一節(jié)探究拋物線性質(zhì)“y1y2=-p2”的專題討論課

專題討論課是師生在學(xué)習(xí)過程中以某個(gè)教學(xué)內(nèi)容為中心，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生先自學(xué)，再進(jìn)行課堂討論的教學(xué)模式.高中數(shù)學(xué)在某些章節(jié)內(nèi)容上完后，可以適當(dāng)?shù)亻_展專題討論課.通過這種方式，既可以加深對所學(xué)內(nèi)容的理解，又可以促使學(xué)生產(chǎn)生新的想法，開闊眼界和思路，培養(yǎng)他們獨(dú)立思考的能力.

1 專題討論課的步驟

專題討論課的開展一般包含以下四步：

（1）教師事先根據(jù)學(xué)生遇到的問題或難點(diǎn)，和學(xué)生共同商定研究主題，并在組長的帶領(lǐng)下提前進(jìn)行自學(xué)和小組研究；

（2）小組確定組員在課堂上分享各小組研究成果，其他學(xué)生有不同意見可以進(jìn)行補(bǔ)充；

（3）教師作為課堂的引導(dǎo)者，必要時(shí)解答學(xué)生的疑問，并給予細(xì)致講解和歸納；

（4）課程結(jié)束時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行總結(jié)提升，并適當(dāng)給予評價(jià)和褒獎.

2 專題討論課案例

在學(xué)拋物線性質(zhì)的過程中，學(xué)生對拋物線的性質(zhì)“y1y2=-p2”產(chǎn)生了濃厚的興趣，要求老師組織一節(jié)課開展專題學(xué)習(xí)，于是筆者和學(xué)生一起開展了一次專題討論活動.

2.1 問題的提出

課前，針對這個(gè)性質(zhì)，給學(xué)生提出了以下問題：過拋物線y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2.

（1）要證明y1y2=-p2可以從哪些角度入手，分別怎樣證明？

（2）此性質(zhì)還可以做哪些引申推廣？能否根據(jù)這一性質(zhì)得到一些新的結(jié)論？

（3）由此性質(zhì)推廣出的結(jié)論可解決哪些題型？

2.2 性質(zhì)證明的探討

針對上述問題（1），大家共同探討，得到證明思路如下：

三組A同學(xué)：“由“y1y2=-p2”，聯(lián)想到韋達(dá)定理中的兩根之積，從而形成解題方向一.

四組B同學(xué)：“對于拋物線的焦點(diǎn)弦，常規(guī)解決方法是利用拋物線定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，形成解題方向二”.

見學(xué)生沉默下來，筆者決定適當(dāng)引導(dǎo)一下：“同學(xué)們，直線過焦點(diǎn)，事實(shí)上就是直線和拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)與焦點(diǎn)三點(diǎn)共線，從三點(diǎn)共線的角度又可以形成怎樣的證明方向呢？”

一組C同學(xué)積極發(fā)表了意見：“老師，可以利用直線方程和直線斜率公式解決.”筆者及時(shí)給予肯定：“C同學(xué)思維很活躍，還有同學(xué)有其他的想法嗎？”

學(xué)生想了一會兒，六組D同學(xué)補(bǔ)充發(fā)言說：“老師，我覺得還可以利用共線向量解決以及定比分點(diǎn)公式解決.”

學(xué)生的證明思路越來越廣，于是筆者留了十分鐘讓小組進(jìn)行討論，并讓幾位學(xué)生將他們的證明過程投屏.

證法1：利用韋達(dá)定理.

當(dāng)過焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=p2，代入y2=2px得y=±p，故y1y2=-p2成立.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx-p2（k≠0），則x=yk+p2，代入拋物線方程y2=2px并整理得y2-2pyk-p2=0，由韋達(dá)定理知y1y2=-p2.得證.

證法2：利用拋物線定義.

