見微知著：代數(shù)式中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

進(jìn)入“代數(shù)式”這一章的學(xué)習(xí)，我們開始體驗(yàn)從“算術(shù)”到“代數(shù)”的飛躍。在學(xué)習(xí)過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)算術(shù)和代數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，也能逐步感受代數(shù)的特點(diǎn)：抽象性、簡潔性、一般性。本章需要掌握的主要概念包括代數(shù)式、整式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、代數(shù)式的值、同類項(xiàng)等。同時(shí)，我們?cè)谘芯看鷶?shù)式的相關(guān)運(yùn)算時(shí)也離不開數(shù)的運(yùn)算，有些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可以進(jìn)行類比遷移。

作為初中數(shù)學(xué)代數(shù)板塊的起始內(nèi)容，代數(shù)式是我們后面研究方程、不等式、整式乘法、分式、二次根式、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，起著“統(tǒng)領(lǐng)全文”的作用。而代數(shù)式中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法貫穿我們初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，需要我們重點(diǎn)關(guān)注和深入研究。

分類討論

例1 比較a+b與a-b的大小。

【解析】比較代數(shù)式的大小，我們可以采用作差法。（a+b）-（a-b）=2b。其中，b可以取任意值，因此這兩個(gè)式子的大小關(guān)系不確定，我們需要分三種情況討論：當(dāng)b＞0時(shí)，a+b＞a-b；當(dāng)b＜0時(shí)，a+b＜a-b；當(dāng)b=0時(shí)，a+b=a-b。

比較兩個(gè)數(shù)的大小，結(jié)論是確定的。而代數(shù)式中的字母可以取任意值，所以在一般情況下，我們無法直接比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。此時(shí)，我們可以先作差，然后對(duì)作差的結(jié)果進(jìn)行分類討論，但要注意討論過程中不要出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏等情況。

整體思想

例2 已知代數(shù)式x2-2x+3的值是7，則代數(shù)式-4x+2x2的值是 。

【解析】一般情況下，我們需要知道代數(shù)式中所含字母的值，然后將其代入代數(shù)式求值，比如本例中知道x的值即可。根據(jù)已知條件，得x2-2x+3=7。以我們目前的知識(shí)儲(chǔ)備無法直接解這個(gè)方程，也就無法知道x的具體值。但是我們可以得到x2-2x=4。如果將x2-2x看成一個(gè)整體，所求代數(shù)式-4x+2x2的值正好是x2-2x的兩倍，所以得到代數(shù)式-4x+2x2的值是8。

求代數(shù)式的值，我們除了將代數(shù)式中所含字母的值代入，還可以根據(jù)已知條件進(jìn)行變形，然后整體代入求值。這就是整體思想的魅力。

猜想歸納

例3 觀察下列關(guān)于x的單項(xiàng)式，探究其規(guī)律：x，4x3，9x5，16x7，25x9……按照上述規(guī)律，第n項(xiàng)是 。

【解析】此類題型考查通過猜想歸納發(fā)現(xiàn)所列代數(shù)式的規(guī)律。我們一般從以下角度觀察：系數(shù)、字母、字母的指數(shù)，即單項(xiàng)式的各項(xiàng)要素。通過觀察，我們猜想系數(shù)為n平方，字母都是x，字母的指數(shù)為2n-1，由此我們歸納出第n項(xiàng)為n2x2n-1。

猜想歸納是非常重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)于研究問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律有著重要的作用。我們要學(xué)會(huì)在觀察的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)，大膽猜想、謹(jǐn)慎歸納、小心論證。

數(shù)形結(jié)合

例4 如圖1，長為y（cm），寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊。除陰影A、B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為5cm，則陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為（ ）。

<D：＼JR工作＼初中生＼7年級(jí)＼11＼王張毅-1.tif>

圖1

A.x-y+5 B.2x+y+5

C.2x-y+5 D.x+y+5

【解析】結(jié)合圖形中所蘊(yùn)含的邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系，我們可以分別表示出A的較短邊長為x-10，陰影B的較短邊長為x-（y-15），然后相加得到所求的兩條邊之和為2x-y+5。故選C。

矩形是溝通代數(shù)與幾何的重要橋梁之一。通過代數(shù)式對(duì)矩形周長和面積的表示，我們可以更加直觀地感受代數(shù)式所蘊(yùn)含的實(shí)際意義。在后續(xù)學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)，我們能夠更加深切地感受這一點(diǎn)。

數(shù)學(xué)思想是掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的強(qiáng)大工具。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們應(yīng)當(dāng)努力發(fā)現(xiàn)并深刻理解這些思想，如分類討論、整體思想、歸納推理、數(shù)形結(jié)合等。隨著學(xué)習(xí)的深入，我們還將逐漸接觸到更多數(shù)學(xué)思想，例如類比推理、問題轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等，這些豐富的思想將為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅增添更多色彩。

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）