除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法：鞏固算理，初識算法

【摘 要】以“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”為基礎(chǔ)，探索一條基于算理一致性，且學(xué)生易于理解的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑，以此凸顯除法運(yùn)算的通性通法。通過承接已有知識，引導(dǎo)學(xué)生將除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法的算理遷移到除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法的計算中，感悟除法運(yùn)算算理的一致性；經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程，解決除數(shù)是非整十?dāng)?shù)除法的算法難題。學(xué)習(xí)路徑凸顯以理帶法，幫助學(xué)生通過計數(shù)單位的細(xì)分，理解算理，掌握算法，提高運(yùn)算能力。

【關(guān)鍵詞】除法；計數(shù)單位；單位細(xì)分；學(xué)習(xí)路徑

一、問題提出

“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”承接“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，與其在算理上具有一致性，均是“計數(shù)單位的細(xì)分”。但相較于“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”，“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”更具有一般性。因此，讓學(xué)生在“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)中繼續(xù)經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程，有助于凸顯除法運(yùn)算的通性通法。

現(xiàn)行教材中，除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的三道除法算式84÷21、430÷62和197÷28，它們的商都是一位數(shù)，學(xué)生無法充分體會計數(shù)單位細(xì)分的過程。而且由于除數(shù)和被除數(shù)間的差距較小，學(xué)生通過口算即可得出準(zhǔn)確商，也難以體現(xiàn)將除數(shù)估成整十?dāng)?shù)試商的價值。因此，筆者將商是兩位數(shù)和商是一位數(shù)的除法整合在一起進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生通過對比深入理解計數(shù)單位細(xì)分的過程，感悟運(yùn)算的一致性。

本研究將繼續(xù)聚焦“計數(shù)單位的細(xì)分”，以“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”為基礎(chǔ)，探索一條基于算理一致性，且學(xué)生易于理解的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑，以此凸顯除法運(yùn)算的通性通法。研究主要圍繞以下兩個子問題展開。

（1）如何進(jìn)一步經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程，將“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的算理遷移到“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的計算中，以凸顯除法運(yùn)算算理的一致性？

（2）如何利用計數(shù)單位細(xì)分的過程，解決商的位置和商“0”的算法問題？

基于此，筆者選取杭州市YHSY小學(xué)四年級兩個平行班（分別記為甲班和乙班）共58名學(xué)生作為研究對象，按照研究設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行教學(xué)。通過比較兩個班級學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，檢驗優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)效果。學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的具體流程如圖1所示。

二、路徑優(yōu)化

圖2是優(yōu)化后的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑，分三個任務(wù)逐步推進(jìn)教學(xué)。首先，任務(wù)1借助三道除法算式852÷40、578÷82、976÷28，引導(dǎo)學(xué)生回顧“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的運(yùn)算過程，并將其算理遷移到“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的計算中，使學(xué)生再次經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程，貫通除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法和除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法算理的一致性。其次，基于除法運(yùn)算的算理，任務(wù)2選用三道除數(shù)是非整十?dāng)?shù)且接近50的除法題目，通過異同比較，引導(dǎo)學(xué)生感受用四舍五入法將除數(shù)估成最接近的整十?dāng)?shù)最為便捷，能夠提高運(yùn)算效率。最后，任務(wù)3圍繞三道改錯題展開，引導(dǎo)學(xué)生以算理解決算法問題，強(qiáng)調(diào)所有算法問題均可通過計數(shù)單位細(xì)分的過程來解決，凸顯除法算理的重要性。

（一）承續(xù)舊知，貫通算理，從除數(shù)是整十?dāng)?shù)走向除數(shù)是非整十?dāng)?shù)

任務(wù)1首先引入除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法算式852÷40，通過計數(shù)單位細(xì)分的過程，帶領(lǐng)學(xué)生回顧算理，再由情境自然引出兩道除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法算式578÷82、976÷28，重點討論976÷28的計算過程，遷移除數(shù)是整十?dāng)?shù)除法的算理。教師在書寫豎式的過程中，同時呈現(xiàn)每一步的橫式，與豎式一一對應(yīng)，凸顯算理的一致性，即除法就是計數(shù)單位細(xì)分的過程，均從大的計數(shù)單位開始，逐漸分到小的計數(shù)單位。板書設(shè)計如圖3所示。

