圓錐曲線綜合探究類(lèi)題型賞析

摘要：探究性問(wèn)題是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的新題型，其中圓錐曲線綜合探究類(lèi)試題包括探究條件、探究結(jié)論、創(chuàng)新探究、綜合探究等類(lèi)型，不僅涉及到的知識(shí)點(diǎn)多，而且對(duì)觀察、猜測(cè)、分析、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、證明等能力也有較高的要求，屬于分值高、難度大的題型.解決這類(lèi)問(wèn)題，要打破常規(guī)，靈活運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”“大膽假設(shè)，小心求證”“從一般到特殊，從特殊到一般”“轉(zhuǎn)化變形”等數(shù)學(xué)思想與方法.

關(guān)鍵詞：是否存在問(wèn)題；對(duì)稱(chēng)問(wèn)題；向量；掌握方法

“圓錐曲線與方程”是高中數(shù)學(xué)（人教B版選修1-1）中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，尤其是涉及到與圓錐曲線有關(guān)的位置關(guān)系問(wèn)題、弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、定點(diǎn)與定值問(wèn)題、向量問(wèn)題、存在與否（能否）問(wèn)題等，多以探究性、綜合性的壓軸題型出現(xiàn)，分值高，計(jì)算量大，是考生失分的重災(zāi)區(qū)，因此，熟悉這類(lèi)題型并掌握答題思路與方法就顯得非常重要.本文中試圖通過(guò)與雙曲線、橢圓、拋物線相關(guān)的典型例題的解法賞析，就這類(lèi)題型的思路與解法作一初步探討，僅供參考.

1 探究雙曲線內(nèi)直線是否存在的問(wèn)題

探究雙曲線內(nèi)直線是否存在的問(wèn)題，屬于探究條件的類(lèi)型，思路是先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在[1].

例1已知雙曲線x2－y22=1.

（1）過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給雙曲線交于兩點(diǎn)P1，P2，試求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）過(guò)點(diǎn)B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1，Q2，且B是線段Q1Q2的中點(diǎn)？試探究：這樣的直線是否存在？如果存在，求出它的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解法1：（1）根據(jù)題意，設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），

則有

x21－y212=1，①

x22－y222=1.②

①-②且因式分解，得

（x1－x2）（x1+x2）－12（y1－y2）（y1+y2）=0.

整理得直線l的斜率

k=2（x1+x2）y1+y2=4x2y=2xy.

因?yàn)镻，A兩點(diǎn)在直線l上，所以直線l的斜率為k=y－1x－2，故2xy=y－1x－2.

整理得2x2－y2－4x+y=0，即中點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）假設(shè)直線m存在，那么它的斜率為k=2xy=2×11=2，則直線m的方程為y－1=2（x－1），即y=2x－1，它與雙曲線應(yīng)該有兩個(gè)交點(diǎn).

由y=2x－1，x2－y22=1，得2x2－4x+3=0，而判別式Δ=16－24<0，該方程無(wú)解，這與前面的假設(shè)相矛盾，所以這樣的直線不存在.

解法2：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l的參數(shù)方程為

x=x0+tcos θ，y=y0+tsin θ（t為參數(shù)），

其中（x0，y0）是線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，將參數(shù)方程代入雙曲線方程x2－y22=1，化簡(jiǎn)得

（2cos 2θ－sin 2θ）t2+2（2x0cos θ－y0sin θ）t+2x20－y20－2=0.③

因?yàn)橹本€l與雙曲線交于兩點(diǎn)P1，P2，所以2cos 2θ－sin 2θ≠0，方程③必有兩實(shí)根.又因?yàn)椋▁0，y0）是線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)，所以t1+t2=0，即2x0cos θ－y0sin θ=0.結(jié)合l的參數(shù)方程，可得直線P1P2的方程為2x0（x－x0）－y0（y－y0）=0.因?yàn)橹本€P1P2過(guò)點(diǎn)A（2，1），所以2x0（2－x0）－y0（1－y0）=0，用x，y分別代換x0，y0即可得所求的軌跡方程為2x2－y2－4x+y=0.

（2）若存在這樣的直線m，則當(dāng)x0=1，y0=1時(shí)，方程③必有實(shí)根，且兩根之和仍為零，則2cos θ－sin θ=0，即sin θ=2cos θ，代入③得－2t2cos 2θ－1=0，此方程顯然無(wú)實(shí)根，這與以上所述相矛盾，所以這樣的直線不存在.

解法賞析：本題的第（1）問(wèn)是求過(guò)定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡方程，解法1是運(yùn)用代入法，解法2是設(shè)出直線的參數(shù)方程，利用t的意義即t1+t2=0來(lái)求解，這兩種方法是解答此類(lèi)問(wèn)題的常用方法.本題的第（2）問(wèn)是探究“存在與否”的問(wèn)題，解題的思路是“大膽假設(shè)，小心求證”，先假設(shè)直線m存在，然后將其轉(zhuǎn)化為方程解的存在性問(wèn)題來(lái)解決.

