復(fù)變函數(shù)課程運(yùn)用PBL教學(xué)法的實(shí)踐探討

摘要：復(fù)變函數(shù)課程內(nèi)容理論性強(qiáng)、論證體系嚴(yán)密，知識(shí)較為抽象，學(xué)生對(duì)其理解困難。教師在課程教學(xué)中實(shí)施PBL教學(xué)法，課前通過(guò)設(shè)置問(wèn)題引起學(xué)生認(rèn)知沖突、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，課堂通過(guò)層層遞進(jìn)啟發(fā)學(xué)生思考強(qiáng)化理解，課后通過(guò)拓展任務(wù)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，取得了較好的效果。

關(guān)鍵詞：PBL教學(xué)法；復(fù)變函數(shù)；教學(xué)實(shí)踐

一、引言

復(fù)變函數(shù)課程是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課之一，主要講授內(nèi)容為解析函數(shù)、復(fù)積分的理論、解析函數(shù)的泰勒展式和洛朗展式、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射和解析延拓等，它是后繼課程如常微分方程、偏微分方程等的重要基礎(chǔ)。通過(guò)本課程的教學(xué)不僅能使學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)典復(fù)分析的基本概念、基本定理以及基本研究方法，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和邏輯推理的能力。因此該課程起到了承上啟下的作用，在國(guó)內(nèi)外高校的同類課程中具有很重要的地位。

復(fù)變函數(shù)課程具有理論性強(qiáng)、論證體系嚴(yán)密等特點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)作為二維復(fù)空間到二維復(fù)空間的映射需要四維空間表示[1]，許多知識(shí)較為抽象，學(xué)生對(duì)其理解困難。隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)、信息時(shí)代的到來(lái)，人們的生活和學(xué)習(xí)方式也有了極大的改變，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已經(jīng)不適合當(dāng)下的學(xué)生。因此，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，尋找適合當(dāng)今學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)方式，成為復(fù)變函數(shù)教學(xué)工作者亟待解決的重要課題。實(shí)際上，眾多高校的教師已經(jīng)就此做了大量有意義的教改嘗試[2-3]。

基于復(fù)變函數(shù)課程的具體特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，我們發(fā)現(xiàn)，基于問(wèn)題學(xué)習(xí)的教學(xué)法 （Problem-Based Learning，以下簡(jiǎn)稱“PBL教學(xué)法”）是一個(gè)行之有效的好方法。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，探討PBL教學(xué)法的優(yōu)點(diǎn)以及如何將該教學(xué)法運(yùn)用于復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)等問(wèn)題。使用PBL教學(xué)法不僅能夠傳授復(fù)變函數(shù)知識(shí)，還能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引導(dǎo)學(xué)生積極思考，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)、能力和素質(zhì)三位一體的教學(xué)目標(biāo)。

二、PBL 教學(xué)法概述

PBL教學(xué)法是1969年美國(guó)神經(jīng)病學(xué)教授 Barrows在加拿大麥克馬斯特大學(xué)醫(yī)學(xué)院首創(chuàng)，在醫(yī)學(xué)教育領(lǐng)域取得了成功。該教學(xué)法是一種以學(xué)習(xí)者為中心、基于建構(gòu)主義、讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)方法[4]。一般由教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容提出問(wèn)題，由學(xué)生通過(guò)搜集材料、思考、總結(jié)等方式給出解答或分析，教師對(duì)學(xué)生的回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、總結(jié)和補(bǔ)充，從而使學(xué)生達(dá)到深刻理解知識(shí)的目的。20 世紀(jì)后半葉，該教學(xué)法受到國(guó)際教育專家普遍認(rèn)同和高度關(guān)注，PBL教學(xué)法已成為世界上最受歡迎的教學(xué)方法之一[5]，已被廣泛應(yīng)用到包括醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、生理學(xué)、心理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的教學(xué)。

