應(yīng)用場(chǎng)景巧創(chuàng)設(shè)，函數(shù)問(wèn)題妙同構(gòu)

摘要：同構(gòu)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中比較特殊的一種思維方式，是構(gòu)造法的一種特殊技巧，在歷年高考數(shù)學(xué)命題中都有其“影蹤”，倍受命題者的青睞.結(jié)合不同的應(yīng)用場(chǎng)景與條件創(chuàng)設(shè)，以不同的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題的巧妙同構(gòu)，借助實(shí)例剖析，歸納總結(jié)同構(gòu)應(yīng)用的常見(jiàn)類(lèi)型，以及解題技巧與方法，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；同構(gòu)；變量；恒成立；不等式

在解決一些函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助題設(shè)條件中的代數(shù)關(guān)系式、函數(shù)與方程、不等式等問(wèn)題中對(duì)應(yīng)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理恒等變形與等價(jià)轉(zhuǎn)化，找出對(duì)應(yīng)等式（或不等式）兩邊所具有的共性或同型，借助相同結(jié)構(gòu)的代數(shù)式來(lái)巧妙同構(gòu)函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、最值等）來(lái)綜合轉(zhuǎn)化并處理相關(guān)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與突破.

1 變量分離同構(gòu)

在涉及多變量的代數(shù)關(guān)系式、函數(shù)與方程、不等式等問(wèn)題中，變量分離同構(gòu)經(jīng)常被采用.其實(shí)質(zhì)是借助變量的合理分離與巧妙轉(zhuǎn)化，通過(guò)在等式（或不等式）兩邊配湊相同的變量，以方便進(jìn)一步的同構(gòu)函數(shù)與應(yīng)用.

例1（1）若0＜x1＜x2＜a時(shí)，x2ln x1－x1＼5ln x2≤x1－x2恒成立，則a的最大值為（）.

A.12

B.1

C.e

D.2e

（2）若對(duì)任意的x1，x2∈[－2，0），且x1＜x2，x2ex1－x1ex2x1－x2＜a恒成立，則a的最小值為（）.

A.－3e2

B.－2e2

C.－1e2

D.－1e

解析：（1）由x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，變形整理得ln x1x1－ln x2x2≤1x2－1x1，即ln x1x1+1x1≤ln x2x2+1x2恒成立.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ln xx+1x，x>0，結(jié)合0＜x1＜x2＜a可知，函數(shù)f（x）在（0，a）上為增函數(shù)，所以f′（x）≥0在（0，a）上恒成立.

由于f′（x）=－ln xx2，令f′（x）=0解得x=1，因此函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù).

所以a≤1，即a的最大值為1.

（2）依題意，因?yàn)閤1＜x2，所以x1－x2＜0，則x2ex1－x1ex2x1－x2＜a可轉(zhuǎn)化為x2ex1－x1ex2＞a（x1－x2），整理得x2ex1+ax2＞x1ex2+ax1.因?yàn)閤1x2＞0，所以ex1x1+ax1＞ex2x2+ax2.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=exx+ax，x∈[－2，0），結(jié)合x(chóng)1＜x2可知，函數(shù)f（x）在[－2，0）上單調(diào)遞減，所以f′（x）=ex（x－1）－ax2≤0在[－2，0）上恒成立，所以ex（x－1）≤a在[－2，0）上恒成立.

令函數(shù)g（x）=ex（x－1），則g′（x）=ex（x－1）+ex=xex＜0在[－2，0）上恒成立，則g（x）=ex（x－1）在[－2，0）上單調(diào)遞減，所以g（x）≤g（－2）=－3e2.

則a≥－3e2，即a的最小值為-3e2.

點(diǎn)評(píng)：變量分離同構(gòu)往往用于解決涉及雙變量的綜合應(yīng)用問(wèn)題.借助題設(shè)條件中的代數(shù)關(guān)系式、函數(shù)與方程、不等式等，通過(guò)合理的移項(xiàng)、同乘或同除、系數(shù)配湊等方式來(lái)運(yùn)算與變形，巧妙將同一變量的關(guān)系式轉(zhuǎn)換到等式（或不等式）的同一邊，通過(guò)觀察等式（或不等式）兩邊中對(duì)應(yīng)關(guān)系式的相同結(jié)構(gòu)特征，合理尋找并同構(gòu)對(duì)應(yīng)的函數(shù)來(lái)分析與應(yīng)用.

2 指對(duì)跨階同構(gòu)

在涉及指對(duì)混合的代數(shù)關(guān)系式、函數(shù)與方程、不等式等問(wèn)題中，往往離不開(kāi)指對(duì)跨階同構(gòu).其實(shí)質(zhì)是靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式a=eln a（a>0），a=ln ea等進(jìn)行變形，結(jié)合和、差、積、商等不同形式的運(yùn)算類(lèi)型來(lái)合理同構(gòu)函數(shù)，給解題與應(yīng)用創(chuàng)造條件.

例2（1）已知f（x）=x+e-x，g（x）=xa－aln x（a＜0），若f（x）≥g（x）在（1，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）.

A.－2e

B.－e

C.－e

D.－e2

（2）當(dāng)x>0時(shí)，ae2x≥lnxaex恒成立，則a的取值范圍為（）

A.0，12ee

B.0，1e

C.1e，+∞

D.12e，+∞

解析：由（1）f（x）≥g（x），得－x－e-x≤aln x－xa，則ln e-x－e-x≤ln xa－xa，即ln xa－xa≥ln e-x－e-x在x∈（1，+∞）上恒成立.

