透視高考真題 關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀

摘要：結(jié)合近幾年全國(guó)卷高考真題，在反套路、反刷題上下功夫，注重創(chuàng)新類(lèi)試題創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，同時(shí)新教材增加了許多數(shù)學(xué)閱讀內(nèi)容，對(duì)數(shù)學(xué)閱讀提出了很高的要求，因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀，提升學(xué)生閱讀能力.

關(guān)鍵詞：高考真題；關(guān)注；數(shù)學(xué)閱讀；能力考查

1 數(shù)學(xué)閱讀及數(shù)學(xué)閱讀能力

1.1 數(shù)學(xué)閱讀的定義

“數(shù)學(xué)閱讀”不同于一般的閱讀，數(shù)學(xué)閱讀是從數(shù)學(xué)閱讀文本中獲取有用信息進(jìn)行內(nèi)化、理解、推理與反省的心理過(guò)程，對(duì)字符（文字、符號(hào)與圖形的總稱(chēng)）進(jìn)行正確編碼和轉(zhuǎn)譯.數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，需要用簡(jiǎn)潔、精準(zhǔn)的語(yǔ)言來(lái)闡述其學(xué)科原理，而學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀的過(guò)程中也需要借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)材料進(jìn)行分析、概括與綜合，這應(yīng)當(dāng)建立在一般閱讀能力的基礎(chǔ)上.然而，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與邏輯性等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)閱讀必須確保一定的閱讀效果和速度，要能通過(guò)獲取關(guān)鍵信息、思想方法形成解決問(wèn)題的有效策略，體現(xiàn)學(xué)生的邏輯思維能力以及歸類(lèi)整合意識(shí)，因此數(shù)學(xué)閱讀相較于一般閱讀又有其獨(dú)特的一面［1］.

1.2 數(shù)學(xué)閱讀能力的定義

隨著高考評(píng)價(jià)體系的實(shí)施，高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)閮r(jià)值引領(lǐng)，素養(yǎng)導(dǎo)向，能力為重，知識(shí)為基，因此關(guān)鍵能力是高考重要的考查目標(biāo)[2].高考數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)關(guān)鍵能力的考查貫穿解決問(wèn)題的全過(guò)程，在接觸問(wèn)題之初，閱讀理解能力起關(guān)鍵作用.

數(shù)學(xué)閱讀能力是指閱讀了數(shù)學(xué)材料后，在獲取有意義信息時(shí)體現(xiàn)出來(lái)的心理特質(zhì)，這其中既有一般閱讀過(guò)程的能力，也有數(shù)學(xué)閱讀學(xué)科特殊性所具有的能力.其特殊能力在于對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的理解，這是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵；其特殊還在于對(duì)圖形語(yǔ)言的理解，圖形語(yǔ)言展示圖形中各元素之間的相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.考生需要讀圖、識(shí)圖，并把它們的關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模從而解決問(wèn)題.

2 透視真題，考查閱讀理解能力

2023年全國(guó)高考中的材料閱讀題，全方位地考查了數(shù)學(xué)閱讀能力.有些試題創(chuàng)設(shè)自然真實(shí)情境，取材于學(xué)生生活中的實(shí)際問(wèn)題，助力閱讀能力的考查，有現(xiàn)實(shí)意義，如全國(guó)甲卷理第6題和第9題；有些試題設(shè)置科學(xué)研究情境，不僅考查數(shù)學(xué)的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力，而且引導(dǎo)考生樹(shù)立理想信念，熱愛(ài)科學(xué)，為我國(guó)社會(huì)主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn)，如新課標(biāo)Ⅰ卷第10題、全國(guó)甲卷文（理）第19題、新課標(biāo)Ⅱ卷第19題；還有些試題設(shè)計(jì)勞動(dòng)生產(chǎn)情境，考查學(xué)生對(duì)新概念、新知識(shí)的理解和探究能力，如新課標(biāo)Ⅱ卷第12題、全國(guó)乙卷文（理）第17題、全國(guó)甲卷文（理）第19題.

