課前三分秀 回文數(shù)與回文詩

“客上天然居，居然天上客！”這副對(duì)聯(lián)剛剛展示出來，大家就不約而同地誦讀起來。

今天課前秀的主講是葛佳怡，她笑著問：“大家讀完了對(duì)聯(lián)，有什么發(fā)現(xiàn)？”

楊金澄回答：“這副對(duì)聯(lián)的前后兩句是倒過來的！”

“對(duì)！這種對(duì)聯(lián)叫回文聯(lián)，上聯(lián)倒過來念，就成了下聯(lián)。”她又念了一副對(duì)聯(lián)，“人過大佛寺，寺佛大過人！”

張明瑞眼睛一亮：“這個(gè)對(duì)聯(lián)很有意思，也是回文聯(lián)，第一句話講的是人走過大佛寺，第二句話是寺廟里的佛像比人大！”

“是的！有沒有覺得這種巧妙的對(duì)仗體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美？”葛佳怡頓了頓，又說，“數(shù)學(xué)和文學(xué)有很多相似之處，古詩里面有回文詩，對(duì)聯(lián)有回文聯(lián)，數(shù)學(xué)里面有回文數(shù)！大家猜猜，什么叫作回文數(shù)？”

“我猜一下！這種數(shù)無論是從左往右，還是從右往左看，都是一樣的！”陳奕弛說完，又補(bǔ)充道，“比如121，23432，類似的數(shù)應(yīng)該都是回文數(shù)！”

葛佳怡贊同地點(diǎn)點(diǎn)頭，把這幾個(gè)數(shù)寫到了黑板上：“有一位數(shù)學(xué)家說過一句話，數(shù)學(xué)以真啟美，文學(xué)以美啟真，雖然方向不同，實(shí)質(zhì)則為同一！再給大家看一個(gè)神奇的數(shù)字金字塔！”

“這是關(guān)于1 的金字塔，可以看出來，等式的右邊都是回文數(shù)！大家能接下去寫出第六行嗎？”

同學(xué)們很快就有了答案：1111112=12345654321。

“是不是非常有意思？如果繼續(xù)往下寫，肯定寫不完。我們可以得出一個(gè)結(jié)論：回文數(shù)是無窮的！”

大家發(fā)出一陣驚嘆。

“但是，盧老師經(jīng)常說，數(shù)學(xué)思維里，沒有什么是歸納不了的！我們先來思考第一個(gè)問題：回文數(shù)至少應(yīng)該是兩位數(shù)，那么兩位數(shù)的回文數(shù)有多少個(gè)？請(qǐng)列舉出來！”

“這個(gè)簡(jiǎn)單！ 11、22、33、44、55、66、77、88、99，一共有9 個(gè)。我還發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)都是11 的倍數(shù)！”張明瑞搶著說。

“對(duì)啦！第二個(gè)問題：三位數(shù)的回文數(shù)有多少個(gè)呢？”

大家都沉默了，不少人拿出紙和筆，認(rèn)真地算了起來。

過了一會(huì)兒，陳陌開口了：“我找到答案了！從百位是1 的數(shù)開始列舉，有101、111、121、131、141、151、161、171、181、191，共10 個(gè)。接下來，我發(fā)現(xiàn)百位是2 的回文數(shù)也是10 個(gè)。

以此類推，百位上是9 的回文數(shù)也是10 個(gè)。這樣很快就可以算出三位數(shù)的回文數(shù)是9×10=90（個(gè)）?！?/p>

黃若涵若有所思地開了口：“兩位數(shù)的回文數(shù)是9 個(gè)，三位數(shù)的回文數(shù)是90 個(gè)，那么我們是不是可以大膽猜測(cè)一下，四位數(shù)的回文數(shù)是900 個(gè)？”

一石激起千層浪，大家紛紛埋頭驗(yàn)證起來。

“ 不是900 個(gè)， 還是90 個(gè)！” 吳昌蔚叫了起來，“ 我列舉了千位是1 的回文數(shù)，發(fā)現(xiàn)有1001、1111、1221、1331、1441……1991，也是10 個(gè)。和三位數(shù)的規(guī)律一樣，四位數(shù)的回文數(shù)也是90 個(gè)！”

“最后還有一個(gè)知識(shí)要分享給大家！”葛佳怡點(diǎn)了一下屏幕，“如果寫出一個(gè)自然數(shù)，加上它的倒序數(shù)—也就是把這個(gè)數(shù)字反過來寫—再將算出來的和重復(fù)這個(gè)步驟。一般來說，經(jīng)過有限次計(jì)算，就能得出一個(gè)回文數(shù)！比如：84+48=132，132+231=363，兩次計(jì)算就得到了回文數(shù)！”

“回文數(shù)很有趣，大家課后可以試試196 這個(gè)數(shù)，看看需要經(jīng)過幾次計(jì)算才能得到回文數(shù)?！?/p>

在學(xué)習(xí)回文數(shù)的過程中，我們領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之神奇。數(shù)學(xué)并不是枯燥無味的，只要做個(gè)有心人，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)迷人的光彩！

練一練

1 五位數(shù)、六位數(shù)的回文數(shù)有多少個(gè)？

2 將97 的數(shù)位倒置，再與原數(shù)相加，所得的和再進(jìn)行這樣的操作，進(jìn)行幾次計(jì)算，可以得到回文數(shù)？

3 日期中也有回文數(shù)，比如，2011 年11 月02 日，可以寫成20111102。你能再找出兩個(gè)這樣的日期嗎？

答案

1

五位數(shù)回文數(shù)：ABCBA 型。分為三步考慮：① A 有1 到9共9 種可能；② B 有0 到9 共10 種可能；③ C 有0 到9 共10種可能。9×10×10=900 個(gè)回文數(shù)。

六位數(shù)回文數(shù)：ABCCBA 型。分為三步考慮：① A 有1 到9共9 種可能；② B 有0 到9 共10 種可能；③ C 有0 到9 共10種可能。9×10×10=900 個(gè)回文數(shù)。

2

97 ＋ 79 ＝ 176，

176 ＋ 671 ＝ 847，

847 ＋ 748 ＝ 1595，

1595 ＋ 5951 ＝ 7546，

7546 ＋ 6457 ＝ 14003，

14003 ＋ 30041 ＝ 44044。

44044 就是回文數(shù)，經(jīng)過了6 次計(jì)算。

3

2020 年2 月2 日，可以寫成20200202。

2030 年3 月2 日，可以寫成20300302。