從“作圖之器”走向“涵養(yǎng)之道”

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將尺規(guī)作圖列為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之一。在尺規(guī)作圖教學(xué)中，可采用“在教材銜接處滲透、在新知起點(diǎn)中挖掘、促進(jìn)不同領(lǐng)域間的相互關(guān)聯(lián)”等方式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索，讓尺規(guī)作圖成為涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的載體，真正實(shí)現(xiàn)尺規(guī)從“作圖之器”走向“涵養(yǎng)之道”。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；數(shù)學(xué)思想方法；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）首次提出將尺規(guī)作圖教學(xué)納入小學(xué)數(shù)學(xué)范疇。2022年版課標(biāo)指出：會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段；經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程，感知線段長度的可加性；經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊。這些內(nèi)容為第四學(xué)段（7～9年級(jí)）進(jìn)一步學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教師要思考如何在相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

一、尺規(guī)，從“器”到“道”的哲學(xué)審視

對(duì)于尺規(guī)作圖而言，“尺”僅是畫直的線的工具，并非用于測量線的長度，“規(guī)”則是通過調(diào)節(jié)圓規(guī)兩腳間的距離實(shí)現(xiàn)作等長線段的一種工具。因此，尺規(guī)的組合蘊(yùn)含了“尺非尺，規(guī)即尺”的哲學(xué)意蘊(yùn)，為開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供了廣闊的探索空間。

（一）尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)思想中的價(jià)值體現(xiàn)

1.尺規(guī)作圖促進(jìn)模型思想的認(rèn)知建構(gòu)

2022年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，在理解四則運(yùn)算含義的基礎(chǔ)上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)問題中的兩種模型，即加法模型和乘法模型。通過尺規(guī)作圖的“累加”過程，學(xué)生在情境中可直觀感知“總量=分量+分量”的加法模型，并在分量相同的情況下，理解這一加法模型向乘法模型的轉(zhuǎn)化，從而深化對(duì)模型思想的認(rèn)知（如圖1）。

2.尺規(guī)操作展現(xiàn)對(duì)稱思想的結(jié)構(gòu)美感

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱指的是圖形或物體對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線或平面而言，在大小、形狀或排列上具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在學(xué)完“軸對(duì)稱圖形”后，學(xué)生可利用尺規(guī)，以直線l為對(duì)稱軸，設(shè)計(jì)已知三角形的軸對(duì)稱圖形，從而感受對(duì)稱思想的結(jié)構(gòu)之美（如圖2）。

（二）在尺規(guī)作圖中探尋相似思維的路徑

1.尺規(guī)作圖為一一對(duì)應(yīng)方法提供一種范式

2022年版課標(biāo)“附錄”部分在實(shí)例26“用直尺和圓規(guī)作等長線段”中，展現(xiàn)了尺規(guī)作圖的核心思想。由于采用的直尺是無刻度直尺，即便作出等長線段，也并不知道線段具體的長度。在實(shí)例7“通過對(duì)應(yīng)理解大小關(guān)系”中，左邊的集合中有7個(gè)●，右邊的集合中有3個(gè)●（如圖3），通過右邊集合中的●與左邊集合中的●的一一對(duì)應(yīng)，比較出7＞3，而不是通過計(jì)算7-3=4的方法比較出7＞3。因此，用尺規(guī)作等長線段既是尺規(guī)作圖的源頭，也是一一對(duì)應(yīng)方法的源頭，這種對(duì)應(yīng)方法是數(shù)學(xué)的基本方法。

2.尺規(guī)作圖為創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)提供一種思路

在尺規(guī)作圖教學(xué)中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)給定的三條線段畫一個(gè)三角形。在此過程中，學(xué)生可以選擇任意一條線段作為三角形的底邊，并以該線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以另外兩條線段的長度為半徑，利用直尺和圓規(guī)畫出三角形（如圖4）。這一思路不僅深化了學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的理解，還提供了一種全新的學(xué)習(xí)視角，相較于傳統(tǒng)教學(xué)中使用固定長度的小棒進(jìn)行實(shí)踐操作的方式，尺規(guī)作圖更能培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和想象力。

（三）在“器”“道”中思索尺規(guī)的本質(zhì)要義

尺規(guī)作圖有別于一般的畫圖，是一種利用無刻度（或看不見刻度）的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖的作圖方式。正如《周易·系辭上》所言：“形而上者謂之道，形而下者謂之器?！睆摹靶味隆钡慕嵌瓤矗咭?guī)是作圖工具，能幫助學(xué)生正確掌握作圖的方法，可作為“作圖之器”；從“形而上”的角度審視，尺規(guī)作圖能夠培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，為終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，可視為“涵養(yǎng)之道”。