下面以一道高考真題為例來(lái)透視高考對(duì)數(shù)學(xué)閱讀及數(shù)學(xué)閱讀能力的要求.

（2023新課標(biāo)Ⅱ卷·19）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如圖1、圖2所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c），當(dāng)c∈［95，105］時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間［95，105］的最小值.

本題以患病者和未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)為基礎(chǔ)，題干中給出了“漏診率”和“誤診率”的相關(guān)概念.本題對(duì)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的理解能力都進(jìn)行了深入考查，試題情境既有現(xiàn)實(shí)意義，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值.在反套路、反刷題上下足了功夫，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用等方面的能力，引導(dǎo)平時(shí)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教考銜接；同時(shí)也體現(xiàn)了新課程改革對(duì)教師的要求，即教師須更新教學(xué)觀(guān)念，從“指揮者”轉(zhuǎn)為“引導(dǎo)者”，由重“知識(shí)”向重“能力”轉(zhuǎn)變，關(guān)鍵能力中的閱讀能力更是首當(dāng)其沖.

此題得分率不高，主要是學(xué)生沒(méi)能很好地理解題意.其中，對(duì)“漏診率”和“誤診率”這兩個(gè)概念學(xué)生就沒(méi)弄明白，無(wú)法抓住關(guān)鍵，沒(méi)有理解文字概念背后的數(shù)學(xué)意義和數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí).其實(shí)，“漏診率”是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c），題中給出了明確的定義，為什么學(xué)生此處沒(méi)有理解呢？考生在這里忽視了圖形語(yǔ)言的價(jià)值，沒(méi)能通過(guò)“患病者”和“未患病者”兩個(gè)頻率分布直方圖的差異未理解元素之間的相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，更不會(huì)通過(guò)“無(wú)圖”畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題.仔細(xì)觀(guān)察患病者和未患病者的兩個(gè)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)分組數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)信息，如圖3：

漏診或誤診的原因是患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)都包括了［95，100］和（100，105］兩組數(shù)據(jù)，這兩組數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的人群可能是陰性也有可能是陽(yáng)性，這就要看檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)臨界值c是多少了.一旦c確定，“漏診率”是在“患病者”的頻率分布直方圖中找出小于c的比例（頻率視為概率），“誤診率”是在“未患病者”的頻率分布直方圖找出大于c的比例（頻率視為概率）.

第一小問(wèn)提出當(dāng)p（c）=0.5%時(shí)，求臨界值c，學(xué)生無(wú)法理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，不知道在哪確定c的值，此時(shí)應(yīng)回到“患病者”頻率分布直方圖中.

如圖1，第一組［95，100］所對(duì)應(yīng)的的頻率為（100－95）×0.002=1%>0.5%，由此可以斷定臨界值c在［95，100］之間，列出等式（c－95）×0.002=0.5%，從而求得c=97.5.再根據(jù)“誤診率”的概念回到“未患病者”的頻率分布直方圖中，如圖2，由臨界值c=97.5，可知未患病者中［97.5，100］和（100，105］這兩組對(duì)應(yīng)的頻率和就是誤診率了，于是列出等式q（c）=（100-97.5）×0.01+0.002×5=3.5%.

第二小問(wèn)當(dāng)c∈［95，105］時(shí)，有了第一小問(wèn)的答題經(jīng)驗(yàn)和分段函數(shù)的知識(shí)，可以得知［95，100］和（100，105］兩段的臨界值不同，應(yīng)根據(jù)p（c），q（c）的定義將c分為c∈［95，100］和c∈（100，105］進(jìn)行討論.當(dāng)c∈［95，100］時(shí)，與第一小問(wèn)情況一樣，得到p（c）=（c－95）×0.002，q（c）=（100-c）×0.01+0.002×5；當(dāng)c∈（100，105］時(shí)，由圖可知，患病者中［95，100］和（100，c］這兩段都被漏診，未患病者中只有（c，105］這段被誤診.

