2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科題11的探究

摘要：立體幾何綜合應(yīng)用問題的解題思維視角往往多變，切入點(diǎn)眾多，是全面考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力等方面的一個(gè)重要場(chǎng)所.結(jié)合一道高考立體幾何題的展示，以多個(gè)思維視角的切入來(lái)解題，剖析巧妙的技巧方法與策略應(yīng)用，指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：立體幾何；四棱錐；面積；向量；三余弦定理

歷年高考數(shù)學(xué)立體幾何試題是基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，借助立體幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力等，合理創(chuàng)設(shè)立體幾何模型，結(jié)合各形式問題的設(shè)置來(lái)巧妙命題，考查“三維”空間問題與“二維”平面問題的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合意識(shí)與空間想象能力等，能夠利用正確的數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言來(lái)描述、分析，并借助幾何直觀，以及合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等來(lái)解決問題.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷理科·11）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，則△PBC的面積為（）.

A.22

B.32

C.42

D.52

此題以四棱錐為立體幾何模型，借助底面的邊長(zhǎng)、部分側(cè)棱長(zhǎng)以及一個(gè)對(duì)應(yīng)角等已知條件的設(shè)置，利用數(shù)據(jù)信息來(lái)合理確定唯一的立體幾何模型，進(jìn)而求解該四棱錐中的一個(gè)相關(guān)側(cè)面三角形的面積.利用“三維”空間設(shè)置，解決“二維”平面問題，實(shí)現(xiàn)不同維度之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.

而在實(shí)際解決此類立體幾何問題時(shí)，可以單純以幾何形式的視角，結(jié)合相關(guān)幾何邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等來(lái)分析與求解；也可以借助空間向量的視角，結(jié)合向量的運(yùn)算等來(lái)化歸與轉(zhuǎn)化；還可以從空間幾何的一些相關(guān)“二級(jí)結(jié)論”或相關(guān)的定理、公式等的視角，結(jié)合立體幾何模型所滿足的條件直接利用相關(guān)定理、公式等來(lái)巧妙應(yīng)用.不同的思維視角，巧妙合理切入，都可以很好達(dá)到目的，巧妙解決問題.

2 真題破解

方法1：幾何法1.

解析：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則O為AC，BD的中點(diǎn)，如圖1所示.

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=42，則DO=CO=22.

又PC=PD=3，所以△PDO≌△PCO，則∠PDO=∠PCO.

又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB≌△PCA，則PA=PB.

在△PAC中，PC=3，AC=42，∠PCA=45°，

于是根據(jù)余弦定理可得PA2=AC2+PC2－2AC·PCcos∠PCA=32+9－2×42×3×22=17，則PA=17，所以PB=17.

在△PBC中，PC=3，PB=17，BC=4，由余弦定理可得

cos∠PCB=PC2+BC2－PB22PC×BC=9+16－172×3×4=13.

又0<∠PCB<π，所以

sin∠PCB=1－cos 2∠PCB=223.

所以△PBC的面積為S=12PC·BCsin∠PCB=12×3×4×223=42.故選擇答案：C.

方法2：幾何法2.

解析：分別取CD，AB的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF，如圖2所示.

因?yàn)镻C=PD，所以PE⊥CD，而底面ABCD為正方形，所以EF⊥CD.

又PE∩EF=E，所以CD⊥平面PEF.

而AB∥CD，所以AB⊥平面PEF.結(jié)合PF平面PEF，可得AB⊥PF.

又F為AB的中點(diǎn)，則PA=PB.

在△PAC中，PC=3，AC=42，∠PCA=45°，

于是根據(jù)余弦定理可得PA2=AC2+PC2－2AC·PCcos∠PCA=32+9－2×42×3×22=17，故PA=17，則有PB=PA=17.

在△PBC中，PC=3，PB=17，BC=4，由余弦定理可得

cos∠PCB=PC2+BC2－PB22PC×BC=9+16－172×3×4=13.

又0<∠PCB<π，所以

sin∠PCB=1－cos 2∠PCB=223.

所以△PBC的面積為S=12PC·BCsin∠PCB=12×3×4×223=42.故選擇答案：C.

解后反思：根據(jù)幾何法，合理將立體幾何中的“三維”問題降維處理，通過平面幾何的“二維”思維來(lái)分析與求解對(duì)應(yīng)的邊與角問題，是解決立體幾何問題中比較常用的技巧思維.借助降維處理，將立體幾何問題通過平面幾何中的解三角形等知識(shí)來(lái)分析與應(yīng)用，空間想象，直觀處理.

方法3：向量法.

解析：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則O為AC，BD的中點(diǎn)，如圖1所示（方法1中的圖）.

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，AB=4，所以AC=BD=42.