記過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P1，P2，并設(shè)P1y212p，y1，P2y222p，y2.過點(diǎn)P1，P2分別作準(zhǔn)線的垂線P1P′1，P2P′2，P′1，P′2

為垂足.由拋物線定義知|P1P2|=|FP1|+|FP2|=|P1P′1|+|P2P′2|，即

y212p-y222p2+（y1-y2）2=y21+y222p+p，

兩邊平方整理得（y1y2+p2）2=0，所以y1y2=-p2.

證法3：利用斜率公式.

記過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)P1，P2，并設(shè)P1y212p，y1，P2y222p，y2.

當(dāng)過焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=p2，代入y2=2px得y=±p，故y1y2=-p2成立.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

k=y1-y2y212p-y222p=y1y212p-p2，

整理得y1y2=-p2.

證法4：利用三點(diǎn)共線.

由兩點(diǎn)式可得焦點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程為

y212p-y222p（y-y1）=（y1-y2）x-y212p，

而焦點(diǎn)Fp2，0在直線上，則有

y212p-y222p（0-y1）=（y1-y2）p2-y212p.

整理，得y1y2=-p2.

證法5：利用共線向量（略）.

證法6：利用定比分點(diǎn)（略）.

筆者不斷引導(dǎo)學(xué)生，讓他們從多角度思考問題，并鼓勵(lì)學(xué)生積極參與探索、思考、創(chuàng)造，由此激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

2.3 性質(zhì)結(jié)論的引申

學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)小小的性質(zhì)可以有如此多的證明方法特別激動，但不能讓學(xué)生因?yàn)闀簳r(shí)的收獲興奮不已而阻擋思維的腳步，教師作為引領(lǐng)者要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)：“同學(xué)們，拋物線的這一性質(zhì)是否可以推廣和引申呢？”就像剛爬上山頂又遇到一座更美麗、更高的山峰，學(xué)生的斗志又被激發(fā)出來了.師生共同研究，學(xué)生總結(jié)了如下新的結(jié)論：

結(jié)論1若一條直線過拋物線y2=2px（p＞0）

的焦點(diǎn)且與其交于不同的兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），則x1x2=p24，y1y2=-p2.

結(jié)論2若一條直線與拋物線y2=2px（p＞0）的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y2），（x2，y2），且x1x2=p24（或y1y2=-p2），則該直線必過拋物線的焦點(diǎn).

結(jié)論3若拋物線y2=2px（p＞0）上有兩個(gè)點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），且直線AB與x軸交于M（x0，0），則y1y2=－2px0，x1x2=x20.

結(jié)論4若一條直線與拋物線y2=2px（p＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且y1y2=－2px0（或x1x2=x20），則該直線必過點(diǎn)（x0，0）.

2.4 性質(zhì)結(jié)論的應(yīng)用

在學(xué)生得出結(jié)論的基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步加以引導(dǎo)：“同學(xué)們，在遇到問題時(shí)大家開動腦筋積極思考探究，這種研究精神太可貴了！給你們點(diǎn)贊！我們進(jìn)一步探究一下，用你們總結(jié)的結(jié)論可以解決哪些問題呢？”學(xué)生一聽，興致更高了，有的翻書，有的查資料，有的討論，熱火朝天！

過了大概七八分鐘，六組的E同學(xué)勇敢地走上了講臺，展示了她設(shè)置的題目和她的解答過程.

應(yīng)用1過拋物線y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的一條直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)直線OP交準(zhǔn)線于點(diǎn)M.

求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸.

證明：設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為y212p，y1，y222p，y2，則

OP所在直線方程為y=2py1x.

令x=-p2，得yM=-p2y1.

又y1y2=-p2，則y2=-p2y1，所以

y2=yM.

故直線MQ平行于x軸，即直線MQ平行于拋物線的對稱軸.

