2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第15題的探究

解三角形的基本應(yīng)用問題，是綜合解三角形與三角函數(shù)這些主干知識(shí)的一個(gè)基本考查點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考查點(diǎn).此類問題，往往依托初中平面幾何圖形的應(yīng)用場(chǎng)景，聯(lián)系起高中的解三角形、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，合理構(gòu)建初、高中階段知識(shí)的聯(lián)系與應(yīng)用，同時(shí)也交匯高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程、平面向量等其他相關(guān)知識(shí)，充分落實(shí)新課標(biāo)中“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的高考基本指導(dǎo)思想，備受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A+3cos A=2.

（1）求A；

（2）若a=2，2bsin C=csin 2B，求△ABC的周長(zhǎng).

2 問題剖析

此題依托解三角形這一主干知識(shí)，結(jié)合三角函數(shù)、平面幾何等相關(guān)知識(shí)的交匯與融合，通過三角函數(shù)中的三角恒等變換公式、解三角形中的正余弦定理等的轉(zhuǎn)化與變形，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與變形，得以求解三角形中對(duì)應(yīng)的角與三角形的周長(zhǎng)問題.

第（1）問依托題設(shè)條件中三角形內(nèi)角滿足“sin A+3cos A=2”，合理聯(lián)想并應(yīng)用相關(guān)的三角函數(shù)思維、函數(shù)與方程思維、構(gòu)造思維等來分析與處理，實(shí)現(xiàn)角A的大小的求解.

第（2）問，在第（1）問的基礎(chǔ)上確定三角形的一個(gè)內(nèi)角的具體值，并結(jié)合該內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)度，以及相應(yīng)的三角函數(shù)方程“2bsin C=csin 2B”，進(jìn)一步求出三角形的另一個(gè)內(nèi)角，從解三角形中的正弦定理思維與平面幾何中的直觀思維來分析與求解，進(jìn)而確定三角形的周長(zhǎng).

總體來說，該解三角形的基本應(yīng)用問題，屬于基本考題，難度中等，大部分考生都能有所突破與收獲.在實(shí)際分析與求解過程中，要注意答題過程中邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)運(yùn)算的正確性等.

3 真題破解

3.1 第（1）問的解答

（1）三角函數(shù)思維

解法1：輔助角公式法.

由sin A+3cos A=2，可得12sin A+32cos A=1，即sinA+π3=1.

由A∈（0，π），可得A+π3∈π3，4π3，所以A+π3=π2，解得A=π6.

解法2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式法.

由sin A+3cos A=2，結(jié)合平方關(guān)系sin 2A+cos 2A=1，消去sin A并整理可得4cos 2A－43cos A+3=0，則有（2cos A－3）2=0，解得cos A=32，而A∈（0，π），所以A=π6.

（2）導(dǎo)數(shù)思維

解法3：極值點(diǎn)法.

設(shè)f（x）=sin x+3cos x，x∈（0，π），則有f（x）=2sin（x+π3），x∈（0，π）.

顯然當(dāng)x=π6時(shí)，f（x）max=2.

而f（A）=sin A+3cos A=2=2sinA+π3，f（x）max=f（A），在開區(qū)間（0，π）上取到最大值，于是x=A必定是極值點(diǎn)，由f′（A）=0=cos A－3sin A，得tan A=33.

而A∈（0，π），所以A=π6.

（3）構(gòu)造思維

解法4：向量數(shù)量積公式法.

設(shè)平面向量a=（1，3），b=（sin A，cos A），結(jié)合條件可得a·b=sin A+3cos A=2.

由向量的數(shù)量積公式，可得a·b=|a||b|cos 〈a，b〉=2cos 〈a，b〉，則2cos 〈a，b〉=2，即cos 〈a，b〉=1，此時(shí)〈a，b〉=0，即向量a，b同向.

由向量共線條件，可得sin A1=cos A3，即tan A=33，而A∈（0，π），所以A=π6.

解法5：構(gòu)造法.

構(gòu)造如圖1所示的△ABC，其中C為直角，令a=1，b=3，利用勾股定理可得c=a2+b2=2.

結(jié)合已知條件sin A+3cos A=2，即cos B+3cos A=2，滿足三角形的射影定理acos B+bcos A=c.