在△PAC中，PC=3，AC=42，∠PCA=45°，

于是根據(jù)余弦定理可得PA2=AC2+PC2－2AC·PCcos∠PCA=32+9－2×42×3×22=17.

所以PA=17.

又根據(jù)余弦定理可以得到cos∠APC=PA2+PC2－AC22PA×PC=17+9－322×17×3=－1717.

所以PA·PC=PA·PCcos∠APC=17×3×－1717=－3.

不妨設(shè)PB=m，∠BPD=θ.

由于PO=12（PA+PC）=12（PB+PD），則有（PA+PC）2=（PB+PD）2.

所以PA2+PC2+2PA·PC=PB2+PD2+2PB·PD，即

17+9+2×（－3）=m2+9+2×3×mcos θ，

整理可得m2+6mcos θ－11=0.

在△PBD中，由余弦定理可得BD2=PB2+PD2－2PB·PDcos∠BPD，即32=m2+9－2×m×3cos θ，即m2－6mcos θ－23=0.

所以2m2－34=0，解得m=PB=17.

在△PBC中，PC=3，PB=17，BC=4，由余弦定理可得

cos∠PCB=PC2+BC2－PB22PC×BC=9+16－172×3×4=13.

又0<∠PCB<π，所以

sin∠PCB=1－cos 2∠PCB=223.

所以△PBC的面積為S=12PC·BCsin∠PCB=12×3×4×223=42.故選擇答案：C.

解后反思：根據(jù)空間向量的線性關(guān)系構(gòu)建相關(guān)的關(guān)系式，借助向量的數(shù)量積公式以及解三角形中的余弦定理等構(gòu)建對(duì)應(yīng)三角形中邊與角的關(guān)系，為進(jìn)一步分析與求解提供條件.借助向量的運(yùn)算思維，可以利用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)回避邏輯推理，對(duì)于解決一些立體幾何中的計(jì)算問題有奇效.

方法4：三余弦定理法.

解析：設(shè)AC∩BD=O，過點(diǎn)P作PH⊥平面ABCD，垂足為H，連接OH，CH，如圖3所示.因?yàn)镻C=PD，所以點(diǎn)H在CD的中垂線上，從而OH∥BC.

而底面ABCD為正方形，可得∠BCA=∠DCA=45°.

在△PDC中，PC=PD=3，CD=AB=4，所以

cos∠PCD=PC2+CD2－PD22PC×CD=9+16－92×3×4=23.

設(shè)∠OCH=θ，利用三余弦定理可得

cos∠PCH·cos （45°－θ）=cos∠PCD=23，

cos∠PCH·cos θ=cos 45°=22.

由以上兩式相除，可得cos （45°－θ）cos θ=223，即22（cos θ+sin θ）cos θ=223，解得tan θ=13.

又利用三余弦定理可得

cos∠PCH·cos （45°+θ）=cos∠PCB，

cos∠PCH·cos θ=cos 45°=22.

由以上這兩式相除可得cos （45°+θ）cos θ=cos∠PCB22，即22（cos θ－sin θ）cos θ=2cos∠PCB，解得cos∠PCB=12（1－tan θ）=13.

又0<∠PCB&lt;π，所以

sin∠PCB=1－cos 2∠PCB=223.

所以△PBC的面積為S=12PC·BCsin∠PCB=12×3×4×223=42.故選擇答案：C.

解后反思：根據(jù)立體幾何中的三余弦定理來(lái)解決對(duì)應(yīng)邊之間的三角函數(shù)關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)建線面垂直關(guān)系，并利用線面垂直所對(duì)應(yīng)的不同角之間的關(guān)系來(lái)合理構(gòu)建三角函數(shù)關(guān)系式.三余弦定理（又叫最小值定理）作為一個(gè)課外拓展知識(shí)點(diǎn)，適用于立體幾何中求解平面斜線與平面內(nèi)直線所成的最小角問題，在解決一些空間角的綜合應(yīng)用問題中有奇效.

3 變式拓展

變式在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，則該四棱錐P-ABCD的體積為.

解析：參照原高考真題的不同思維視角，進(jìn)一步加以分析與求解，可得該四棱錐P-ABCD的高為h=2，（方法2可在△PEF中求高，方法4在tan θ的求值基礎(chǔ)上確定cos∠PCH的值后再求高等.）

所以該四棱錐P-ABCD的體積V=13Sh=13×42×2=323.故填答案：323.

4 教學(xué)啟示

此類立體幾何的綜合應(yīng)用問題，嚴(yán)格遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，借助空間幾何場(chǎng)景的設(shè)置，非常好地驗(yàn)證與落實(shí)立體幾何模塊知識(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法建立“數(shù)”與“形”的雙向聯(lián)系，全面考查考生的“四基”，合理開拓并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，不落俗套，不照搬現(xiàn)成模式，有效回避題海戰(zhàn)術(shù)，合理發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力等.