挖掘代數(shù)式結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新構(gòu)造法應(yīng)用

摘要：含參不等式恒成立下的綜合問題，是新高考數(shù)學(xué)試卷中一類考查數(shù)學(xué)“四基”與“四能”的重要應(yīng)用場景，場景新穎，知識交匯，內(nèi)涵豐富，解法靈活.結(jié)合一道高考模擬題，就含參不等式恒成立問題中的參數(shù)取值范圍的求解及其應(yīng)用，總結(jié)解題技巧，歸納方法策略，指導(dǎo)師生的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)以及解題研究.

關(guān)鍵詞：不等式；最值；構(gòu)造；分類討論；性質(zhì)

含參不等式恒成立問題，融入含參場景下的函數(shù)、方程或不等式等的綜合應(yīng)用，一直是高考命題的重點與熱點之一.此類問題形式多樣，變化多端，內(nèi)涵豐富多彩，知識綜合性強(qiáng).同時，此類問題的解題技巧與方法靈活多變，是全面考查考生“四基”與“四能”的一個很好載體，具有較好的選拔性與區(qū)分度，備受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2024年河南省天一大聯(lián)考高三考前模擬考試數(shù)學(xué)試卷·14）已知x，y，z∈（0，1），且x+y+z－xy－yz－zx<k，則實數(shù)k的最小值為.

此題以限定條件下的三變元所對應(yīng)的含參不等式恒成立為問題場景，利用代數(shù)式恒小于對應(yīng)參數(shù)，進(jìn)而來確定該參數(shù)的最小值.其中，對應(yīng)的三變元代數(shù)式是三變元之和與三變元兩兩之積的差所對應(yīng)的代數(shù)式，具有一定的對稱性與輪換性，成為問題中的一大重要結(jié)構(gòu)特征.

具體解題時，可以合理借助三變元代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造模型，利用平面幾何圖形來切入與應(yīng)用；也可以合理通過不等式的基本性質(zhì)與函數(shù)性質(zhì)等加以分類討論，利用分類討論思維來邏輯推理與應(yīng)用；還可以直接利用不等式的基本性質(zhì)加以合理創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用，通過不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化來分析與推理.這些基本方法，都是解決該問題的基本思維方式，也是解決問題的基本策略.

2 問題破解

2.1 構(gòu)造思維

解法1：構(gòu)造法.

依題，由于x+y+z－xy－yz－zx=x（1－y）+y（1－z）+z（1－x），并注意到x+1－x=y+1－y=z+1－z=1.

如圖1所示，設(shè)邊長為1的正三角形ABC的邊AB，BC，CA上分別有點P，Q，R（與頂點不重合），AP+PB=BQ+QC=CR+RA=1，即AP=x，PB=1－x，BQ=z，QC=1－z，CR=y，RA=1－y.

由于△APR，△BPQ，△CQR面積之和小于△ABC的面積，則可得S△APR+S△BPQ+S△CQR<S△ABC，即12x（1－y）sinπ3+12z（1－x）sinπ3+12y（1－z）＼5sinπ3<12×1×1×sinπ3，可得x（1－y）+y（1－z）+z（1－x）<1，所以1≤k.

所以實數(shù)k的最小值為1.

點評：借助不等式中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建正三角形這一平面幾何圖形，利用三角形的面積公式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而確定對應(yīng)的不等式，給含參不等式恒等式的解決創(chuàng)造條件，實現(xiàn)參數(shù)的最值的確定與求解.

2.2 不等式思維

解法2：分類討論法.

依題，不妨設(shè)0<x≤y≤z<1，令ω=x+y+z－xy－yz－zx，則ω=z（1－x－y）+x+y－xy.

根據(jù)0<x+y<2，分兩種情況討論：

（1）當(dāng)0<x+y≤1時，1－x－y≥0，0<z<1，由不等式的基本性質(zhì)，可得ω<（1－x－y）+x+y－xy=1－xy<1；

（2）當(dāng)1<x+y<2時，1－x－y<0，0<z<1，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，可得ω<x+y－xy=x（1－y）+y≤y（1－y）+y=2y－y2=－（y－1）2+1<1.

所以，實數(shù)k的最小值為1.

點評：借助不等式中代數(shù)式的整體構(gòu)建與主元思維，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，通過分類討論思維，在不同條件下進(jìn)行分類討論，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來巧妙應(yīng)用，進(jìn)而確定代數(shù)式的最值，給含參不等式恒成立問題的解決奠定基礎(chǔ)，實現(xiàn)參數(shù)的最值的確定與求解.

解法3：不等式性質(zhì)法.

依題，由于x，y，z∈（0，1），則1－x，1－y，1－z∈（0，1），可得（1－x）（1－y）（1－z）>0.