于是當(dāng)c∈（100，105］時(shí)，漏診率和誤診率關(guān)系式為

p（c）=0.002×5+（c－100）×0.012，

q（c）=（105-c）×0.002.

整理，得到分段函數(shù)

f（c）=－0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c－0.98，100<c≤105，

最終得到f（c）的圖象，通過(guò)圖象求出最小值為0.02.

該真題深入考查了對(duì)文字語(yǔ)言的閱讀理解能力，要求考生從日常生活語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言中抽象出數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言.可以看出，文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言信息的相互翻譯，恰恰是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“短板”，在很大程度上影響了學(xué)生的正常閱讀活動(dòng).這類(lèi)問(wèn)題需要學(xué)生有一定的學(xué)科理論儲(chǔ)備、抽象概括能力與閱讀基本功，多種能力聚合才能在三種語(yǔ)言間流暢切換.

3 真題啟示，關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀能力

數(shù)學(xué)閱讀理解能力不單單是文字閱讀理解能力，還需要有數(shù)學(xué)的知識(shí)、背景作為基礎(chǔ)和依托，理解其中的數(shù)學(xué)含義.數(shù)學(xué)閱讀處理分三個(gè)方面進(jìn)行突破：首先理解用文字描述的數(shù)學(xué)定義、定理，理解其中的數(shù)學(xué)含義；其次理解、掌握數(shù)學(xué)閱讀中的抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)行提煉，認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；最后需要對(duì)圖形語(yǔ)言進(jìn)行抽象、總結(jié)，不管是有圖還是無(wú)圖，都需要對(duì)圖形的信息進(jìn)行加工、整理，進(jìn)一步抽象出其中包含的解題的關(guān)鍵信息，建立數(shù)學(xué)模型.

3.1 重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言教學(xué)，掃清閱讀障礙

數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式是多樣的，有文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種常見(jiàn)形式，對(duì)題目閱讀匯總需要將三種語(yǔ)言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，還原知識(shí)應(yīng)用的實(shí)際過(guò)程，回歸人類(lèi)認(rèn)知的本源，這對(duì)學(xué)生的閱讀能力有很高的要求.高考中數(shù)學(xué)閱讀題經(jīng)過(guò)精心打磨和反復(fù)推敲，惜字如金，環(huán)環(huán)相扣，閱讀信息量大，題目比較長(zhǎng)，這對(duì)考生閱讀能力提出了超高的要求，另將生活中問(wèn)題數(shù)學(xué)化，需要設(shè)置諸多限制性條件，同時(shí)為了科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，會(huì)引入許多新概念.

教師在平時(shí)的教學(xué)中，沒(méi)有很好地回歸教材和數(shù)學(xué)本質(zhì)，而人教A版教材高度重視“數(shù)學(xué)閱讀”，實(shí)現(xiàn)從“教材”向“學(xué)材”的轉(zhuǎn)變.在立體幾何的教學(xué)中，我們有很多機(jī)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的能力.如開(kāi)展直線(xiàn)與平面平行的判定定理的教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材第136頁(yè)的“觀(guān)察”中的兩幅圖，先直觀(guān)感受，再動(dòng)手操作教室中的門(mén)和桌面上的書(shū)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出直線(xiàn)與平面平行的直觀(guān)圖，再利用動(dòng)畫(huà)定性分析，探究出線(xiàn)面平行的文字語(yǔ)言描述，最后抽象出簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言.如圖4.

引導(dǎo)學(xué)生把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成文字及符號(hào)語(yǔ)言，如此經(jīng)常訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)三種語(yǔ)言不再陌生，并能熟練轉(zhuǎn)化.久而久之，閱讀能力、轉(zhuǎn)化能力、解決問(wèn)題的能力都會(huì)潛移默化得到提升.

