結(jié)合2024年高考題談函數(shù)概念與性質(zhì)的復(fù)習(xí)

函數(shù)的概念與性質(zhì)不僅是函數(shù)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵所在.只有真正掌握了這些基本內(nèi)容，在遇到復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，才能迅速找到切入點(diǎn)，有效地解決問(wèn)題.因此，學(xué)生要對(duì)函數(shù)的概念與性質(zhì)給予足夠的重視，認(rèn)真學(xué)習(xí)、反復(fù)練習(xí)，確保能夠熟練掌握和靈活運(yùn)用.教師通過(guò)對(duì)高考數(shù)學(xué)函數(shù)概念與性質(zhì)試題的研究，能夠?yàn)閷?shí)際教學(xué)帶來(lái)一些有益的思考和針對(duì)性啟示，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提升.

1 高考數(shù)學(xué)真題中函數(shù)題目的特點(diǎn)

1.1 題目類(lèi)型多樣化

從題目類(lèi)型的視角來(lái)看，函數(shù)題目的展現(xiàn)形式豐富多樣.其中有不少針對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)的單選題和多選題，用以檢驗(yàn)考生對(duì)函數(shù)知識(shí)的基本理解.

例1（新高考Ⅰ卷第6題）已知函數(shù)f（x）=－x2－2ax－a，x<0，ex+ln（x+1），x≥0在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，0］

B.［－1，0］

C.［－1，1］

D.［0，+∞）

該題就考查了函數(shù)的單調(diào)性.

例2（新高考Ⅱ卷第11題）設(shè)函數(shù)f（x）=2x3－3ax2+1，則（）.

A.當(dāng)a>1時(shí)，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f（x）的極大值點(diǎn)

C.存在a，b使得x=b為曲線(xiàn)y=f（x）的對(duì)稱(chēng)軸

D.存在a使得點(diǎn)（1，f（1））為曲線(xiàn)y=f（x）的對(duì)稱(chēng)中心

本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求考生進(jìn)行深入分析與探究，對(duì)綜合運(yùn)用能力有較高的要求.

例3（天津卷第15題）已知函數(shù)f（x）=2x2－ax－|ax－2|+1有唯一零點(diǎn)，則a的取值范圍為.

例4（新高考Ⅰ卷第18題）已知函數(shù)f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（1）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值;

（2）證明：曲線(xiàn)y=f（x）是中心對(duì)稱(chēng)圖形;

（3）若f（x）>－2，當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2，求b的取值范圍.

這些題目涵蓋的知識(shí)范疇相當(dāng)廣泛，不僅涵蓋了函數(shù)的基本性質(zhì)這一核心要素，還融入了函數(shù)圖象分析、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式處理等多個(gè)維度.這種多元化的題型設(shè)置，旨在全方位地評(píng)估考生對(duì)函數(shù)知識(shí)體系的掌握深度和應(yīng)用能力.

1.2 注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查

函數(shù)題目在考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用方面顯得格外重要.這包括函數(shù)的定義域、值域這些基本概念，以及單調(diào)性、奇偶性等核心性質(zhì).

例5（天津卷第4題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）.

A.y=ex－x2x2+1

B.y=cos x+x2x2+1

C.y=ex－xx+1

D.y=sin x+4xe|x|

例6（上海卷第2題）已知函數(shù)f（x）=x，x>0，1，x≤0，則f（3）=.

有些題目通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行變形或拓展，以此來(lái)檢驗(yàn)考生對(duì)知識(shí)的深度理解和創(chuàng)新應(yīng)用能力.

例7（新高考Ⅰ卷第13題）若曲線(xiàn)y=ex+x在點(diǎn)（0，1）處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ln（x+1）+a的切線(xiàn)，則a=.

例8（新高考Ⅰ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）>f（x－1）+f（x－2），且當(dāng)x<3時(shí)，f（x）=x，則下列結(jié)論中一定正確的是（）.

A.f（10）>100

B.f（20）>1 000

C.f（10）<1 000

D.f（20）<10 000

這種對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深入考查，不僅有助于考生夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升解題能力，更為他們未來(lái)更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了堅(jiān)實(shí)的支撐.

1.3 強(qiáng)調(diào)綜合運(yùn)用能力

在高考數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，函數(shù)并非一個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，而是與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密交織、相得益彰.函數(shù)題目經(jīng)常與不等式、數(shù)列、解析幾何等諸多知識(shí)點(diǎn)交融共生，形成了一道道綜合性極強(qiáng)的難題.

例9（新高考Ⅱ卷中第16題）已知函數(shù)f（x）=ex－ax－a3.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；

（2）若f（x）有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.

例10（上海卷第18題）若f（x）=logax（a>0，a≠1）.

（1）y=f（x）過(guò)（4，2），求f（2x－2）<f（x）的解集；

（2）存在x使得f（x+1），f（ax），f（x+2）成等差數(shù)列，求a的取值范圍.

這類(lèi)題目對(duì)考生的要求極高，不僅需要掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)，還需要具備靈活運(yùn)用這些知識(shí)的技巧和方法.解題時(shí)需要深入分析題目，找出題目中的關(guān)鍵信息，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算，最終得出正確答案.這種綜合性的考查方式，不僅能夠有效檢驗(yàn)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，更能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維和創(chuàng)新精神.