二、尺規(guī)，源于“器”與“道”的實(shí)踐探究

學(xué)生通過學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的操作方法，掌握規(guī)定的尺規(guī)作圖相關(guān)知識(shí)，提高問題解決的能力。具體遵循從學(xué)科知識(shí)體系建構(gòu)到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的路徑，最終指向?qū)W生核心素養(yǎng)的發(fā)展。因此，對(duì)于尺規(guī)的教學(xué)，教師不僅要強(qiáng)調(diào)其實(shí)用性（“器”的層面），還要深入挖掘其背后的原理與規(guī)律（“道”的層面）。

（一）在教材銜接處滲透，完善尺規(guī)教學(xué)的結(jié)構(gòu)

根據(jù)2022年版課標(biāo)，尺規(guī)作圖的教學(xué)被安排在第二學(xué)段，要求學(xué)生會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段。為更好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師可以利用教材資源，提前進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將圓規(guī)的兩腳對(duì)應(yīng)一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)，感悟線段的長短與圓規(guī)兩腳張開的大小有關(guān)。

1.在第一學(xué)段中捕捉尺規(guī)素材

2022年版課標(biāo)對(duì)圓規(guī)使用的教學(xué)，由原先五年級(jí)的“圓的認(rèn)識(shí)”，調(diào)整到第二學(xué)段“作一條線段等于已知線段”的教學(xué)中。鑒于此，有必要考慮讓學(xué)生更早接觸圓規(guī)這一工具。

以蘇教版教材一年級(jí)上冊(cè)的練習(xí)題為例（如圖5），該題安排在完成“比一比”的教學(xué)后，要求學(xué)生根據(jù)線段長度在相應(yīng)的方框內(nèi)畫“√”。

在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以其中一條線段為標(biāo)準(zhǔn)，先通過一拃（每個(gè)人一拃不一樣長且不固定）進(jìn)行比較，進(jìn)而引入圓規(guī)，并強(qiáng)調(diào)圓規(guī)兩腳張開大小的可調(diào)節(jié)性（類似于一拃的大拇指和食指，但能夠固定）。這種利用圓規(guī)建立比較標(biāo)準(zhǔn)，比較兩根跳繩的長短的方法，對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有深遠(yuǎn)意義。

2.在第三學(xué)段中拓寬尺規(guī)設(shè)計(jì)

2022年版課標(biāo)在第三學(xué)段只安排了一個(gè)關(guān)于尺規(guī)作圖的教學(xué)內(nèi)容，即“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”。這一安排突破了傳統(tǒng)依賴動(dòng)手測量或小棒擺搭等方法的局限，是教學(xué)方法的進(jìn)步。然而，若將尺規(guī)的功能僅局限于解決教學(xué)重難點(diǎn)，即驗(yàn)證三條線段能否圍成三角形，這樣的教學(xué)顯然是不夠充分的。

為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題進(jìn)行深入探究，具體設(shè)計(jì)如下教學(xué)。

（1）有線段a、b、c，已知a+b>c，它們能否圍成三角形？如果能，以不同線段為底邊，圍成的三角形形狀是否相同？（如圖6）

（2）如果選定其中的一條線段（以線段c為例），你能畫出兩個(gè)三角形嗎？（如圖7）

（3）如果延長線段a，使其與線段b相等，那么所畫出的兩個(gè)三角形，它們可以組成一個(gè)什么樣的圖形？（如圖8）

（4）連接兩個(gè)弧的交點(diǎn)得到線段d，與線段c相交于點(diǎn)O（如圖9）。線段c、d有什么樣的位置關(guān)系？交點(diǎn)O有什么特別之處？

這一教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生經(jīng)歷有意義的學(xué)習(xí)過程，促進(jìn)他們體驗(yàn)成功并獲得發(fā)展。同時(shí)，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)也為學(xué)生第四學(xué)段進(jìn)一步學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖（如作一條線段的垂直平分線）打下基礎(chǔ)。

（二）在新知起點(diǎn)中挖掘，凸顯尺規(guī)教學(xué)的價(jià)值

尺規(guī)作圖作為2022年版課標(biāo)中的獨(dú)立內(nèi)容，其背后蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中，教師應(yīng)將其視為“種子課”，深入挖掘其背后的數(shù)學(xué)價(jià)值。通過精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)尺規(guī)作圖的魅力，激發(fā)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，2022年版課標(biāo)在教學(xué)提示中指出：“圖形的周長教學(xué)可以借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性?！崩弥背吆蛨A規(guī)，能將三角形的三條邊畫在一條直線上。這種方法同樣適用于四邊形、五邊形等小學(xué)階段學(xué)習(xí)的平面圖形（如圖10）。

