基于認知心理學的數(shù)學習題結構化設計

【摘 要】習題設計在教學過程中起著至關重要的作用，它直接影響著學生對知識的理解和掌握。本文基于認知心理學來優(yōu)化數(shù)學習題設計，不僅使其更科學、可操作，同時有助于促進學生知識的重構、解構和建構，實現(xiàn)結構化的學習過程，充分發(fā)揮習題的育人功能，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】認知心理學 習題設計 結構化

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）強調了習題設計的重要性，并指出：“習題的設計要關注數(shù)學的本質，關注通性通法。設計豐富多樣的習題，滿足鞏固、復習、應用、拓展的學習需要；滿足不同學生的學習需要?！币虼?，在設計習題時，教師不能僅停留于傳統(tǒng)、單一、機械化的形式，而應積極借鑒認知心理學在教育領域的研究成果，將先進、有效的認知策略融入習題設計中，使其更具有科學性與可操作性，真正發(fā)揮習題應有的育人功能。

一、整合與創(chuàng)新：借“題”重構

在認知心理學領域中，融合理論指出：人類在學習和記憶過程中會將新信息與已有知識進行整合，形成一個有機的網絡結構。為此，在教學實踐中，通過設計具有嚴密邏輯關系、層層遞進的習題，可以幫助學生更好地將新知識與舊知識相結合，加深對知識點的理解和掌握。然而，根據(jù)認知負荷理論來看，在學習過程中，如果任務過于復雜或者缺乏清晰的邏輯結構，可能導致學生遭受認知超載。因此，教師應精心設計習題，力求具有少而精的特點，并具備低門檻、多層次和大空間的特性，這樣的設計能夠減輕學生的認知負荷，并提高他們的學習效果，真正達到減負提質的目標。

以北師大版五上“找最大公因數(shù)”為例，本節(jié)課教材中的“練一練”安排了5道練習題。其中第1、2題通過一一列舉和集合圖兩種表達形式鞏固找兩個數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)的一般方法，第3題則要求學生體驗找有特征數(shù)字的最大公因數(shù)的特殊方法。通過新課的學習，學生已經能夠較好地掌握找兩個數(shù)的最大公因數(shù)的一般方法（即一一列舉兩個數(shù)的因數(shù)找相同因數(shù)，或先找其中一個數(shù)的因數(shù)，再從中找出另一個數(shù)的因數(shù)），但對于存在倍數(shù)關系或互質情況下如何通過觀察數(shù)據(jù)特征找出最大公因數(shù)是難點?；凇墩n程標準》的要求，結合教材編寫意圖和學生學情，筆者將教材中的前三道習題進行整合，以學習單的方式重構如下：“任選1～100中的兩個自然數(shù)，找一找它們的公因數(shù)和最大公因數(shù)，說說你是怎么想的?！?/p>

通過整合，成功地把原本比較單一、機械的習題轉變?yōu)殚_放、綜合、全面的學習任務，既讓每一個學生都能在基礎性練習中鞏固找兩個數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)的方法（教師可選擇代表性作品進行展示：列舉法和集合圖，對應教材練習中的第1、2題所要達成的目標），又能依托學生的即時生成（在學生作品中，找出3組內含互為倍數(shù)關系的數(shù)、3組互質數(shù)、3組一般關系的數(shù)以及它們的最大公因數(shù)），為進一步體驗有特征的數(shù)字的最大公因數(shù)提供多樣化的學習素材，使知識在生成中推進。在此基礎上提出問題：“觀察這9組數(shù)，請你給它們分類，可以怎么分？”通過對每組數(shù)據(jù)特征進行比較分析和歸納分類，學生發(fā)現(xiàn)倍數(shù)關系和互質關系之間兩個數(shù)最大公因數(shù)的特殊性質。如此，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，形成了一個關聯(lián)性高、層級性強、結構完整的習題鏈。學生在自主探究、互動交流中，對一般關系的兩個數(shù)和特殊關系的兩個數(shù)的最大公因數(shù)的特征有了整體的認識。由此，學生完成了對知識的結構化重組，實現(xiàn)思維進階。

二、分解與反饋：以“題”解構

任務分解原則是教學設計中的重要原則之一，它通過將復雜的任務分解為獨立的子任務，以提高學習效果。每個習題都代表著一個特定的子任務，讓學生能夠專注地處理和解決問題，從而減輕認知負荷，并增強對問題的理解和應用能力。反饋原則則強調在完成每個獨立點后，應給予及時、具體且有針對性的反饋，這有助于學生評估自己是否達到學習的目標要求，彌補其在學習過程中的缺漏。因此，在設計習題時需要設定明確的目標和要求，確保每個習題都具備獨特性和可行性，并且能夠為學生提供有效的反饋，真正發(fā)揮習題育人、診斷、反饋等功能。

