2024年高考題中的高階思維能力考查

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂》）、新高考的“三新”背景下，高中數(shù)學教學與學習必須更多地去關注數(shù)學基礎知識的發(fā)生、經(jīng)歷與發(fā)展過程，注重學生數(shù)學思維能力的發(fā)展，特別是高階思維能力，從而促進學生的深度學習，為學生的終生學習創(chuàng)造條件、奠定基礎.本文中結合2024年高考數(shù)學真題的剖析，從高考命題與考查方向等層面切入，剖析數(shù)學教學與學習過程中的數(shù)學思維的引導、分析、綜合、升華，引導數(shù)學高階思維能力的發(fā)展，進而依托數(shù)學知識與數(shù)學技能等的應用，引導學生開展深度學習，并且作一些合理的教學實踐與研究，拋磚引玉.

1 依托抽象場景的高階思維

基于抽象場景創(chuàng)設的高考命題與考查方向，通過選取一些較為抽象的問題，借助恰當數(shù)學思維的切入，進行合理分析與巧妙歸納，通過抽象與具體之間的辯證思維加以過渡與總結，實現(xiàn)高階思維，得以深度學習.

例1（2024年高考數(shù)學新高考Ⅱ卷·14）在如圖1所示的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

解析：由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有4×3×2×1=24種選法.

每種選法可標記為（a，b，c，d），a，b，c，d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結果如下：（11，22，33，44），（11，22，34，43），（11，22，33，44），（11，22，34，42），（11，24，33，43），（11，24，33，42），

（12，21，33，44），（12，21，34，43），（12，22，31，44），（12，22，34，40），（12，24，31，43），（12，24，33，40），

（13，21，33，44），（13，21，34，42），（13，22，31，44），（13，22，34，40），（13，24，31，42），（13，24，33，40），

（15，21，33，43），（15，21，33，42），（15，22，31，43），（15，22，33，40），（15，22，31，42），（15，22，33，40）.

所以選中的方格中，（15，21，33，43）的4個數(shù)之和最大，最大為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112.

點評：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4，3，2，1個方格可選，基于表格問題，化抽象為具體，有效利用分析、決策、綜合等高階思維方式，通過列舉法寫出所有的可能結果，為問題的分析與解決創(chuàng)造條件，落實數(shù)學抽象和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，也給此類問題的深度學習打下基礎.

2 依托現(xiàn)實場景的高階思維

基于現(xiàn)實場景創(chuàng)設的高考命題與考查方向，通過選取一些現(xiàn)實應用問題，借助合理數(shù)學思維的切入，進行合理分析與巧妙轉化，通過現(xiàn)實問題與數(shù)學知識之間的密切聯(lián)系加以過渡與總結，實現(xiàn)高階思維，得以深度學習.

例2（2024年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷·9）（多選題）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（x，s2），則（）.

（若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Z<μ+σ）≈0.841 3.）

A.P（X>2）>0.2

B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5

D.P（Y>2）<0.8

解析：由于X～N（1.8，0.12），則有P（X>2）=P（X>μ+2σ）<P（X>μ+σ）≈1－0.841 3=0.158 7，故選項A錯誤，選項B正確.

又由于Y～N（2.1，0.12），于是可得P（Y>2）=P（Y>μ－σ）=P（Y<μ+σ）≈0.841 3，故選項C正確，選項D錯誤.

故選擇答案：BC.

點評：以現(xiàn)實應用場景來創(chuàng)設與考查正態(tài)分布的基本性質與應用.基于正態(tài)分布中普通區(qū)間與3σ區(qū)間之間的過渡與轉化，合理轉化與化歸，在此條件下通過數(shù)形結合，利用正態(tài)分布的對稱性和特殊區(qū)間的概率值來分析與求解，有效進行深度學習與應用.

3 交匯場景的高階思維

基于交匯場景創(chuàng)設的高考命題與考查方向，通過選取一些知識交匯問題，借助合理數(shù)學思維的切入，從中合理聯(lián)結與類比轉化，通過交匯知識與單一知識之間的包含與聯(lián)系加以過渡與總結，實現(xiàn)高階思維，得以深度學習.

例3（2024年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷·8）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x）>f（x－1）+f（x－2），且當x<3時，f（x）=x，則下列結論中一定正確的是（）.