筆者忍不住感嘆：“哇，E同學(xué)真是一個(gè)細(xì)致又樂于思考的好同學(xué)，不僅對課本的例題了如指掌，而且可以另辟蹊徑找到不同的解法，分析得非常到位！”筆者這一頓夸獎，使得學(xué)生一個(gè)個(gè)像打了雞血一樣，爭先恐后地要上臺展示.

五組的范同學(xué)沖上講臺，展示了他的聰明才智.

應(yīng)用2已知點(diǎn)A（－1，0），B（1，－1），拋物線C：y2=4x，過點(diǎn)A的動直線l交拋物線C于M，P兩點(diǎn)，求OM·OP的值.

解：設(shè)M（x1，y1），P（x2，y2），因?yàn)镸，P，A三點(diǎn)共線，所以

由結(jié)論（3）得x1x2=x2A=1，

y1y2=－2pxA=－2×2×（－1）=4.

所以O(shè)M·OP=x1x2+y1y2=5.

這位范同學(xué)有點(diǎn)小聰明但是學(xué)習(xí)持久力不強(qiáng)，剛好借此機(jī)會把他狠狠夸了一頓.筆者帶頭鼓起了掌：“小范老師設(shè)置的題目太好了，用了推導(dǎo)的新結(jié)論，長此以往，怕是要坐上為師的寶座了！”同學(xué)們哄堂大笑，使勁兒鼓起了掌！范同學(xué)雖然臉紅了，但是腰挺得更直了！

眼看快下課了，筆者說：“還有最后一個(gè)機(jī)會給你們！”說時(shí)遲那時(shí)快，沈同學(xué)已經(jīng)把她的勞動成果投屏到黑板上.

應(yīng)用3已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，若OA·OB=2，求△ABO和△AFO面積之和的最小值.

解：設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為（x0，0）（x0>0），A（x1，y1），B（x2，y2），y2<0<y1.

由結(jié)論（3）得x1x2=x20，y1y2=－2px0=－x0.

所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=x20－x0=2，解得

x0=2或x0=－1（舍），

則y2=－2y1.

因?yàn)镾△ABO=12x0（y1－y2）=y1+2y1，

S△AFO=12|OF|y1=18y1，所以

S△ABO+S△AFO=98y1+2y1≥298y1×2y1=3，

當(dāng)且僅當(dāng)98y1=2y1，即y1=43時(shí)取等號.

所以△ABO和△AFO面積之和的最小值為3.

筆者忍不住夸獎：“在如此短的時(shí)間內(nèi)，沈同學(xué)設(shè)置了如此典型的例題，不僅用到我們得到的結(jié)論，還利用了重要不等式求最值！”學(xué)生都向她投去了佩服的目光，這是前進(jìn)過程中最大的動力.此時(shí)已快下課，筆者帶領(lǐng)學(xué)生簡明扼要地總結(jié)了本次活動課，并鼓勵(lì)和肯定學(xué)生的積極表現(xiàn).

3 課后思考

通過本次專題討論課，學(xué)生掌握了新知識，解決了新問題，深刻體會到創(chuàng)造的喜悅，富有新意，也是創(chuàng)新意識的表現(xiàn).在教學(xué)過程中，教師要對學(xué)生的性格了如指掌，對學(xué)生的表現(xiàn)及時(shí)給予恰當(dāng)?shù)目隙ê凸膭?lì)，哪怕是有些夸張的贊美，也能增強(qiáng)勇于表現(xiàn)的學(xué)生的自信心，其他學(xué)生看到臺上學(xué)生的優(yōu)異表現(xiàn)，表現(xiàn)欲望也更強(qiáng)烈，從而形成良性循環(huán).

作為一名戰(zhàn)斗在一線的教育工作者，幫助學(xué)生打下扎實(shí)的知識基礎(chǔ)，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣以及探索鉆研的精神，讓他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)保持極大的持續(xù)的熱情，是我們的首要責(zé)任.所以，在以后的教學(xué)中，還要不斷地探索和思考，為學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).