以“圓的周長”和“圓的面積”相關內容的練習課為例，其知識技能的評價主要圍繞：能正確計算圓的周長與面積，能解決一些與圓的周長和面積相關的實際問題，以及涉及圓和其他平面圖形的組合圖形的周長或面積的計算。為了引導學生深入理解圓的周長和面積特性，突出概念的本質，強化意義構建，筆者設計了如下習題：“如圖1，①和②是兩條直徑為4厘米的半圓弧，③和④是兩條長度為4厘米的線段。（1）任選兩條圍成一個封閉圖形，求它的周長和面積；（2）這四條全部用上，圍成一個封閉圓形，求它的周長和面積?！?/p>

此類問題情境直指數(shù)學本質，具有較為廣闊的思維空間，有利于學生以富有成效的思維方式進行學習活動，并進行具有個性化的真正思考。尤其在第（2）題的探究中，學生可根據(jù)自己的學習水平設計不同層級的探究任務，并綜合運用平面圖形的周長和面積公式解決相應的組合圖形問題。在反饋交流中，學生對“圓的周長和面積”的理解是多維的、多層次的、深刻且具有張力的。通過進一步對比辨析，學生會發(fā)現(xiàn)：四條全用時，周長一定相等，而面積不一定相等。甚至能夠通過表面現(xiàn)象揭示圖形之間周長和面積的共通性，深入解構圓的周長和面積的概念本質，積累研究圖形的活動經驗，發(fā)展空間觀念。這樣設計的習題，緊扣概念的核心，力求從“思維的多樣化”向“本質的統(tǒng)一性”過渡，讓學生明白結構化關系里的多角度表達與多策略解答。這樣的學習過程，充滿了理性的思辨，實現(xiàn)了思維結構的突破。

三、關聯(lián)與應用：依“題”建構

根據(jù)認知心理學研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦具有模塊化結構，傾向于將相關聯(lián)的節(jié)點融合起來。這些節(jié)點相互作用，在信息處理中協(xié)同工作以提高大腦整體效率和速度。因此，在設計習題時應注重將相關知識點有機地結合，并確保難度和復雜程度逐步增加。這樣一來，學生在解答問題時不僅需要運用單個知識點，還需將不同模塊的知識進行關聯(lián)和應用，以達到構建模塊化知識網絡的目的。

以人教版六下“圓柱和圓錐”單元的練習課為例，結合學業(yè)要求和模塊化理論，筆者設計如下習題：“這是一塊直徑為20厘米，高為30厘米的圓柱體木頭。結合圓柱和圓錐知識，以及我們的生活實際，請你提出數(shù)學問題，并嘗試解決?！睂W生的思維被激活了，他們提出的問題有“給這塊木頭刷油漆，需要涂多大面積？”“將木頭橫切（和底面平行的方向）或縱切（沿著底面直徑）后表面積會增加多少？”“這塊木頭所占空間是多少？”“將這塊木頭削成一體積最大的圓錐，削掉部分的體積是多少？”“如圖2，像這樣斜著切一個角后，剩下圖形的體積怎么求？”等。學生拋出一個個問題。攪動思維的漣漪，把課堂的溫度建立在思維的深度上。學生沉浸式地經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的學習過程，一層層剝出相關聯(lián)的知識模塊，其中包括圓柱、圓錐的特征，圓柱的側面積、表面積，圓柱和圓錐的體積等，建構了本單元的知識體系，在實現(xiàn)知識進階的同時，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的進階。

綜上所述，教師應依據(jù)認知心理學原理，注重習題設計的情境化、深度化和結構化。這樣的習題設計以整體關聯(lián)為抓手，以動態(tài)建構為核心，推進學習活動向縱深發(fā)展，已有的知識、經驗得到了重組和完善，思維從點狀水平向結構化水平提升，學生全身心參與數(shù)學內化與外化的全過程，從而實現(xiàn)課程知識的深層建構，發(fā)展了數(shù)學核心素養(yǎng)。

（作者單位：福建省泉州師范學院附屬小學）

［1］史寧中、曹一鳴.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）解讀［M］．北京師范大學出版社，2022.

［2］陳莉莉.設計有效題組，實現(xiàn)高效學習［J］．小學教學研究，2023（22）：71-73.