在此過程中，學(xué)生借助尺規(guī)將圖形的一周精確地呈現(xiàn)在一條直線上。學(xué)生具身參與操作活動(dòng)，有助于學(xué)生直觀理解周長概念。在此基礎(chǔ)上，通過尺規(guī)進(jìn)一步比較不同多邊形的周長，探討如何通過尺規(guī)表示不同多邊形邊長（周長）之和（差）等問題，從而幫助學(xué)生深入理解尺規(guī)作圖的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。

（三）促進(jìn)不同領(lǐng)域間的相互關(guān)聯(lián)，巧用尺規(guī)提質(zhì)賦能

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，其每一個(gè)數(shù)學(xué)概念和規(guī)律都應(yīng)融入完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中。2022年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。在尺規(guī)作圖的教學(xué)中，不僅要在“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)部進(jìn)行關(guān)聯(lián)，還要突破這一界限，與其他領(lǐng)域建立聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。

1.借助尺規(guī)工具，強(qiáng)化問題解決能力

數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和規(guī)律等數(shù)學(xué)知識(shí)，雖然在表面上呈現(xiàn)為獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，但實(shí)質(zhì)上相互關(guān)聯(lián)。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)從全局視角出發(fā)，確保學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。

例如，在教學(xué)“小數(shù)進(jìn)位加”時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用尺規(guī)作圖對(duì)3.6+4.5=8.1進(jìn)行直觀驗(yàn)證，以體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。具體步驟為：（1）分別畫出AB=3.6厘米和CD=4.5厘米的兩條線段；（2）利用圓規(guī)將這兩條線段在同一條直線上進(jìn)行累加（B、C兩點(diǎn)重合）（如圖11），通過測量得到線段AD=8.1厘米；（3）引導(dǎo)學(xué)生思考線段AB+CD=AD與3.6+4.5=8.1之間有怎樣的關(guān)系。

2.通過尺規(guī)操作，深化知識(shí)間的聯(lián)系

尺規(guī)作圖的操作活動(dòng)具有形象性的特征，能夠幫助學(xué)生深入理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，并把握問題的本質(zhì)。例如，在“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”的教學(xué)中，蘇教版教材提出的“6和9的公倍數(shù)有哪些？其中最小的是幾？”這一問題，雖然能通過列舉法直接找到答案，但在實(shí)際運(yùn)用中，學(xué)生常因?qū)稊?shù)、最小公倍數(shù)之間的關(guān)系理解不足而產(chǎn)生困惑。

利用尺規(guī)作圖，學(xué)生可以直觀地理解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的本質(zhì)。這種方法不僅提高了學(xué)生尋找公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的直觀性，而且有助于他們迅速理解題意，建立起數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間的緊密聯(lián)系。具體操作及思考過程如下。

（1）操作。首先畫一條線段；接著進(jìn)行第一次操作，將圓規(guī)兩腳張開到6毫米，沿線段進(jìn)行多次累加截?。ㄈ?毫米、12毫米、18毫米……）；隨后進(jìn)行第二次操作，將圓規(guī)兩腳調(diào)整至9毫米，再次進(jìn)行多次累加截?。ㄈ鐖D12）。

（2）思考。在操作過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考：“第一次操作與數(shù)‘6’之間存在怎樣的關(guān)系？”“第二次操作與數(shù)‘9’又有怎樣的關(guān)系？”“為什么重疊處恰好是6和9的公倍數(shù)？”通過這樣的操作與思考，學(xué)生將更深刻地理解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，并在解決實(shí)際問題中靈活運(yùn)用。

從“道”到“器”是去往，從“器”到“道”是復(fù)歸 ，去往而后復(fù)歸。去往，是道生萬物，是樸化為器；復(fù)歸，是從萬物復(fù)歸于道，是器復(fù)歸于樸。正如老子所言：“反者，道之動(dòng)?！背咭?guī)作圖的“反者之動(dòng)”就是學(xué)生思維去往與復(fù)歸的循環(huán)往復(fù)，即從核心素養(yǎng)到數(shù)學(xué)方法的深入探索以及從方法到素養(yǎng)的回歸提煉。因此，尺規(guī)作圖教學(xué)不應(yīng)僅限于掌握作圖技巧這一層面，而應(yīng)深入探索其背后的價(jià)值意義，讓尺規(guī)作圖成為涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的載體，真正實(shí)現(xiàn)尺規(guī)從“作圖之器”走向“涵養(yǎng)之道”。

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（江蘇省淮安市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）