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？

生：除數(shù)是兩位數(shù)的除法，而且除數(shù)都是整十?dāng)?shù)。

師：那我們來計算一下852÷40。

生：8個百除以40，不夠除；85個十除以40等于2個十余5個十，再用52個一除以40等于1個一余12。

師：我們學(xué)校將開展新勞動教育“勞動最光榮”活動。仔細(xì)觀察，你們能提出哪些用除法解決的問題？

生：需要租幾輛車？每個人平均要種幾個土豆？

師：這兩個問題可以用什么方法解決？

生：列除法算式。第一個是578÷82，第二個是976÷28。（教師板書）

師：這兩個算式跟我們上節(jié)課學(xué)的內(nèi)容有什么不同的地方？

生：上節(jié)課我們所學(xué)的除法算式中的除數(shù)都是整十?dāng)?shù)，而這節(jié)課的除法算式中的除數(shù)都是非整十?dāng)?shù)。

（學(xué)生先估算，再進(jìn)行豎式計算，教師反饋總結(jié)976÷28的計算過程）

師：那么這兩道題有沒有相同的地方？

生：它們都是從高位算起，一位一位往下除的。

師：哪個同學(xué)能夠幫我們完整地回顧如何計算976÷28？

生：先用百位上的9去除，不夠除，百位上商0；再用97個十除以28，把28看成30，得到3個十，十位上商3；最后用136個一除以28，把28看成30，個位上商4，最后余24。

師：請同桌再互相說說578÷82的計算過程。

（二）鞏固算理，突破難點，瞄準(zhǔn)商的位置

在除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法豎式的計算過程中，學(xué)生往往難以找準(zhǔn)商的位置，這是因為他們對除法運(yùn)算的算理理解不夠透徹［1］。因此，在任務(wù)1-5中，筆者借助分析商是一位數(shù)、商是兩位數(shù)的除法的錯例，讓學(xué)生再次經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程，幫助學(xué)生認(rèn)識到商是幾位數(shù)并不重要，重要的是瞄準(zhǔn)商的位置。

【教學(xué)片段2】

（教師出示圖4所示的學(xué)生錯例）

師：請問這個同學(xué)遇到了什么問題？

生：他不確定“7”應(yīng)該放在個位上還是十位上。

師：那應(yīng)該怎么思考呢，誰來幫幫他？

生：我們可以通過驗算來解決。如果把“7”寫在十位上，表示“7個十”，70×82就遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于578，這樣算顯然是不對的。

生：我認(rèn)為應(yīng)該把“7”放在個位上。因為這里是用“578個一”除以82，所以結(jié)果應(yīng)該是“7個一”，而不是“7個十”。

師：大家明白了嗎？我們也可以這樣理解，當(dāng)我們計算到十位時，用57個十除以82，不夠除，這時如果要商，應(yīng)該商幾？

生：商0。

師：算個位時才夠除，所以個位上商“7”。我們一起來回顧一下剛才是怎樣計算578÷82的？

生：先用百位上的5去除，不夠除，商0；再用57個十除以82，仍不夠除，商0；最后用578個一除以82，可以商7，余4。

（三）應(yīng)用算理，打破壁壘，解密商“0”難題

任務(wù)3包含三道改錯題，旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用計數(shù)單位細(xì)分的過程，厘清商“0”現(xiàn)象，理解在什么情況下應(yīng)商“0”。三道改錯題通過精心選擇設(shè)計。第一，選擇了一道被除數(shù)是四位數(shù)且商為三位數(shù)的題目（6416÷61），將本內(nèi)容的算理算法拓展到商是三位數(shù)的除法算式中，凸顯通性通法。第二，三道除法題目的錯誤原因各不相同，第一題涉及部分積問題，第二題是商末尾為0，第三題是商中間有0。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，剖析錯誤原因并加以修正。例如，在探討第二道錯題時，須著重引導(dǎo)學(xué)生理解商3表示“3個十”，再用18個“一”除以21，不夠除，因此個位上商“0”。這樣，通過計數(shù)單位細(xì)分的過程，商“0”不再成為難題。