目前PBL 教學(xué)法主要被用于應(yīng)用性較強(qiáng)的課程教學(xué)過(guò)程中，其顯著特點(diǎn)是在教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為起點(diǎn)讓學(xué)生獲得知識(shí)。事實(shí)上，問(wèn)題在整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史上發(fā)揮的作用是怎么強(qiáng)調(diào)都不為過(guò)分，無(wú)論數(shù)學(xué)的哪個(gè)分支的發(fā)展都是由深刻而有意義的問(wèn)題所驅(qū)動(dòng)。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。一些重要的且沒(méi)有被解決的問(wèn)題被稱為猜想——是一代代數(shù)學(xué)工作者苦思冥想的對(duì)象，而那些被解決的問(wèn)題成為了定理——組成了數(shù)學(xué)各分支豐富多彩的內(nèi)容。數(shù)學(xué)家們被一個(gè)又一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題吸引，進(jìn)行深入思考和研究，取得重要的研究成果，產(chǎn)生重要的數(shù)學(xué)思想和方法。1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家D.希爾伯特在巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的著名講演，其中對(duì)各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的意義、源泉及研究方法發(fā)表了精辟的見(jiàn)解，而整個(gè)講演的核心部分則是希爾伯特根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果與發(fā)展趨勢(shì)而提出的23個(gè)問(wèn)題。這23個(gè)問(wèn)題抓住了現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中最活躍、最關(guān)鍵、最具影響力的課題，引起了數(shù)學(xué)界持久的關(guān)注，推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。由此可見(jiàn)，問(wèn)題在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上起到舉足輕重的作用，因此在數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)過(guò)程中利用問(wèn)題自然能夠?qū)㈦[藏在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技巧后面的數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)出來(lái)，這樣既能讓學(xué)生看清數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，也有助于學(xué)生建立對(duì)相關(guān)知識(shí)的直觀認(rèn)識(shí)。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課教學(xué)先講授定義、定理，然后講解例題，學(xué)生通過(guò)在課堂上學(xué)習(xí)一定的知識(shí)后做練習(xí)的方式來(lái)解決遇到的問(wèn)題。這樣的教學(xué)方法以教師為主導(dǎo)，學(xué)生被動(dòng)地學(xué)習(xí)；這樣的教學(xué)方法以簡(jiǎn)單的記憶和技能反復(fù)訓(xùn)練為主；這樣的教學(xué)方法忽視知識(shí)的來(lái)源，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。學(xué)生容易迷失在題海戰(zhàn)術(shù)中，對(duì)學(xué)習(xí)缺乏興趣和熱情，獨(dú)立思考和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力無(wú)法得到培養(yǎng)，學(xué)生缺乏質(zhì)疑精神和創(chuàng)新能力。這樣的教學(xué)方法短期看來(lái)雖然能夠起到幫助學(xué)生記憶知識(shí)的作用，但是顯然不利于高素質(zhì)人才的培養(yǎng)。

普通高等學(xué)校本科數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)質(zhì)量國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中明確要求：“數(shù)學(xué)類專業(yè)培養(yǎng)的本科生除了掌握較系統(tǒng)扎實(shí)的基本理論、基本技能和專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)該具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力、辯證意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；具有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的初步能力?！盤(pán)BL 教學(xué)法以學(xué)生為主體、以各種問(wèn)題為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，以問(wèn)題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題尋求解決方案。教師在此過(guò)程中的角色是問(wèn)題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評(píng)估者。這樣的教學(xué)方法適合知識(shí)面廣、好奇心重的當(dāng)今大學(xué)生，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生養(yǎng)成善于思考的好習(xí)慣，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力，教師在此過(guò)程中不僅傳授知識(shí)還引導(dǎo)學(xué)生形成能力。

三、PBL教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)課程的實(shí)施

PBL教學(xué)法的基本步驟可概括為：（1）根據(jù)教學(xué)目的，設(shè)置具體問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；（2）組織學(xué)生分析問(wèn)題找出相關(guān)知識(shí)，在已有知識(shí)水平基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)問(wèn)題；（3）借助問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)，并讓學(xué)生嘗試解決問(wèn)題；（4）對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的具體情況進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)?，F(xiàn)以復(fù)變函數(shù)教學(xué)課前、課中和課后的具體做法說(shuō)明PBL教學(xué)法的實(shí)踐。