2 探究橢圓中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

探究橢圓中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，需要用到對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本原理：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+m對(duì)稱(chēng)，則有y2－y1x2－x1=－1k且A，B兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)在直線y=kx+m上，即若x0=x1+x22，y0=y1+y22，則有y0=kx0+m.此類(lèi)問(wèn)題還可通過(guò)點(diǎn)差法求出中點(diǎn)與斜率之間的關(guān)系來(lái)解決[2].

例2如圖1，橢圓G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）和頂點(diǎn)B1，B2構(gòu)成面積為32的正方形.

（1）求橢圓G的方程.

（2）設(shè)斜率k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A，B，Q為AB的中點(diǎn)，且P0，－33.

試探究：A，B兩點(diǎn)能否關(guān)于直線PQ對(duì)稱(chēng)？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）因?yàn)樗倪呅蜦1B1F2B2為正方形且面積為32，所以c=b，且a2=32.又因?yàn)閍2=b2+c2，所以2b2=32，b2=c2=16，故橢圓G的方程為x232+y216=1.

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.聯(lián)立x232+y216=1與y=kx+m，得x232+（kx+m）216=1，化簡(jiǎn)得

132+k216x2+km8x+m216－1=0.

所以，x1+x2=－km8132+k216=

-4km1+2k2.

由Δ=km82－4132+k216m216－1＞0，可得4132+k216－m232×16>0，整理得

m2<32k2+16.

若點(diǎn)A，B關(guān)于直線PQ對(duì)稱(chēng)，則kPQ=－1k.

設(shè)AB的中點(diǎn)Q（x0，y0），則有

x0=x1+x22=－2km1+2k2，

y0=kx0+m=k－2km1+2k2+m=m1+2k2.

所以Q－2km1+2k2，m1+2k2.

由kPQ=m1+2k2+33－2km1+2k2=－1k，解得

m=1+2k23.將m=1+2k23代入m2<32k2+16，得1+2k232<32k2+16，解得－942<k<0或0<k<942.

故當(dāng)－942<k<0或0<k<942時(shí)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線PQ對(duì)稱(chēng).

解法賞析：本題考查了橢圓中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，涉及到中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線斜率公式的靈活應(yīng)用.第（1）問(wèn)根據(jù)正方形的面積與a2=b2+c2的關(guān)系即可求得橢圓的方程；第（2）問(wèn)通過(guò)聯(lián)立橢圓與直線的方程，采用假設(shè)的思路，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值，進(jìn)而求出k的取值范圍.

3 探究拋物線中與向量相關(guān)的問(wèn)題

探究拋物線中與向量相關(guān)的問(wèn)題，通常是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)有關(guān)的代數(shù)式，結(jié)合代數(shù)式的特征和圖形的性質(zhì)選擇相應(yīng)的方法[3]；解題的關(guān)鍵是掌握向量關(guān)系與幾何圖形中元素之間關(guān)系的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

例3已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)N.

（1）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行.

（2）試探究：是否存在實(shí)數(shù)k，使NA＼5NB=0？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）如圖2，設(shè)A（x1，2x21），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x2，得2x2－kx－2=0，則有

x1+x2=k2，

x1x2=－1.

所以xN=xM=x1+x22=k4，可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為k4，k28.因?yàn)閥=2x2，所以y′=4x，則拋物線在點(diǎn)N處的切線的斜率為4×k4=k.

所以拋物線在點(diǎn)N處的切線與AB平行.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使NA＼5NB=0，由（1）得NA=x1－k4，2x21－k28，NB=x2－k4，2x22－k28，所以NA＼5NB=x1－k4x2－k4+2x21－k28＼52x22－k28=x1－k4x2－k4+4x21－k216＼5x22－k216

=x1－k4x2－k41+4x1+k4＼5x2+k4

=x1x2－14k（x1+x2）+116k2＼51+4x1x2+k（x1+x2）+k24

=－1－k4×k2+k216＼51+4×（－1）+k×k2+k24=－1－k216－3+34k2=0.因?yàn)椋?－k216<0，所以－3+34k2=0，解得k=±2.

故存在k=±2，使NA＼5NB=0.

解法賞析：第（1）問(wèn)利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般情況下，形如y=ax2（a≠0）的拋物線的切線斜率可用求導(dǎo)方法求解；第（2）問(wèn)的解題思路是把NA＼5NB=0轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)式，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

上述典例只是圓錐曲線綜合類(lèi)探究問(wèn)題中的幾種常見(jiàn)題型，其目的在于“窺一斑而見(jiàn)全貌”，希望通過(guò)類(lèi)似的訓(xùn)練與復(fù)習(xí)，能夠讓考生加深對(duì)圓錐曲線概念、性質(zhì)的理解，熟練掌握“設(shè)而不求、整體代入、換元設(shè)參、因式分解、求導(dǎo)、轉(zhuǎn)化”等求解通法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生探究的熱情、思維和靈感，達(dá)到舉一反三的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐春生.例析圓錐曲線中存在型問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化：高二數(shù)學(xué)，2022（Z1）：46-47.

[2]徐之財(cái).圓錐曲線探究，思維“五步”構(gòu)建——以2021年新高考Ⅱ卷圓錐曲線壓軸題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（6）：84-86.

[3]王美蓮.真題再現(xiàn)，解析突破，多解探索，教學(xué)建議——以2023年高考新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷“圓錐曲線壓軸題”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（24）：83-85.