2022年高考全國(guó)卷第14題解法的五個(gè)視角

摘要：對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠從多角度、多視角去探究，有利于我們能切實(shí)掌握問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵，提高我們靈活解題的能力.

關(guān)鍵詞：切線定義;兩直線的夾角的斜率計(jì)算公式;共交點(diǎn)直線系;四點(diǎn)共圓

（2022年高考全國(guó)卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.

本題是求兩個(gè)圓的公切線方程，那么首先要確定兩個(gè)圓的位置關(guān)系是相離、相交還是相切（分內(nèi)切和外切），進(jìn)而確定兩個(gè)圓存在幾條公切線，然后求解.

1 “圓的切線定義”視角

根據(jù)直線與圓相切的定義可知，直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，它等價(jià)于直線與圓的方程聯(lián)立的方程組只有一個(gè)解.

解法一：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1，C2（3，4），r2=4.

因?yàn)閨C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因?yàn)閳A心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯(lián)立直線l1與連心線C1C2的方程，由x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為-1，-43.

設(shè)圓C1與圓C2公切線l3：y=kx+b，聯(lián)立l3與圓C1的方程得到y(tǒng)=kx+b，x2+y2=1，化簡(jiǎn)整理，得

（k2+1）x2+2kbx+b2-1=0.

所以Δ=（2kb）2-4（k2+1）（b2-1）=0，整理得k2-b2+1=0.又因?yàn)橹本€l3：y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)-1，-43，所以-43=-k+b.聯(lián)立方程得到k2-b2+1=0，-k+b=-43，解得k=724，b=-2524，所以公切線l3的方程為y=724x-2524，即7x-24y-25=0.

點(diǎn)評(píng)：該解法中應(yīng)用了圓的切線定義來(lái)解題，直線與圓的方程構(gòu)成的方程組只有一個(gè)解等價(jià)于一元二次方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，因而判別式Δ=0.

2 “圓心到切線的距離等于半徑”視角

利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算圓心到切線的距離d，由d與半徑r相等列等式求解.

解法二：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因?yàn)閨C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因?yàn)閳A心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯(lián)立直線l1與連心線C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為-1，-43.設(shè)圓C1與圓C2公切線l3：y+43=k（x+1），即kx-y+k-43=0，所以k-43k2+1=1，解得k=724.

所以圓C1與圓C2公切線l3：7x-24y-25=0.

點(diǎn)評(píng)：解法二中應(yīng)用了直線與圓相切的一個(gè)基本性質(zhì)，即圓心到切線的距離等于半徑.

3 “圓的兩條公切線分別與連心線的夾角相等”視角

利用兩直線的夾角的斜率計(jì)算公式，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑求解.

解法三：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因?yàn)閨C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

由于公切線l1，連心線C1C2，公切線l3相交于一點(diǎn)，設(shè)公切線l1與連心線C1C2的夾角為α，連心線C1C2與公切線l3的夾角為β，則α=β，并且tan α=r2-r1|C1C2|2-（r2-r1）2=34.

由于連心線C1C2的斜率k1=43，設(shè)公切線l1或l3的斜率為k，那么tan α=k1-k1+k1k.

由43-k1+43k=34，解得k=724或k不存在.

當(dāng)k=724時(shí)，設(shè)公切線l3：y=724x+b，即7x-24y+24b=0，則

|24b|72+242=1，|7×3-24×4+24b|72+242=4.

解得b=-2524.

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

當(dāng)k不存在時(shí)，設(shè)公切線l1：x=m.

由|m|=1，|m-3|=4，解得m=-1.

所以公切線l1：x=-1.

點(diǎn)評(píng)：此解法適用于兩條公切線的方程都未知的情況下求公切線方程，利用公切線與連心線夾角的性質(zhì)來(lái)解題.

4 “圓的兩條公切線與連心線形成的共交點(diǎn)直線系”視角

若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，

則直線l3：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ≠0）就是過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線.

解法四：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因?yàn)閨C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因?yàn)閳A心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x+1=0是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，即4x-3y=0.由于公切線l1、連心線C1C2、公切線l3相交于一點(diǎn)，因此設(shè)公切線l3：x+1+λ（4x-3y）=0（λ≠0），即（1+4λ）x-3λy+1=0.

由公切線性質(zhì)，得

1（1+4λ）2+（-3λ）2=1，|（1+4λ）×3-3λ×4+1|（1+4λ）2+（-3λ）2=4，

解得λ=-825.

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

點(diǎn)評(píng)：圓的兩條公切線與連心線相交于與一點(diǎn)，形成共點(diǎn)直線系.

5 “四點(diǎn)共圓”視角

兩公切線與同一個(gè)圓的兩個(gè)切點(diǎn)、這兩條公切線的交點(diǎn)及圓心四點(diǎn)共圓，根據(jù)條件求出此圓的方程，將此圓方程與原圓的方程聯(lián)立，解方程組得到兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，即直線與圓的切點(diǎn).

解法五：設(shè)圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因?yàn)閨C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因?yàn)閳A心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯(lián)立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯(lián)立直線l1與連心線C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點(diǎn)為D-1，-43.顯然公切線l1與圓C1相切于點(diǎn)E（-1，0）.設(shè)公切線l3與圓C1相切于點(diǎn)F（x，y），因?yàn)椤螪EC1=∠DFC1=90°，所以D，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.設(shè)四邊形DEC1F的外接圓的圓心為O1，半徑為R，則O1為線段DC1的中點(diǎn)，

半徑R=12|DC1|.

所以O(shè)1-12，-23，且

R=（-1）2+-4322=56.

因此圓O1的方程為x+122+y+232=2536.

聯(lián)立圓O1與圓C1的方程，可得

x+122+y+232=2536，x2+y2=1，

解得x=725，y=-2425，或x=-1，y=0.

所以F725，-2425.

又因?yàn)閘3也經(jīng)過(guò)點(diǎn)D-1，-43，

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

點(diǎn)評(píng)：求直線與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)可轉(zhuǎn)化為解圓O1與圓C1構(gòu)成的方程組，則方程組的解就是切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程.