“結(jié)構(gòu)化”與“層次性”

摘" 要：教學(xué)《正比例的意義》一課時(shí)，從學(xué)生熟悉的生活情境入手，引入一組具有結(jié)構(gòu)化特征的實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在比較與歸納中，基于“兩種相關(guān)聯(lián)的量”建立正比例的概念；進(jìn)而設(shè)計(jì)一組層次性練習(xí)，幫助學(xué)生在遷移與運(yùn)用中把握正比例的本質(zhì)，由此促進(jìn)學(xué)生對(duì)正比例意義的深度理解。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；《正比例的意義》；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；結(jié)構(gòu)化；層次性練習(xí)

“正比例的意義”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第六單元第一課時(shí)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對(duì)“判斷有具體數(shù)據(jù)的兩個(gè)量是否成正比例”容易掌握，而對(duì)“離開具體數(shù)據(jù)，判斷兩個(gè)量是否成正比例”較難掌握。因此，筆者在教學(xué)中，基于“做數(shù)學(xué)”的理念，從學(xué)生熟悉的生活情境入手，引入一組具有結(jié)構(gòu)化特征（相互關(guān)聯(lián)）的實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在比較與歸納中，基于“兩種相關(guān)聯(lián)的量”建立正比例的概念；進(jìn)而設(shè)計(jì)一組層次性（逐層遞進(jìn)）練習(xí)，幫助學(xué)生在遷移與運(yùn)用中把握正比例的本質(zhì)，由此促進(jìn)學(xué)生對(duì)正比例意義的深度理解。下面分環(huán)節(jié)呈現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)過程與相應(yīng)的教學(xué)思考。

一、在生活情境中感知“兩種相關(guān)聯(lián)的量”

師" （出示情境圖）仔細(xì)觀察屏幕上的信息，你有什么想說(shuō)的？

生" 數(shù)學(xué)書的單價(jià)是5.8元。

師" 告訴我們的是數(shù)學(xué)書的單價(jià)，你聯(lián)想到哪兩種量？

生" 我聯(lián)想到總價(jià)和數(shù)量。

師" 繼續(xù)看動(dòng)態(tài)演示，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生" 我發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)書的數(shù)量發(fā)生變化，總價(jià)也隨著發(fā)生變化。

師" 我們通常就說(shuō)數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)量。你還能從生活中找到兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？

生" 汽車在高速公路上行駛，它行駛的時(shí)間和路程是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

……

師" 同學(xué)們舉的例子都不錯(cuò)，老師也來(lái)舉一個(gè)。老師的年齡和身高是兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？

生" 不是。

師

身高不會(huì)一直隨著年齡的變化而變化，所以，年齡和身高不是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

［思考：選擇學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)書價(jià)格情境，激活學(xué)生關(guān)于單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)關(guān)系的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；通過具體數(shù)量和總價(jià)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感知“兩種相關(guān)聯(lián)的量”。“兩種相關(guān)聯(lián)的量”作為上位概念，是合適的“先行組織者”，為學(xué)習(xí)“正比例關(guān)系”奠定基礎(chǔ)。］

二、在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中尋找“兩種相關(guān)聯(lián)的量”

師" 同學(xué)們，下面我們來(lái)做一組實(shí)驗(yàn)。（出示圖1）

這是第一個(gè)實(shí)驗(yàn)，從中你能找到兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？

