用的手機(jī)密碼、銀行卡密碼、二維碼等。但這類生活中隨處可見的登錄密碼，嚴(yán)格來說只是驗(yàn)證口令，是密碼技術(shù)應(yīng)用的冰山一角。密碼學(xué)是研究如何隱秘地傳遞信息的科學(xué)，包括如何編制和破譯密碼。

如圖1，在通信過程中，信息發(fā)送者會先通過一些特定的密碼規(guī)則，將明文（未加密的原文）進(jìn)行加密，形成密文（已加密且隱藏原文的信息），再將密文傳送給信息接收者。信息接收者基于對應(yīng)的密碼規(guī)則，可以準(zhǔn)確地將密文解密成明文，獲得原文內(nèi)容。而其他不知道密碼規(guī)則的人很難讀懂密文，這樣就確保了通信安全。

如何設(shè)計和破解密碼

我們不難發(fā)現(xiàn)，在信息傳遞中最重要的是密碼規(guī)則的設(shè)置，這個規(guī)則是破解密碼的“鑰匙”。

如圖2，我們可以將數(shù)字和字母等建立一種對應(yīng)關(guān)系作為“鑰匙”。其中數(shù)字是密文，字母、空格和標(biāo)點(diǎn)是明文。如密文“9 29 12 15 22 5 29 13 1 20 8 19 28”，翻譯成明文就是“I LOVE MATHS.”。

有了這把“鑰匙”，請你來思考：

（1）你能將密文“43 5 80 34 18 29 36 67 22 5 58 21 16”翻譯成明文嗎？

（2）請你將明文“DREAM”翻譯成密文，并看看其他人和你翻譯的密文一樣嗎？

通過這兩個問題，我們發(fā)現(xiàn)針對圖2的“鑰匙”，密文能翻譯出唯一的明文，但同一個明文卻可以表示成不同的密文，這樣增加了密碼被破譯的難度。

我們也可以將上述“鑰匙”中的數(shù)字和字母的對應(yīng)關(guān)系改變一下，變成圖3中的樣子。你能用新“鑰匙”將前面的3條明文進(jìn)行加密嗎？動手試試吧！

拓展：你能類比前兩個編制規(guī)則，嘗試設(shè)計出屬于自己的專屬“密碼”嗎？

其他類型的密碼

除了上面用數(shù)字和字母等的對應(yīng)關(guān)系作為“鑰匙”的方式，我們還可以用字母和字母進(jìn)行對應(yīng)。

如圖4，將明文中所有字母按照字母表順序（空格排在Z后面）排列后，分別向右移動2個單位后對應(yīng)的字母作為密文，這種密碼規(guī)則我們可以用“x+2”表示。

用“x+2”這把鑰匙，我們能將“BELIEVE IN YOURSELF”加密成“DGNKGXGBK

PB QWTUGNH”。你能用鑰匙“x+2”寫一段密文，考考你的同學(xué)嗎？

拓展：

（1）你可以仿照上例，說出鑰匙“x-3”對應(yīng)的密碼規(guī)則嗎？

（2）你能基于這個思路，編制屬于自己的密碼規(guī)則嗎？

隨著信息化時代的到來，越來越多的人想嘗試在不知道密碼規(guī)則的情況下破解密碼，于是就發(fā)生了許許多多的密碼破譯故事。請你查閱資料，看看有哪些有意思的破譯故事，并感受人類發(fā)展的歷史長河中密碼是如何逐步進(jìn)化的。和同學(xué)們分享你的發(fā)現(xiàn)。

前文我們分享了兩種設(shè)計密碼規(guī)則的思路，你還能想出其他編制密碼規(guī)則的思路嗎？請查閱資料，嘗試整理不同的密碼規(guī)則。在自主探尋的過程中你會發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)代密碼學(xué)和數(shù)學(xué)、通信工程、電子科學(xué)、計算機(jī)、物理等學(xué)科有密切的聯(lián)系，其在我們生活中扮演著越來越重要的角色。

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部）