A.f（10）>100

B.f（20）>1 000

C.f（10）<1 000

D.f（20）<10 000

解析：依題可知，當x<3時，f（x）=x，則有f（1）=1，f（2）=2.

由f（x）>f（x－1）+f（x－2），令x=3，可得

f（3）>f（2）+f（1）=2+1=3=a4；①

令x=4，可得

f（4）>f（3）+f（2）>3+2=5=a5；②

令x=5，可得

f（5）>f（4）+f（3）>5+3=8=a6.③

觀察①②③式，及題設條件f（x）>f（x－1）+f（x－2），聯(lián)想到斐波那契數(shù)列{an}的遞推公式：an=an-1+an-2（n≥3，n∈N*），且a1=1，a2=1.

那么，不等式①②③右邊分別為斐波那契數(shù)列{an}的第4，5，6項，可歸納總結出規(guī)律：f（x）>ax+1（x≥3，x∈N*）.

列出斐波那契數(shù)列{an}的前17項：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597.

于是f（20）>f（16）>a17=1 597>1 000.

故選擇：B.

點評：根據(jù)抽象函數(shù)及其相應不等式的前若干項的分析，合理聯(lián)想到數(shù)列的一個重要模型——斐波那契數(shù)列{an}，實現(xiàn)知識的交匯與融合，依托斐波那契數(shù)列{an}的構建，綜合應用函數(shù)與不等式知識，也是解決問題的一個重要突破口.依托抽象函數(shù)與相應的不等式場景下，合理構建與之相吻合的數(shù)學模型，很好地體現(xiàn)了數(shù)學建模核心素養(yǎng)，以及函數(shù)、不等式等相關知識與數(shù)列的聯(lián)系與綜合應用.

4 技巧場景的高階思維

基于技巧場景創(chuàng)設的高考命題與考查方向，通過選取一些較為復雜、入口較寬、方法較多的問題（如各選項之間聯(lián)系緊密的多選題），借助合理數(shù)學思維的切入，進行合理對比、分析、舉例、排除、數(shù)形結合等，通過綜合問題與特例問題之間的合理轉化，用聯(lián)系與變化的觀點看問題，運用一定的解題技巧解決問題，事半功倍，發(fā)展批判與創(chuàng)造性高階思維，推動深度學習.

例4（2024年高考數(shù)學新高考Ⅱ卷·6）設函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為常數(shù)），當x∈（－1，1）時，曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個交點，則a=（）.

A.－1

B.12

C.1

D.2

解析：依題可令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，整理為ax2+a－1=cos x.

如圖2所示，作出函數(shù)y=cos x，x∈（－1，1）的圖象.

設函數(shù)h（x）=ax2+a－1，x∈（－1，1）.

當a=－1時，h（x）max=h（0）=－2，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象沒有交點；

當a=12時，h（x）max=h（1）=0，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象沒有交點；

當a=1時，h（x）max=h（1）=1，結合對稱性，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象有兩個交點.

排除選項A，B，C，只能是選項D正確.其實，當a=2時，h（x）min=h（0）=1，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象有一個交點.

故選：D.

點評：根據(jù)題設條件構建兩函數(shù)相等的關系，合理分拆函數(shù)，轉化為一個熟知的余弦函數(shù)與一個含參的二次（或一次）函數(shù)，為數(shù)形結合直觀分析與解決問題創(chuàng)造條件.依托選項中具體數(shù)值的信息，分類討論，也是解決問題中非常不錯的一種技巧方法.合理數(shù)形結合直觀處理，巧妙排除，實現(xiàn)問題的突破.

從根本上說，數(shù)學高階思維是數(shù)學學習過程中的一種重要思維，而依托高考命題與考查方向進行教學研究與學習，更加有針對性，這樣可以更好地幫助學生全面理解并掌握數(shù)學基礎知識與數(shù)學基本技能等，從而提升數(shù)學思維能力，特別是高階思維能力與關鍵能力等，并在此基礎上提升問題解決能力與創(chuàng)新能力等，進行有效的深度學習.特別在“三新”背景下，全面落實“雙減”政策與新課改理念，更加關注學生的主體思維意識，不斷更新和發(fā)展學生的心智，有效提升學生的高階思維能力，給深度學習埋下伏筆，也為終生學習創(chuàng)造條件.