圖1

生" 水的高度和水的體積是兩種相關(guān)聯(lián)的量。水的高度在變化，水的體積也隨著在變化。

師" 那它們到底是怎么變化的呢？（出示

表1）

請(qǐng)先填寫表格。

表1" 水的體積隨水的高度變化的情況

水的高度/cm

水的體積/mL

（學(xué)生填表，交流。）

生" 高度變高，體積也隨著變大；高度變矮，體積也隨著變小。

師" （出示圖2）第二個(gè)實(shí)驗(yàn)是怎么操作的？從中你能找到哪兩種相關(guān)聯(lián)的量？

圖2

生" 石子的體積和總體積是兩種相關(guān)聯(lián)的量。石子的體積在變化，總體積也隨著在變化。

師" 那它們又是怎么變化的呢？

（學(xué)生填寫表2，交流。）

表2" 總體積隨石子的體積變化的情況

石子的體積/cm3

總體積/mL

生" 石子的體積變大，總體積也隨著變大；石子的體積變小，總體積也隨著變小。

師" （出示圖3）這個(gè)實(shí)驗(yàn)又是怎么操作的？你找到兩種相關(guān)聯(lián)的量了嗎？

圖3

生" 水的底面積和水的高度是兩種相關(guān)聯(lián)的量。水的底面積在變化，水的高度也隨著在變化。

師" 這兩種相關(guān)聯(lián)的量是怎么變化的？

（學(xué)生填寫表3，交流。）

表3" 水的高度隨水的底面積變化的情況

水的底面積/cm2

水的高度/cm

生" 底面積變大，高度隨著變?。坏酌娣e變小，高度隨著變大。

師" （出示圖4）這個(gè)實(shí)驗(yàn)又是怎么操作的？又有哪兩種相關(guān)聯(lián)的量呢？

圖4

生" 水的底面積和水的體積是兩種相關(guān)聯(lián)的量。水的底面積在變化，水的體積也隨著在變化。

師" 具體來(lái)說(shuō)呢？

（學(xué)生填寫表4，交流。）

表4" 水的體積隨水的底面積變化的情況

水的底面積/cm2

水的體積/mL

生" 底面積變大，體積也隨著變大；底面積變小，體積也隨著變小。

［思考：引入有趣的量杯盛水?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步循理尋找“兩種相關(guān)聯(lián)的量”，歸納發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。同時(shí)，這組實(shí)驗(yàn)具有結(jié)構(gòu)化特征，可以引發(fā)比較，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到“兩種相關(guān)聯(lián)的量”之間可能有的不同關(guān)系，進(jìn)一步為理解“正比例關(guān)系”做好準(zhǔn)備。］

三、在比較歸納中建立正比例的概念

師" （出示圖5）老師把4個(gè)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)表格匯總在一起并做了點(diǎn)加工，請(qǐng)仔細(xì)觀察表中數(shù)據(jù)，把4個(gè)實(shí)驗(yàn)中的“兩種相關(guān)聯(lián)的量”分分類。

實(shí)驗(yàn)1

水的高度/cm5102025

水的體積/mL50100200250

實(shí)驗(yàn)2

石子的體積/cm3581015

總體積/mL55586065

實(shí)驗(yàn)3

水的底面積/cm210203010

水的高度/cm60302015

實(shí)驗(yàn)4

水的底面積/cm210203040

水的體積/mL60120180240

圖5

（學(xué)生小組討論。）

師" 你把它們分為了幾類？分類的依據(jù)是什么？

生" 兩類：一類是兩個(gè)量變化方向相同，另一類是兩個(gè)變化方向不同。

師" 好的，你是把實(shí)驗(yàn)1、2、4分為一類，把實(shí)驗(yàn)3分為另一類，對(duì)吧？那還有不同的分法嗎？

生" 3類。進(jìn)一步把“兩個(gè)量變化方向相同”這一類分成兩類：實(shí)驗(yàn)1、4一類，實(shí)驗(yàn)2另一類。

師" 為什么？

生" 實(shí)驗(yàn)1、4中，兩個(gè)量不僅變化方向相同，而且存在倍數(shù)關(guān)系。實(shí)驗(yàn)1中，兩個(gè)量是10倍的關(guān)系：505＝10，10010＝10，20020＝10，25025＝10。實(shí)驗(yàn)4中，兩個(gè)量是6倍的關(guān)系：6010＝6，12020＝6，18030＝6，24040＝6。而實(shí)驗(yàn)2中，兩個(gè)量雖然變化方向相同，但是沒有倍數(shù)關(guān)系。

