滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的三角函數(shù)同角關(guān)系教學(xué)策略探究

摘要：通過借助單位圓作出幾何解釋、引導(dǎo)學(xué)生利用整體換元思想以及充分發(fā)揮幾何直觀方法的價值，提出了一些教學(xué)思路.此外，還提出了三個具體的教學(xué)策略，即重視相關(guān)公式的記憶、加強(qiáng)熱點(diǎn)題型的訓(xùn)練、重視多媒體教學(xué)工具.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象；三角函數(shù)；同角關(guān)系；教學(xué)策略

高中數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，其核心素養(yǎng)的培養(yǎng)一直是教育工作者關(guān)注的重點(diǎn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)抽象作為核心素養(yǎng)之一，幫助學(xué)生在不同情境下，準(zhǔn)確理解和應(yīng)用抽象數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，概括和推廣一般數(shù)學(xué)規(guī)律，提高抽象數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)是一個重要的知識點(diǎn)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將三角函數(shù)知識放在了函數(shù)主線之中，更加突出了其函數(shù)屬性.由于同角三角函數(shù)的抽象性和復(fù)雜性，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)時遇到了困難，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳.因此，本文中旨在探究如何通過有效的教學(xué)策略，加強(qiáng)學(xué)生對三角函數(shù)同角關(guān)系的理解和掌握，并滲透數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng).

1 滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)思路

1.1 利用單位圓進(jìn)行幾何解釋

數(shù)學(xué)抽象能力是指學(xué)生能夠?qū)⒕唧w的事物、現(xiàn)象和問題抽象為數(shù)學(xué)對象，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號進(jìn)行描述、分析和解決問題的能力.在三角函數(shù)的定義中，角度的度量方式有弧度制和角度制兩種，而單位圓則是將角度與弧度制聯(lián)系起來的重要工具.在單位圓上，每個點(diǎn)對應(yīng)一個角，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)即為三角函數(shù)值，因此在滲透數(shù)學(xué)抽象能力的三角函數(shù)同角關(guān)系教學(xué)中，借助單位圓作出幾何解釋可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)同角關(guān)系，同時借助單位圓還能夠引導(dǎo)學(xué)生通過可視化的方式去思考和解決問題，提高他們的數(shù)學(xué)抽象能力.

根據(jù)新課標(biāo)的要求，在三角函數(shù)同角關(guān)系的教學(xué)中，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的求知欲與學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、運(yùn)用、反思的全過程，最終實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

因此，在教學(xué)中，可以先引入單位圓的概念和性質(zhì)，再結(jié)合三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察單位圓上的點(diǎn)在坐標(biāo)系中的運(yùn)動軌跡，理解正弦、余弦和正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，進(jìn)而掌握三角函數(shù)的同角關(guān)系.

1.2 引導(dǎo)學(xué)生利用整體換元思想

整體換元思想是指通過將一些基礎(chǔ)的三角e38a+ASAcJVxVjBkoE3Kah8PBUTJvIuusGY3JWbKOHU=函數(shù)同角關(guān)系公式進(jìn)行簡單的代數(shù)變換，從而得到新的三角函數(shù)同角關(guān)系公式.這種思想在三角函數(shù)同角關(guān)系的學(xué)習(xí)中具有十分重要的作用.利用整體換元思想，學(xué)生只需要掌握一部分基礎(chǔ)公式，就能夠推導(dǎo)出所有的誘導(dǎo)公式.這對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和抽象思維能力非常有幫助.同時.整體換元思想的應(yīng)用也有助于學(xué)生理解三角函數(shù)同角關(guān)系公式之間的邏輯關(guān)系.在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生利用整體換元思想，可以采用實例演練的方式.教師可以先給出一個基礎(chǔ)公式，然后通過代數(shù)變換的方式引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出其他相關(guān)的誘導(dǎo)公式［1］.這種方式能夠幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)同角關(guān)系的本質(zhì)，并且加強(qiáng)他們的抽象思維能力.除此之外，教師還可以設(shè)計一些綜合性的應(yīng)用題，讓學(xué)生利用整體換元思想解決實際問題，從而更好地理解和掌握三角函數(shù)同角關(guān)系的知識.通過這種方式，學(xué)生不僅能夠在應(yīng)用中理解和掌握知識，同時還能夠提高數(shù)學(xué)建模能力.