2 函數(shù)概念與性質(zhì)的復(fù)習(xí)策略

函數(shù)概念與性質(zhì)的復(fù)習(xí)策略如圖1所示.

2.1 深入梳理與鞏固函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)，對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的深入梳理和鞏固顯得尤為關(guān)鍵.學(xué)生首先要系統(tǒng)回顧函數(shù)的定義和特性，明確函數(shù)是從定義域到值域的映射，解函數(shù)的不同表示方法，并能在實(shí)際中靈活加以運(yùn)用.其次，深入理解函數(shù)的定義域和值域，這關(guān)系到能否準(zhǔn)確判斷函數(shù)自變量和函數(shù)值的范圍.在掌握這些知識(shí)的基礎(chǔ)上，還要重點(diǎn)把握函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.單調(diào)性關(guān)乎函數(shù)在特定區(qū)間上的變化趨勢(shì)，而奇偶性則體現(xiàn)了函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn).除了基本性質(zhì)，函數(shù)的運(yùn)算與復(fù)合同樣關(guān)鍵.運(yùn)算涉及加、減、乘、除，復(fù)合則是將一函數(shù)輸出作為另一函數(shù)輸入.這些操作豐富了函數(shù)的表達(dá)形式，提升了解決問(wèn)題的靈活性.在鞏固函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，需結(jié)合理論與實(shí)踐，通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)與應(yīng)用，這樣學(xué)生才能夠更好地理解和掌握函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，提高自身的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 加強(qiáng)專(zhuān)題訓(xùn)練與技巧提升

在夯實(shí)了函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)之后，加強(qiáng)專(zhuān)題訓(xùn)練與技巧提升成為關(guān)鍵步驟.對(duì)于函數(shù)的定義、性質(zhì)等核心要點(diǎn)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)出具有針對(duì)性的專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題，這些練習(xí)題應(yīng)兼具深度與廣度.在此過(guò)程中，學(xué)生不能僅僅滿(mǎn)足于做題的數(shù)量，更要注重做題的質(zhì)量.每做完一道題，都應(yīng)進(jìn)行深入的分析和總結(jié)，理解題目考查的知識(shí)點(diǎn)、解題思路和可能存在的陷阱.這樣，學(xué)生在面對(duì)同類(lèi)型題目時(shí)，才能夠迅速找到解題的切入點(diǎn)，提高解題效率.此外，歷年高考真題和模擬題也是學(xué)生進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練的重要資源.通過(guò)分析這些題目，學(xué)生可以了解到函數(shù)題目的出題規(guī)律和?？贾R(shí)點(diǎn)，進(jìn)而掌握解題技巧和方法.

2.3 注重綜合應(yīng)用與能力提升

在復(fù)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，學(xué)生更應(yīng)聚焦于它的綜合應(yīng)用，以及如何在實(shí)踐中提升自身的解題技巧和思維能力.首先，函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，如不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.這就意味著在復(fù)習(xí)過(guò)程中不能孤立地看待函數(shù)，而應(yīng)該將它放在一個(gè)更為寬廣的數(shù)學(xué)體系中來(lái)理解和應(yīng)用.通過(guò)整合練習(xí)，學(xué)生可以更好地把握函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，從而在實(shí)際問(wèn)題中靈活加以運(yùn)用.其次，注重函數(shù)的綜合應(yīng)用，意味著學(xué)生需要更多地接觸和解決實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)分析、解決這些問(wèn)題，學(xué)生可以更加深入地理解函數(shù)的本質(zhì)和特性，同時(shí)也能提升自身的解題能力和實(shí)踐技能.此外，學(xué)生還應(yīng)該關(guān)注一些新穎、有挑戰(zhàn)性的函數(shù)題目.這些題目往往能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，同時(shí)也能幫助其拓展視野，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和解題能力.

2.4 關(guān)注高考趨勢(shì)與動(dòng)態(tài)調(diào)整復(fù)習(xí)策略

在當(dāng)前高考數(shù)學(xué)命題變革與創(chuàng)新的大背景下，教師、學(xué)生都需要緊密關(guān)注函數(shù)部分的命題趨勢(shì)與核心要點(diǎn)，以確保復(fù)習(xí)方向與考試要求緊密相連，不偏離考試核心.為了做到這一點(diǎn)，教師首先要仔細(xì)研讀并深入研究數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及相關(guān)的命題解析資料，這些資料中往往蘊(yùn)含了命題專(zhuān)家對(duì)高考數(shù)學(xué)命題趨勢(shì)的精準(zhǔn)判斷和預(yù)測(cè).通過(guò)仔細(xì)研讀，教師可以清晰地了解函數(shù)題目的命題方向、考查重點(diǎn)以及潛在的出題陷阱，從而在解學(xué)時(shí)做到心中有數(shù)，應(yīng)對(duì)自如.其次，針對(duì)函數(shù)部分的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)和難點(diǎn)題型，教師可以幫助學(xué)生制定更加具有針對(duì)性的復(fù)習(xí)計(jì)劃，通過(guò)多做題、多總結(jié)、多反思來(lái)提升學(xué)生的解題能力和思維水平.此外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思和總結(jié)，找出不足之處，并制定相應(yīng)的改進(jìn)計(jì)劃，以提高應(yīng)對(duì)高考數(shù)學(xué)函數(shù)概念與性質(zhì)試題的能力.