【教學(xué)片段3】

（教師出示圖5所示的三道錯誤計算題）

師：請同學(xué)們擔(dān)任小老師，檢查一下這三道計算題錯在哪里。

生：第一題錯在沒有使用準(zhǔn)確的數(shù)來進(jìn)行計算。這里的“60”是用30乘2得到的，不是準(zhǔn)確的數(shù)。實際上，應(yīng)該使用原除數(shù)28乘2，等于56余6。

師：我們繼續(xù)計算下去。計算個位，68個一除以28，可以把28看作30，商2個一，余12。因此結(jié)果是22余12。

生：第二題的商的個位少了一個0。因為用18個一除以21，商0余18個一，所以個位上商0，最后結(jié)果是30余18。

師：那么最后一道題呢？

生：在計算百位時，64個百除以61，應(yīng)該商1個百余3個百，但他把這個1寫在十位上了。

師：我們一起來計算一下。

生：6個千除以61等于0個千余6個千，64個百除以61等于1個百余3個百，31個十除以61等于0個十余31個十，最后316個一除以61等于5個一余11個一。

師：在計算除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法時，我們需要注意什么？

生：除到哪一位，商就要寫在哪一位上面。即使不夠除，也要寫0占位。

三、效果檢驗

為了檢驗優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑的實施效果，本研究設(shè)計了三道“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的后測題（如圖6），以評價學(xué)生對算理的一致性的理解水平。問卷的Cronbach’s α系數(shù)為0.91，表明該問卷具有較高的信度。后測主要從“知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新”三個水平進(jìn)行檢測［2］。各水平任務(wù)評分標(biāo)準(zhǔn)如下：學(xué)生能運(yùn)用豎式計算正確，說明達(dá)到“知識理解”水平，得1分，回答錯誤或未作答計0分，評價對象為第（1）題、第（2）題，共2題。學(xué)生既能用橫式記錄筆算過程，又能運(yùn)用四舍五入法將除數(shù)由非整十?dāng)?shù)轉(zhuǎn)化為整十?dāng)?shù)進(jìn)行計算，說明達(dá)到“知識遷移”水平，得2分，僅寫出橫式計1分，計算錯誤或未作答計0分，評價對象為第（1）題、第（2）題，共2題。學(xué)生能將算理算法遷移應(yīng)用到商是三位數(shù)的除法中，且能用橫式記錄筆算過程并計算正確，說明達(dá)到“知識創(chuàng)新”水平，得2分，僅列出豎式計1分，計算錯誤或未作答計0分，評價對象為第（3）題。

基于此，對甲、乙班的后測結(jié)果進(jìn)行定量分析，得出他們在各水平任務(wù)上的平均得分情況（如表1）。從表中數(shù)據(jù)可以看出，乙班學(xué)生有兩個水平上的得分率均高于甲班學(xué)生，尤其是在“知識遷移”上的表現(xiàn)，兩個班級存在顯著差異。

乙班部分學(xué)生的問卷答題情況如表2所示。學(xué)生能利用豎式計算正確（如2號學(xué)生）。他們不僅能用橫式記錄筆算的過程，還能用四舍五入法將除數(shù)由非整十?dāng)?shù)轉(zhuǎn)化為整十?dāng)?shù)進(jìn)行計算（如8號學(xué)生）。另有學(xué)生能將算理算法遷移應(yīng)用到商是三位數(shù)的除法計算中，用橫式記錄筆算的過程，又能計算正確（如4號學(xué)生）。

由此可見，優(yōu)化后的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑，在幫助學(xué)生打通除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法和除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法的算理，強(qiáng)化計數(shù)單位的細(xì)分，理解算理，掌握算法等方面具有較好的效果。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳雪嬌.錯誤化開 算法自來：“筆算除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”教學(xué)賞析［J］.課程教材教學(xué)研究（小教研究），2023（3/4）：76-77.

［2］喻平.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》學(xué)業(yè)質(zhì)量解讀及教學(xué)思考［J］.課程·教材·教法，2023，43（1）：123-130.

（1.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院

2.杭州師范大學(xué)中國教育現(xiàn)代化研究院）