1.3 充分發(fā)揮幾何直觀方法價值

幾何直觀方法可以讓學(xué)生更加深入地理解三角函數(shù)同角關(guān)系的本質(zhì)，提高其數(shù)學(xué)抽象能力.具體來說，可以通過圖象的展示和解釋，促使學(xué)生形象化地理解三角函數(shù)同角關(guān)系中的各個概念和公式，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和創(chuàng)造力.通過引導(dǎo)學(xué)生繪制三角形和單位圓，促使學(xué)生直觀感受三角函數(shù)同角關(guān)系的幾何本質(zhì).比如，在三角形中，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、余弦和正切函數(shù)的定義及其性質(zhì)，讓學(xué)生通過觀察圖象，感受不同角度下三角函數(shù)的變化規(guī)律.在單位圓中，可以引導(dǎo)學(xué)生理解三角函數(shù)同角關(guān)系的基本概念，如弧度、正弦、余弦、正切等，讓學(xué)生通過觀察圖象，感受三角函數(shù)的圖象變化規(guī)律，以及三角函數(shù)之間的關(guān)系.

2 滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)策略

2.1 重視相關(guān)公式的記憶

同角關(guān)系中的誘導(dǎo)公式是一個更為復(fù)雜的公式類別，其主要功能在于揭示不同角度的三角函數(shù)值間的關(guān)系.深入理解和熟練掌握這些公式，對學(xué)生運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系解決實際問題非常重要.

在教學(xué)過程中，采用多模態(tài)記憶策略，如口頭朗讀、書寫以及反復(fù)復(fù)習(xí)等方式，幫助學(xué)生牢固記憶誘導(dǎo)公式.在學(xué)生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式理解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過生動的實例演示和幾何解釋，促進(jìn)他們對這些公式的深刻理解.

對此，利用基本的幾何原理，如三角形的內(nèi)角和為180°，通過繪制直觀的圖形，清晰地展示由正弦、余弦的定義如何推導(dǎo)出正切.這種方式可以幫助學(xué)生直觀地理解同角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，深化他們對公式的理解.

當(dāng)學(xué)生掌握正弦、余弦誘導(dǎo)公式后，進(jìn)一步通過實例演示和幾何解釋，促使他們更深入地理解這些公式以及其在實際問題解決中的應(yīng)用.詳細(xì)地展示如何根據(jù)正弦和余弦的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出正切的誘導(dǎo)公式，并引導(dǎo)他們理解誘導(dǎo)公式在實際問題解決中的應(yīng)用.這樣不僅加深了學(xué)生對誘導(dǎo)公式的理解，也提高了他們靈活應(yīng)用公式解決實際問題的能力.

2.2 加強(qiáng)熱點(diǎn)題型的訓(xùn)練

通過針對關(guān)鍵問題的特定訓(xùn)練，學(xué)生可以提升解題技能、創(chuàng)新思考和廣泛的應(yīng)用能力，從而更全面地理解和掌握同角關(guān)系的相關(guān)知識，并靈活地將這些知識應(yīng)用于實際問題中.這種訓(xùn)練方法適用于教育實踐，目的在于引入持續(xù)練習(xí)的原則，以逐漸提高學(xué)生的問題解決能力和抽象思維能力.

在實際教學(xué)環(huán)境中，將重要問題的訓(xùn)練集成到教學(xué)過程中，構(gòu)建一系列的練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行現(xiàn)實操作.通過這種實踐方式，學(xué)生能夠利用已學(xué)的知識解決實際問題，進(jìn)一步加強(qiáng)對同角關(guān)系的理解和應(yīng)用.通過以學(xué)生為中心的實踐方法，可以發(fā)展他們解決問題的能力和策略.