當(dāng)x∈（1，+∞），a＜0時(shí)，0＜xa＜1，0＜e-x＜1.

同構(gòu)函數(shù)h（t）=ln t－t（0＜t＜1），則h′（t）=1t－1＞0，所以h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，故有xa≥e-x，則a≥logxe-x=－xln x在x∈（1，+∞）上恒成立.

令函數(shù)F（x）=－xln x（x＞1），則F′（x）=1－ln xln 2x，令F′（x）=0，解得x=e.所以當(dāng)1＜x＜e時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞e時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減.所以F（x）max=F（e）=－e.

所以a≥－e，即實(shí)數(shù)a的最小值為－e.

（2）當(dāng)x>0時(shí)，ae2x≥lnxaex恒成立，則有ae2x≥lnxaex=ln x－ln a－x在（0，+∞）上恒成立，即eln a+2x+ln a+2x≥eln x+ln x在（0，+∞）上恒成立.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ex+x，x>0，則f′（x）=ex+1>0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以ln a+2x≥ln x在（0，+∞）上恒成立，即ln a≥ln x－2x在（0，+∞）上恒成立.

設(shè)函數(shù)g（x）=ln x－2x，x>0，可得g′（x）=1x－2=1－2xx，令g′（x）=0解得x=12.所以當(dāng)x∈0，12時(shí)，g′（x）>0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈12，+∞時(shí)，g′（x）<0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減.

所以g（x）max=g12=ln12－1=ln12e.

所以ln a≥ln12e，解得a≥12e.

點(diǎn)評(píng)：指對(duì)跨階同構(gòu)往往用于解決涉及指數(shù)函數(shù)ex與對(duì)數(shù)函數(shù)ln x的相關(guān)“指對(duì)”混合等式（或不等式）的綜合應(yīng)用問(wèn)題.解題時(shí)，關(guān)鍵是借助“指對(duì)”混合等式（或不等式）加以恒等變形，側(cè)重于研究指數(shù)或?qū)?shù)，目的都是尋找同型或共性，為合理同構(gòu)函數(shù)創(chuàng)造條件.利用指對(duì)跨階同構(gòu)解題時(shí)，不同視角的變形對(duì)應(yīng)不同的同構(gòu)函數(shù)形式，往往同構(gòu)函數(shù)并不單一，雖方式各異，但殊途同歸.

3 放縮變形同構(gòu)

在涉及指數(shù)或?qū)?shù)等式（或不等式）的綜合問(wèn)題中，直接利用指對(duì)跨階同構(gòu)有時(shí)無(wú)法達(dá)到目的，需要借助重要的切線不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），ln x≤x－1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立），以及不等式的基本性質(zhì)等加以合理放縮處理，在此基礎(chǔ)上再加以巧妙同構(gòu)與應(yīng)用.

例3已知實(shí)數(shù)a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）.

A.1<b<a

B.a<b<2a

C.2a<b<a

D.ea<b<e2a

解析：由于a，b∈（1，+∞），2（a+b）=e2a+2ln b+1，移項(xiàng)并變形可得e2a－2a+1=2b－2ln b.

結(jié)合基本不等式可得2b－2ln b<b2+1－2ln b=b2－ln b2+1〔這里由于b∈（1，+∞），取不到等號(hào)〕.

再結(jié)合重要的切線不等式可得2b－2ln b=（b－ln b）+（b－ln b）>b－ln b+1（這里同樣也取不到等號(hào)）.

所以eln b－ln b+1=b－ln b+1<e2a－2a+1=2b－2ln b<b2－ln b2+1=elnb2－ln b2+1.

同構(gòu)函數(shù)f（x）=ex－x－1，x>0，則以上不等式等價(jià)于f（ln b）<f（2a）<f（ln b2）.

由f′（x）=ex－1>0知，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以有l(wèi)n b<2a<ln b2，即b<e2a<b2，可得ea<b.

綜合可得ea<b<e2a.

點(diǎn)評(píng)：放縮變形同構(gòu)往往用于解決一些涉及“指對(duì)”混合且更為復(fù)雜的等式（或不等式）的綜合應(yīng)用問(wèn)題.基于解決“指對(duì)”混合的指對(duì)跨階同構(gòu)無(wú)法直接達(dá)到目的，如果借助重要的切線不等式以及其他不等式的基本性質(zhì)（基本不等式等）進(jìn)行放縮變形處理，可以更加便捷地尋找等式（或不等式）的同型或共性，為進(jìn)一步的同構(gòu)函數(shù)與應(yīng)用創(chuàng)造條件.

利用同構(gòu)函數(shù)處理一些函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，其實(shí)質(zhì)就是通過(guò)題目中的代數(shù)關(guān)系式、函數(shù)與方程、不等式等的等價(jià)變形，使得對(duì)應(yīng)等式（或不等式）的兩邊的關(guān)系式結(jié)構(gòu)相同或相似，進(jìn)而將問(wèn)題看成同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)不同函數(shù)值問(wèn)題，借助同構(gòu)函數(shù)來(lái)突破對(duì)應(yīng)的等式（或不等式）問(wèn)題，使問(wèn)題得以巧妙解決.正是通過(guò)同構(gòu)函數(shù)法，在深入掌握代數(shù)變形與轉(zhuǎn)化的同時(shí)，進(jìn)一步理解并掌握數(shù)學(xué)思想與方法，養(yǎng)成敏銳的觀察能力，有效提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高思維能力.