新人教版高中數(shù)學(xué)教材中一道三角函數(shù)應(yīng)用題的商榷

摘要：針對(duì)2019年新出版的人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”的第7節(jié)“三角函數(shù)的應(yīng)用”的例2做了深入探討，提出了不同的見解.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；吃水深度；新教材

1 教材中的例題

在2019年新出版的人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（下稱“新教材”）中，筆者發(fā)現(xiàn)第五章“三角函數(shù)”的第7節(jié)“三角函數(shù)的應(yīng)用”的例2值得探討，原題呈現(xiàn)如下：

例2海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋.表1是某港口某天的時(shí)刻與水深的預(yù)報(bào).

（1）選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這一天該港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，給出整點(diǎn)時(shí)水深的近似數(shù)值（精確到0.001m）.

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 m，安全條例規(guī)定至少要有1.5 m的安全間隙（船底與洋底的距離），該船這一天何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？

（3）某船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船這一天在2：00開始卸貨，吃水深度以0.3 m/h的速度減少，如果這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域，那么該船最好在什么時(shí)間停止卸貨，將船駛向較深的水域？

解：（1）（2）問的詳細(xì)解答見新教材第246～247頁.其中，水深Y（單位：m）與時(shí)間x（單位：h）的關(guān)系用函數(shù)Y=2.5sin5π31x+5近似描述.

（3）新教材中給出的解答如下：

設(shè)在x h時(shí)貨船的安全水深為y m，那么

y=5.5－0.3（x－2）（x≥2）.

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看出在6～8時(shí)之間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)（圖1）.

借助計(jì)算工具，用二分法可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)約為（7.016，3.995），因此為了安全，貨船最好在6.6時(shí)之前停止卸貨，將船駛向較深的水域.

2 應(yīng)用題的探討

教材中的解答考慮到“這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域”，因此將實(shí)際水深恰好等于安全水深的時(shí)刻（即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)）提早0.4 h，得到約在6.6時(shí)之前停止卸貨，將船駛向較深的水域.如圖1所示，這樣在船駛到深水域之前均是安全的，即實(shí)際水深大于等于安全水深.

筆者認(rèn)為上述解答有一定的偏差，具體分析如下：

首先，關(guān)于吃水深度的變化，如題干所言，吃水深度是船底與水面的距離，也即貨船浸入水下的深度，如圖2中h1.由物理學(xué)原理知：貨船浸到液體中的部分所產(chǎn)生的浮力抵消貨船的重力.設(shè)貨船和貨物的總質(zhì)量為m，海水的密度為ρ，貨船在海水中排開液體的體積為V，貨船和貨物的總重力為G，貨船和貨物受到的浮力為F浮，重力加速度為g，那么

F浮=G，G=mg，F(xiàn)浮=ρgV.

聯(lián)立，得m=ρV.

由于海水密度ρ可認(rèn)為是定值，因此在卸貨過程中，隨著貨物減少，貨船和貨物的總質(zhì)量m減少，從而V減少，所以吃水深度會(huì)隨著卸貨而減小.在本情境中，卸貨導(dǎo)致吃水深度以0.3 m/h的速度減少.一旦停止卸貨，m不再變，從而V也不再變，所以停止卸貨后，吃水深度將不再減少.又由于貨船在某一時(shí)刻需要的安全水深等于該時(shí)刻貨船的吃水深度h1加上安全條例規(guī)定的安全間隙h2=1.5 m，所以停止卸貨后的貨船需要的安全水深也不再減少.

其次，如題干所言“這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域”，深水域可以完全保證貨船不會(huì)擱淺，但貨船需要用0.4 h的時(shí)間完成如關(guān)閉艙門、發(fā)動(dòng)船只、由碼頭經(jīng)航道駛至深水域等一系列準(zhǔn)備工作.在這0.4 h內(nèi)，貨船不卸貨、安全水深不變，但航道實(shí)際水深由于潮汐現(xiàn)象始終以Y=2.5sin5π31x+5的規(guī)律發(fā)生變化，其中x為時(shí)間（單位：h），Y為實(shí)際水深（單位：m）.因此，除了保證貨船在碼頭卸貨時(shí)水深滿足安全水深的要求之外，從貨船停止卸貨到駛到深水域的這0.4 h的過程中，也要保證水深滿足安全水深的要求.