利用三角函數(shù)的定義，可知sin A=ac=12，又因?yàn)锳∈0，π2，所以A=π6.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)方程求解對(duì)應(yīng)角的大小，解法1中的輔助角公式法與解法2中的同角三角函數(shù)基本關(guān)系式法，是依托三角函數(shù)方程的常規(guī)方法，要么轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，要么轉(zhuǎn)化為一元二次方程，都是基本的突破口與應(yīng)用.這也是考生在考場(chǎng)中最容易想到的兩種基本技巧方法.

解法3中的極值點(diǎn)法，回歸三角函數(shù)方程的方程本質(zhì)，依托三角函數(shù)的內(nèi)涵，借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決解三角形問題；而解法4中的向量數(shù)量積公式法以及解法5中的構(gòu)造法，都是構(gòu)造思維在解三角形問題中的應(yīng)用，依托三角函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，或從“數(shù)”的基本屬性視角來合理構(gòu)造，或從“形”的幾何特征視角來直觀構(gòu)造，都能很好實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

3.2 第（2）問的解答

解法1：正弦定理法.

由2bsin C=csin 2B，根據(jù)正弦定理可得2sin Bsin C=sin Csin 2B，結(jié)合二倍角公式有2sin Bsin C=2sin Csin Bcos B.

而sin B≠0，sin C≠0，可得2=2cos B，即cos B=22，而B∈0，π2，所以B=π4.

而A=π6，可得C=π－A－B=7π12.

而a=2，結(jié)合正弦定理asin A=bsin B=csin C，即212=b22=c6+24，解得b=22，c=6+2.

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+6+32.

解法2：幾何法.

由（1）知A=π6，而a=2.如圖2所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D.

由2bsin C=csin 2B，得2bsin C=2csin Bcos B，則有212·2bsin C=212·2csin B·cos B.

結(jié)合三角形的面積公式有2S=2Scos B，則cos B=22，而B∈0，π2，所以可得B=π4.

利用圖形直觀可知，|CD|=asin B=2，|BD|=acos B=2.

而|CD|=bsin A=12b=2，可得b=22，則有|AD|=b＼5cos A=6.

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+6+32.

點(diǎn)評(píng)：在第（1）問的基礎(chǔ)上確定三角形的一個(gè)內(nèi)角值，進(jìn)而結(jié)合該已知內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)度以及相應(yīng)的三角函數(shù)方程來求解三角形的周長(zhǎng).解法1中的正弦定理法，是解決此類問題的常規(guī)方法，依托三角恒等變換公式的合理變形與轉(zhuǎn)化，并通過正弦定理分別求解各相應(yīng)的邊長(zhǎng)，得以求解三角形的周長(zhǎng).

而解法2中的幾何法，是依托解三角形問題的“形”的幾何特征，通過圖形直觀，結(jié)合三角形的面積公式、直角三角形中的勾股定理等來分段處理與分析求解，回避解三角形中的正弦定理等的應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算更加簡(jiǎn)捷有效.

4 變式拓展

基于原高考真題，保留題設(shè)條件與應(yīng)用創(chuàng)設(shè)，同時(shí)保留第一小問，而在第二小問中，改變?cè)瓉砬蠼狻啊鰽BC的周長(zhǎng)”為求解“△ABC的面積”，實(shí)現(xiàn)問題的變式應(yīng)用.

變式記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A+3cos A=2.

（1）求A；

（2）若a=2，2bsin C=csin 2B，求△ABC的面積.

解析：（1）A=π6（過程略）.

（2）同以上高考真題中第（2）問的解法1，解得B=π4，C=7π12.

而a=2，結(jié)合正弦定理asin A=bsin B，即212=b22，解得b=22.

所以△ABC的面積S=12absin C=3+1.

5 教學(xué)啟示

解決解三角形中的基本綜合應(yīng)用問題，合理尋覓并挖掘?qū)?yīng)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)條件，解題往往基于解三角形思維、三角函數(shù)思維、平面幾何思維等，解題的關(guān)鍵在于合理進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，借助解題經(jīng)驗(yàn)的積累與技巧方法的應(yīng)用，選取行之有效的數(shù)學(xué)思維方法與對(duì)應(yīng)的技巧策略.

特別在解決一些比較復(fù)雜的解三角形中的基本綜合應(yīng)用問題，經(jīng)常借助函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、平面幾何性質(zhì)、不等式等相關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)三角形中基本元素的值（邊、角、周長(zhǎng)、面積等）以及相關(guān)元素的最值（或取值范圍）問題的求解，從而有效養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)解題能力，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新思維.