展開可得（1－x）（1－y）（1－z）=（1－x－y+xy）（1－z）=1－x－y+xy－z+xz+yz－xyz>0，即x+y+z－xy－yz－zx<1－xyz<1，所以1≤k.

所以實數(shù)k的最小值為1.

點評：借助不等式中代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過三變元所對應(yīng)的差式的乘積恒為正，結(jié)合代數(shù)式的展開與變形來構(gòu)建條件中的代數(shù)式，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)來放縮與應(yīng)用，成為解決問題的一大思維方式.借助不等式的基本性質(zhì)，合理創(chuàng)設(shè)與構(gòu)建，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，巧妙實現(xiàn)問題的突破.

3 變式拓展

3.1 類比拓展

變式1已知x1，x2，x3，x4∈（0，1），且x1+x2+x3+x4－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1<k，則實數(shù)k的最小值為.

解析：依題，由于x1+x2+x3+x4－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1=x1（1－x4）+x2（1－x1）+x3（1－x2）+x4（1－x3），并注意到x1+1－x1=x2+1－x2=x3+1－x3=x4+1－x4=1.

如圖2所示，設(shè)邊長為1的正方形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別有點P，Q，R，S（與頂點不重合），AP+PB=BQ+QC=CR+RD=DS+SA=1，即AP=x1，PB=1－x1，BQ=x2，QC=1－x2，CR=x3，RD=1－x3，DS=x4，SA=1－x4.

由于△APS，△BPQ，△CQR，△DRS面積之和小于正方形ABCD的面積，則有12x1（1－x4）+12x2＼5（1－x1）+12x3（1－x2）+12x4（1－x3）<1×1，可得x1（1－x4）+x2（1－x1）+x3（1－x2）+x4（1－x3）<2，所以2≤k.

所以實數(shù)k的最小值為2.

其實，由原問題中的三變元所對應(yīng)的含參不等式恒成立，拓展到四變元所對應(yīng)的含參不等式恒成立，同樣借助構(gòu)造法來分析與處理，給問題的深入理解與創(chuàng)新應(yīng)用創(chuàng)造了更加廣闊的空間.在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步加以深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)新應(yīng)用.

3.2 創(chuàng)新拓展

變式2已知正實數(shù)a，b，c滿足abc=2，如果max{a，b，c}≤2，那么a+b+c－1a－1b－1c的最小值為.

解析：依題正實數(shù)a，b，c滿足abc=2，設(shè)M=a+b+c－1a－1b－1c=a+b+c－ab+bc+caabc=a+b+c－ab+bc+ca2.

而利用基本不等式，可得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=12（2a2+2b2+2c2）+2（ab+bc+ca）≥12（2ab+2bc+2ca）+2（ab+bc+ca）=3（ab+bc+ca），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.

所以ab+bc+ca≤13（a+b+c）2，即M=a+b+c－ab+bc+ca2≥（a+b+c）－16（a+b+c）2.設(shè)t=a+b+c≥33abc=332>3，設(shè)f（t）=t－16t2=－16（t2－6t）=－16（t－3）2+32，由于t>3，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，f（t）max=f（332）=632－3342，則有M≥632－3342.

所以a+b+c－1a－1b－1c的最小值為632－3342，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=213時取得最小值.

以創(chuàng)新定義——最大值（max）為問題場景，借助正實數(shù)的三變元的定積條件來創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而確定三變元之和與三變元的倒數(shù)之和的差所對應(yīng)的代數(shù)式的最值問題，巧妙融入代數(shù)式與創(chuàng)新定義，給代數(shù)式最值的求解滲透創(chuàng)新意識與應(yīng)用意識.

4 教學(xué)啟示

涉及多變元（雙變元、三變元及以上）不等式的恒成立問題，往往比較繁雜，而借助恒成立不等式的等價變形與轉(zhuǎn)化，給問題的切入與應(yīng)用提供條件.在具體解題過程中，可合理進(jìn)行消元或整體處理，也可合理構(gòu)建函數(shù)來處理，還可合理進(jìn)行參數(shù)取值的分類討論處理等，這些都是破解此類問題的常見技巧方法與解題思路.

涉及多變元（雙變元、三變元及以上）的綜合問題，成為近年高考數(shù)學(xué)試卷中的熱門與難點問題之一，形式多樣，變化多端，同時交匯融合的數(shù)學(xué)基本知識點比較多，對數(shù)學(xué)思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區(qū)分度.同時，借助此類綜合問題的考查與應(yīng)用，可以很好地考查學(xué)生思維的發(fā)散性、創(chuàng)新性與開拓性，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).