綜合以上兩點(diǎn)，若在x0時(shí)停止卸貨，貨船需要的安全水深為y0=5.5－0.3（x0－2），x0時(shí)以后，貨船不再卸貨，準(zhǔn)備進(jìn)入深水域，安全水深始終為y0=5.5－0.3（x0－2）.在這個(gè)過程中，航道實(shí)際水深由停止卸貨時(shí)的Y1=2.5sin5π31x0+5，減小到（x0+0.4）時(shí)刻貨船進(jìn)入到深水域時(shí)的Y2=2.5sin5π31（x0+0.4）+5.要保證貨船安全，必須使整個(gè)駛離過程，即區(qū)間［x0，x0+0.4］內(nèi)的最小水深大于等于卸貨后的安全水深，也即

Y2≥y0或2.5sin5π31（x0+0.4）+5≥5.5－0.3（x0－2）.

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)刻畫上述關(guān)系，如圖3.

借助計(jì)算工具可得x0≤6.479.故保守估計(jì)，該船最好在6.4時(shí)之前停止卸貨，駛向較深的水域.

從以上分析可看出，貨船安全水深y與時(shí)間x的關(guān)系應(yīng)該是以停止卸貨時(shí)刻為分界點(diǎn)的分段函數(shù)，但教材中給出的解答是基于貨船駛到深水域之前的安全水深始終以y=5.5－0.3（x－2）的規(guī)律減少，沒有考慮到貨船停止卸貨后吃水深度就不再減少的事實(shí).

3 關(guān)于新教材題目設(shè)計(jì)的理解與改進(jìn)

在舊人教版相應(yīng)位置中，該題第（3）問為：

（3）若某船的吃水深度為4 m，安全間隙為1.5 m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3 m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間停止卸貨，將船駛向較深的水域[1]？

舊人教版中的設(shè)問不考慮貨船駛往深水區(qū)的具體時(shí)間差，認(rèn)為船一旦駛離碼頭就是安全的.對(duì)這種假設(shè)并不提出異議，因?yàn)榻?shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，所建的模型總是近似的.舊人教版教材中并配有如下思考題：

“如圖1，設(shè)P（x0，y0），有人認(rèn)為，由于P是兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，說明在x0時(shí)，貨船的安全水深正好與港口水深相等，因此在這時(shí)停止卸貨將船駛向深水域就可以了，你認(rèn)為對(duì)嗎？”[1]

舊人教版配套教師用書中對(duì)上述思考題作出的闡釋是：“考慮到安全因素，在貨船的安全水深正好與港口水深相等時(shí)停止卸貨將船駛向較深水域是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳.”[2]這里結(jié)合實(shí)際，考慮到從停止卸貨到貨船離開有一定的時(shí)間差.所以在舊人教版教材中，只要考慮到存在這樣的時(shí)間差、知道要取點(diǎn)P橫坐標(biāo)的不足近似即可.編者在新教材中增加“這條船停止卸貨后需0.4 h才能駛到深水域”這一條件，可能是意圖將舊教材中思考題考慮的因素補(bǔ)充到題干中，但一旦明確指出這個(gè)時(shí)間差是0.4 h，就產(chǎn)生了新的要求，正如本文所描述的“安全水深y與時(shí)間x的關(guān)系應(yīng)該是以停止卸貨時(shí)間為分界點(diǎn)的分段函數(shù)”，但難以從圖象中直觀地確定分界點(diǎn)的值，只能通過代數(shù)式計(jì)算并且借助計(jì)算工具求解.

若將新增的條件改為“這條船停止卸貨前需0.4 h啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)才可以離港”，問“該船最好在什么時(shí)間啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)”，那么情境就變成了：先發(fā)動(dòng)船只準(zhǔn)備離開，發(fā)動(dòng)過程中可繼續(xù)卸貨，停止卸貨并駛離碼頭確保安全.此時(shí)在離港之前貨船始終在卸貨，安全水深y始終以函數(shù)y=5.5－0.3（x－2）減少，這樣新教材中對(duì)此問的原有解答才是合適的.

另外，新教材補(bǔ)充題目條件之后仍配有上述一模一樣的思考題，但題干中新增的條件已經(jīng)傳達(dá)了停止卸貨到離開港口之間存在時(shí)間差，那么思考題就略顯冗余.若保持新教材中題干不變，想要提醒學(xué)生注意臨界點(diǎn)的不足近似，筆者認(rèn)為可以將思考題改為“能否讓停止卸貨時(shí)的水深剛好等于進(jìn)入深水域之前的最小水深？”新教材配套的教師教學(xué)用書中也沒有針對(duì)該題的改動(dòng)作出實(shí)質(zhì)性的調(diào)整[3]，新人教版高中數(shù)學(xué)教材對(duì)該應(yīng)用問題的改編值得商榷.

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4必修（A版）[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4必修（A版）教師教學(xué)用書[M].2版.北京：人民教育出版社，2007.

［3］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（A版）教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2019.