深挖命題內(nèi)涵，多解變式應(yīng)用

摘要：數(shù)學(xué)解題不能只停留在問(wèn)題解答上，合理挖掘命題的本質(zhì)內(nèi)涵，巧妙進(jìn)行“一題多解”“一題多變”等，給解題拓展更加寬廣的空間.本文中借助一道高考真題，結(jié)合兩個(gè)含參的函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，合理挖掘內(nèi)涵，巧妙創(chuàng)新應(yīng)用，歸納總結(jié)規(guī)律與性質(zhì)，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；曲線；交點(diǎn)；偶函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，就是合理探究問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，化“生”為“熟”，巧妙變換，可以給問(wèn)題的切入與應(yīng)用創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)；同時(shí)結(jié)合問(wèn)題的恒等變換，也為問(wèn)題的多解分析提供更加豐富的數(shù)學(xué)解題思路，以及解題的技巧方法；在此基礎(chǔ)上，剖析問(wèn)題背景與本質(zhì)屬性，給問(wèn)題的變式與拓展開(kāi)拓更加寬廣的空間.其實(shí)，這也是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)與學(xué)習(xí)中師生共同追求的良好習(xí)慣與優(yōu)良品質(zhì).本文中結(jié)合2024年一道高考題，深挖命題內(nèi)涵，多解變式應(yīng)用.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·6）設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為常數(shù)），當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)，則a=（）.

A.－1

B.12

C.1

D.2

此題以?xún)蓚€(gè)含參的函數(shù)為問(wèn)題場(chǎng)景，結(jié)合自變量取值限制條件下的兩曲線的交點(diǎn)情況，進(jìn)而來(lái)確定參數(shù)的值.

借助兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的位置情況，可以合理變換函數(shù)的關(guān)系式，也可以化函數(shù)為方程，還可以化函數(shù)為圖象等，這些都是切入問(wèn)題的基本點(diǎn)，也是解決問(wèn)題的思維方式，為問(wèn)題的突破與求解創(chuàng)造更多的思維空間.

2 真題破解

解法1：分拆法.

依題，令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2axEAb/z+TMMA8WTFE3opp4rhp+dDeQTjbwLAHTaBeMrz8=，可得ax2+a－1=cos x.

令函數(shù)F（x）=ax2+a－1，G（x）=cos x，那么原題等價(jià)于“當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，曲線y=F（x）與y=G（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)”.

注意到函數(shù)F（x），G（x）均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得F（0）=G（0），即a－1=1，解得a=2.

若a=2，令F（x）=G（x），可得2x2+1－cos x=0.

由x∈（－1，1），得2x2≥0，1－cos x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，可得2x2+1－cos x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

所以方程2x2+1－cos x=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線y=F（x）與y=G（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以a=2符合題意.

綜上所述，a=2.

故選答案：D.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)相等的關(guān)系，合理進(jìn)行歸類(lèi)分拆，借助兩條曲線間的位置關(guān)系加以等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用偶函數(shù)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)突破.解題過(guò)程中，隨著問(wèn)題的恒等轉(zhuǎn)化，由陌生到熟知，由無(wú)法下手到水到渠成，這都是解題的基本過(guò)程，需要掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.

解法2：整體法.

依題，令函數(shù)h（x）=f（x）－g（x）=a（x+1）2－1－cos x－2ax=ax2+a－1－cos x，x∈（－1，1），那么原題意等價(jià)于函數(shù)h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)閔（－x）=a（－x）2+a－1－cos（－x）=ax2+a－1－cos x=h（x），所以h（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，h（x）的零點(diǎn)只能為0，即h（0）=a－1－1=0，解得a=2.

若a=2，則h（x）=2x2+1－cos x，x∈（－1，1）.

由x∈（－1，1），得2x2≥0，1－cos x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，可得h（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，即h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以a=2符合題意.

綜上所述，a=2.

故選答案：D.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線之間的關(guān)系，通過(guò)整體法的應(yīng)用，構(gòu)建兩函數(shù)之差所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，為進(jìn)一步的分析與求解創(chuàng)造條件.利用整體法處理兩個(gè)函數(shù)、或兩條曲線等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)?？梢酝ㄟ^(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系式進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算，巧妙合二為一，為問(wèn)題的突破與切入打下基礎(chǔ).