師" 那么存在什么關(guān)系？

生" 相差關(guān)系。

師" 你們的發(fā)現(xiàn)很有價(jià)值！實(shí)驗(yàn)1、4中，兩個(gè)量存在倍數(shù)關(guān)系，即比值一定，我們就說(shuō)兩個(gè)量成正比例關(guān)系。再深入分析一下：實(shí)驗(yàn)1中，兩個(gè)量分別是什么？比值10又是什么？

［根據(jù)學(xué)生的回答板書：水的體積水的高度=水的底面積（一定）。］

師" 那么實(shí)驗(yàn)4中呢？

［根據(jù)學(xué)生的回答板書：水的體積水的底面積＝水的高度（一定）。］

［思考：學(xué)生找到4個(gè)實(shí)驗(yàn)中“兩種相關(guān)聯(lián)的量”及其變化規(guī)律之后，教師利用這組實(shí)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化特征，匯總并加工出示數(shù)據(jù)表格，讓學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系分類，使學(xué)生在比較和歸納中發(fā)現(xiàn)了不同和相同的數(shù)量關(guān)系，自然地建立了正比例關(guān)系的概念。］

四、在層次性練習(xí)中把握正比例的本質(zhì)

師" 根據(jù)正比例的定義，要判斷兩個(gè)量是否成正比例關(guān)系，

需要滿足哪些條件？

生" 兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，比值一定。

然后，教師出示如下4個(gè)層次的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生完成。

1.（1）一種鉛筆數(shù)量和總價(jià)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表5所示，它們成正比例關(guān)系嗎？為什么？

表5" 一種鉛筆數(shù)量和總價(jià)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

鉛筆的數(shù)量/支

1

20

30

40

……

總價(jià)/元

0.4

8

12

16

……

（2）一輛汽車行駛時(shí)間和路程的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表6所示，它們成正比例關(guān)系嗎？為什么？

表6" 一輛汽車行駛時(shí)間和路程的對(duì)應(yīng)關(guān)系

時(shí)間/時(shí)

1

2

3

4

……

路程/千米

80

160

240

320

……

2.先把表7填寫完整，再回答問題。

表7" 正方形邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)、面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系

正方形邊長(zhǎng)/cm1234

正方形周長(zhǎng)/cm4

正方形面積/cm21

（1）正方形的周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)成正比例嗎？為什么？

（2）正方形的面積和邊長(zhǎng)成正比例嗎？為什么？

3.每小時(shí)織布米數(shù)一定，織布總米數(shù)和時(shí)間成正比例嗎？

4.回到2700年前的古埃及，和智者泰勒斯一起來(lái)測(cè)量金字塔的高度吧！

［思考：正比例關(guān)系的定義揭示了正比例概念的本質(zhì)，

也是判斷正比例關(guān)系的條件。本環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了4個(gè)層次的練習(xí)。第1題是基礎(chǔ)判斷練習(xí)，呼應(yīng)課始的生活情境，基于熟悉的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生判斷“正確”的兩個(gè)正比例關(guān)系，正向鞏固概念。第2題是變式判斷練習(xí)，變?yōu)閿?shù)學(xué)情境，基于熟悉的正方形周長(zhǎng)和面積公式，讓學(xué)生判斷“一正一誤”的兩個(gè)正比例關(guān)系，正反強(qiáng)化概念。第3題是拓展判斷練習(xí)，不再給出具體的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生判斷正比例關(guān)系，抽象提升概念。第4題是綜合應(yīng)用練習(xí)，基于數(shù)學(xué)史情境，讓學(xué)生運(yùn)用正比例關(guān)系解決實(shí)際問題，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)正比例關(guān)系的價(jià)值。在這樣豐富的層次性練習(xí)中，學(xué)生能夠充分把握正比例關(guān)系的本質(zhì)。］