在學(xué)生完成一系列的練習(xí)后，進(jìn)行總結(jié)和歸納.引導(dǎo)學(xué)生深入思考各種解題策略和方法的利弊，并協(xié)助他們總結(jié)出有效的問題解決策略.這樣的總結(jié)過程有助于促進(jìn)學(xué)生的抽象思維和分析能力的發(fā)展，加深他們對同角關(guān)系知識點(diǎn)的理解，同時，這也有助于他們靈活地將所學(xué)知識應(yīng)用于其他相關(guān)問題的解決［2］.

例如，（1）在解決有關(guān)三角形問題時，需要注意觀察題目中是否存在等式關(guān)系，以及是否存在邊和角的齊次關(guān)系.通過觀察，將邊和角的關(guān)系互化，可以有效化簡和解決問題.如“a=b”可轉(zhuǎn)化為“sin A=sin B”等（也可角化邊），a2=2b不可轉(zhuǎn)化為“sin 2A=2sin B”.

（2）當(dāng)題目中出現(xiàn)同角正余弦之積或半角二倍角公式化簡，出現(xiàn)sin Acos C+sin Ccos A時，可以合并為sin（A+C）.

（3）在解決邊之比與角之比可以互化，出現(xiàn)平方項或兩邊乘積時，一般用余弦定理來代換或求解.

（4）當(dāng)?shù)仁街谐霈F(xiàn)同角的正余弦且求其中一個值時，考慮利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式，通過解方程的方法解出.

對歷屆高考試題的類型和難易度進(jìn)行細(xì)致梳理，并針對這些重點(diǎn)設(shè)計相關(guān)訓(xùn)練題目，有助于學(xué)生更深入地理解高考試題的命題模式和解題策略.將歷年高考題目按照題型進(jìn)行分類，并深入剖析各類型題目的解題思路和方法，可有效幫助學(xué)生深化對解題策略的理解和應(yīng)用，從而提高其問題解決能力.

如，將解三角形之求三角函數(shù)值的范圍問題歸納成一個專題，如圖1所示.

專題解三角形之求三角函數(shù)值的范圍

【解題策略】面積、范圍問題的兩個解題技巧：①建立邊、角之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，可以通過均值不等式、三角函數(shù)有界性求出；②全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，從而求出范圍.

【小試牛刀】

1.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2（acos C+ccos A）cos C+b=0.

（1）求角C的大小;

（2）求sin2A+sin2B的取值范圍.

2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin Bsin C=sin2B+sin2C-sin2A.

（1）求角A;

（2）求cos B+cos C的最大值.

3.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos B=-12.

（1）若a=2，b=23，求△ABC的面積；

（2）求sin A＼5sin C的取值范圍.

【真題演練】

1.（2022年全國Ⅰ卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A1+sin A=sin 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2.（2019全國Ⅲ卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=b sin A.

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

3.（2013新課標(biāo)Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcos C+csin B.

（1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面積的最大值

圖1

2.3 重視多媒體教學(xué)工具

為幫助學(xué)生更好地理解和掌握同角關(guān)系的知識點(diǎn)，教師在教學(xué)中可以借助單位圓作出幾何解釋、引導(dǎo)學(xué)生利用整體換元思想和充分發(fā)揮幾何直觀方法價值等滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過對教學(xué)思路的闡述，本文中提出了幾種教學(xué)策略，即重視相關(guān)公式的記憶、加強(qiáng)熱點(diǎn)題型的訓(xùn)練和重視多媒體教學(xué)工具，這些策略在教學(xué)實踐中具有一定的可行性和有效性，可以幫助學(xué)生更好地掌握三角函數(shù)同角關(guān)系的知識點(diǎn)，并能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識靈活應(yīng)用于實際問題中.

參考文獻(xiàn)：

[1]張長貴.基于TPACK理論的“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”的教學(xué)與思考[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（4）：31-36.

[2]葉立軍，戚方柔.指向?qū)W科核心素養(yǎng)的大概念教學(xué)機(jī)理及教學(xué)策略[J].教學(xué)與管理，2021（6）：91-93.