解法3：參變分離法.

依題，令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，可得a=1+cos x1+x2.

令函數(shù)h（x）=1+cos x1+x2，x∈（－1，1），因?yàn)閔（－x）=1+cos（－x）1+（－x）2=1+cos x1+x2=h（x），所以h（x）為偶函數(shù).

而當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于直線y=a與函數(shù)h（x）的圖象在x=0處相切.

將x=0代入，可得a=h（0）=1+cos 01+0=2.

故選答案：D.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)相等的關(guān)系，合理進(jìn)行參變分離，這是解決含參的函數(shù)、方程、不等式等綜合應(yīng)用問(wèn)題中最為常用的一種技巧方法.抓住條件進(jìn)行合理的參變分離，進(jìn)一步深入研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)分析與求解，為解決參數(shù)的求值、參數(shù)的最值（或取值范圍）等問(wèn)題創(chuàng)造條件.

解法4：數(shù)形結(jié)合法.

令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，可得ax2+a－1=cos x.

如圖1，作出函數(shù)y=cos x，x∈（－1，1）的圖象.

設(shè)函數(shù)h（x）=ax2+a－1，x∈（－1，1）.

當(dāng)a=－1時(shí)，h（x）max=h（0）=－2，此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象沒(méi)有交點(diǎn)；

當(dāng)a=12時(shí)，h（x）max=h（1）=0，此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象沒(méi)有交點(diǎn)；

當(dāng)a=1時(shí)，h（x）max=h（1）=1，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

排除以上三個(gè)選項(xiàng)，只能是選項(xiàng)D正確，其實(shí)，當(dāng)a=2時(shí)，h（x）min=h（0）=1，此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象有一個(gè)交點(diǎn).

故選答案：D.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)相等的關(guān)系，合理分拆函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟知的余弦函數(shù)與一個(gè)含參的二次（或一次）函數(shù)，為數(shù)形結(jié)合直觀分析創(chuàng)造條件.依托選項(xiàng)中具體數(shù)值的信息，分類(lèi)討論，也是解決問(wèn)題中非常不錯(cuò)的一種技巧方法.合理數(shù)形結(jié)合直觀處理，巧妙排除實(shí)現(xiàn)問(wèn)題突破.

3 變式拓展

基于原高考真題的分析與求解，合理深入探究與拓展，剖析問(wèn)題的本質(zhì)與內(nèi)涵，給問(wèn)題的進(jìn)一步深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，得到以下相應(yīng)的變式問(wèn)題.

變式1設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為正實(shí)數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個(gè)交點(diǎn)，則a=.

答案：2.

變式2設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為正實(shí)數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為.

答案：（0，2）.

變式3設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為正實(shí)數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）沒(méi)有交點(diǎn)，則a的取值范圍為.

答案：（2，+∞）.

以上三個(gè)變式的解析過(guò)程這里不多加展開(kāi)，可以參照原高考真題，借助參數(shù)為正實(shí)數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化，數(shù)形結(jié)合來(lái)突破與求解.

4 教學(xué)啟示

在實(shí)際數(shù)學(xué)解題與綜合應(yīng)用時(shí)，基于具體問(wèn)題的分析與求解，只是解題教學(xué)與學(xué)習(xí)的一個(gè)基本起步.若只停留在這個(gè)環(huán)節(jié)，收益比比較少，創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用能力得不到很好的提升，只是停留在“刷題”的表層.

而基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入分析與挖掘，依托數(shù)學(xué)“四基”知識(shí)，合理借助“一題多解”來(lái)開(kāi)拓解題思維，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而合理深挖問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，利用命題背景挖掘內(nèi)容本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“多題歸一”，合理歸類(lèi)與綜合，從而合理借助“一題多變”深入拓展應(yīng)用，形成“解一題，通一片”的良好解題效果.

在實(shí)際數(shù)學(xué)解題與綜合應(yīng)用中，只有深入問(wèn)題進(jìn)行合理的探討與研究，不停留在解題的表面，往往都可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的最優(yōu)效益，這也是有效落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)“四基”知識(shí)，提升數(shù)學(xué)“四能”技巧，優(yōu)化數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)優(yōu)良品質(zhì)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.