3.2 深挖教科書(shū)內(nèi)涵，提升閱讀價(jià)值

教師在教學(xué)過(guò)程中不應(yīng)忽視數(shù)學(xué)教材的作用，而應(yīng)深入研究教材，通過(guò)讓學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材達(dá)到學(xué)習(xí)的目的，而不是盲目地煽動(dòng)學(xué)生購(gòu)置其他數(shù)學(xué)資料而忽略數(shù)學(xué)教材.高中數(shù)學(xué)教材中適當(dāng)安排了“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”等欄目以及章頭圖和章引言等閱讀材料，其中人教A版教材有關(guān)“閱讀與思考”的內(nèi)容共27篇，這些閱讀材料都是精心設(shè)計(jì)的，并緊緊圍繞著相應(yīng)的教材知識(shí)而展開(kāi).教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)閱讀材料設(shè)計(jì)不同的要求，對(duì)其做不同的處理，充分發(fā)揮它們的價(jià)值.

如開(kāi)展“直線(xiàn)與圓的方程”這一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，教師首先讓學(xué)生自主閱讀人教A版選擇性必修第一冊(cè)第二章第50頁(yè)的章引言和章頭圖部分.章引言部分闡釋了解析幾何的基本內(nèi)涵和研究方法、解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位，以及本章要學(xué)的主要內(nèi)容；而章頭圖上描繪的是黃河大橋上的落日，“黃河大橋”代表“直線(xiàn)”，“落日”代表“圓”，明確了本章的研究對(duì)象是直線(xiàn)和圓.引導(dǎo)學(xué)生閱讀他們平常不太注意的部分，讓學(xué)生體會(huì)到教材的價(jià)值，從而能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)教材的自主閱讀學(xué)習(xí).

3.3 創(chuàng)新教學(xué)新情境，提升閱讀能力

面對(duì)新高考的新定義壓軸題，平時(shí)教學(xué)中要通過(guò)創(chuàng)新情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析、解決問(wèn)題，使學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、探究、分析、歸納、反思、整合的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力，延伸探究能力.

（2024年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷第19題節(jié)選）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，……，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj（i<j）后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列a1，a2，……，a4m+2是（i，j）－可分?jǐn)?shù)列．

寫(xiě)出所有的（i，j），1SymbolcB@i<jSymbolcB@6，使數(shù)列a1，a2，……，a6是（i，j）－可分?jǐn)?shù)列.

針對(duì)上述問(wèn)題，平時(shí)教學(xué)中如果能夠做到“回歸課標(biāo)、重視教材”，根據(jù)以上閱讀情境，列出閱讀提綱，學(xué)生還是可以輕松答題的.

問(wèn)題1題干中涉及哪些基本概念？（等差數(shù)列）

問(wèn)題2等差數(shù)列{an}與自然數(shù)列{n}有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？（一一對(duì)應(yīng)）

問(wèn)題3當(dāng)m=1時(shí)，a1，a2，……，a6是（i，j）－可分?jǐn)?shù)列，可以分幾組？有幾種刪除方法？（結(jié)果見(jiàn)表1）

平時(shí)教學(xué)中要利用教材創(chuàng)設(shè)閱讀新情境，通過(guò)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生把文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成清晰的圖形語(yǔ)言，通過(guò)到閱讀提綱幫助學(xué)生一步步從具體問(wèn)題抽象歸納出一般性的結(jié)論，使學(xué)生在面對(duì)新穎情境、陌生問(wèn)題時(shí)能獨(dú)立找到解決方法.讓學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用科學(xué)的思維方式解決壓軸難題，成為真正的拔尖創(chuàng)新人才.

章建躍博士認(rèn)為，教材是使學(xué)生學(xué)會(huì)做人做事的基本載體，脫離教材的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué).就有限的閱讀素材及渠道來(lái)說(shuō)，教師在平時(shí)的教學(xué)中要高度關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀，充分挖掘教材閱讀資源，使數(shù)學(xué)閱讀的價(jià)值得到體現(xiàn)，減少無(wú)效刷題，實(shí)現(xiàn)教考銜接.

參考文獻(xiàn)：

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