（一）課前：設(shè)置認(rèn)知沖突、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

課前預(yù)習(xí)是教學(xué)過(guò)程中第一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，有效的預(yù)習(xí)不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生聽(tīng)課效果，而且能培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，可以說(shuō)“一課之計(jì)在預(yù)習(xí)”。如果預(yù)習(xí)僅僅讓學(xué)生自學(xué)，學(xué)生往往停留在瀏覽教材的層面。PBL教學(xué)法給學(xué)生布置預(yù)習(xí)任務(wù)，可以根據(jù)教學(xué)目的提出幾個(gè)問(wèn)題，要求學(xué)生帶著問(wèn)題預(yù)習(xí)并盡量自己解決問(wèn)題。課堂上教師根據(jù)學(xué)生的回答情況開(kāi)展教學(xué)，就可以做到因材施教、有的放矢，從而取得較好的教學(xué)效果。

例如，復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)域上的微積分，因此學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)首先要掌握復(fù)數(shù)域的概念。由于學(xué)生在中學(xué)階段就學(xué)習(xí)過(guò)復(fù)數(shù)，所以學(xué)生容易忽視對(duì)這一部分內(nèi)容的預(yù)習(xí)。事實(shí)上作為數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生不僅要知道復(fù)數(shù)域的結(jié)構(gòu)，還應(yīng)該知道復(fù)數(shù)域構(gòu)造的原理。教師在布置預(yù)習(xí)任務(wù)時(shí)，給學(xué)生提出如下問(wèn)題：我們都知道復(fù)數(shù)的乘法定義為z1z2 = x1x2-y1y2 +i（x1y2 +x2y1），其中z1 = x1 +iy1，z2 = x2 +iy2。為什么不把復(fù)數(shù)乘法定義對(duì)應(yīng)的實(shí)部和虛部分別相乘？

這樣的問(wèn)題自然能夠吸引學(xué)生去預(yù)習(xí)，并且還能夠引導(dǎo)學(xué)生思考。教師在開(kāi)始這部分教學(xué)時(shí)讓學(xué)生回答這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生互相交流，針對(duì)學(xué)生不同的回答，教師根據(jù)實(shí)際向?qū)W生解釋什么是好的數(shù)學(xué)構(gòu)造，進(jìn)一步拓展至四元數(shù)的例子。

（二）課中：層層遞進(jìn)、啟發(fā)思考強(qiáng)化理解

課堂上的教學(xué)活動(dòng)是教學(xué)過(guò)程的核心環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)過(guò)程中實(shí)施PBL教學(xué)法不僅能吸引學(xué)生的注意力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維和獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力起到積極作用。

例如，在講授復(fù)變量函數(shù)可微的概念之后，需要探討復(fù)變函數(shù)可微的條件。因?yàn)檫@些條件和實(shí)變函數(shù)可微的條件無(wú)論從形式上還是內(nèi)涵上均有區(qū)別，如果直接列出這些條件，學(xué)生可能會(huì)覺(jué)得莫名其妙，更難以理解復(fù)變函數(shù)可微和實(shí)變量函數(shù)可微的區(qū)別和聯(lián)系，從而可能導(dǎo)致學(xué)生陷入學(xué)得越多困惑越多的尷尬局面。在這一部分的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師基于幾個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，從而和學(xué)生一起探討、猜測(cè)、證實(shí)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可微的充分必要條件。這一教學(xué)設(shè)計(jì)正是采用了PBL教學(xué)法。

具體過(guò)程如下：復(fù)變函數(shù)中很多概念可以轉(zhuǎn)化為實(shí)變量函數(shù)，如一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件是它的實(shí)部二元實(shí)變函數(shù)和虛部二元實(shí)變函數(shù)都在該點(diǎn)連續(xù)，那么一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)可微是否相當(dāng)于其實(shí)部二元函數(shù)和虛部二元函數(shù)在該點(diǎn)可微呢？然后從復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)可微推導(dǎo)出必要條件：其實(shí)部二元函數(shù)和虛部二元函數(shù)在該點(diǎn)處的偏導(dǎo)均存在，且滿足柯西-黎曼條件。接著利用具體的例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)柯西-黎曼條件是函數(shù)在一點(diǎn)處可微的必要非充分條件。進(jìn)一步提出問(wèn)題：需要將關(guān)于實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)的條件加強(qiáng)到什么樣才能得到復(fù)變函數(shù)在該點(diǎn)處可微呢？比偏導(dǎo)存在強(qiáng)一些，學(xué)生們不難想到二元函數(shù)可微。這樣便通過(guò)層層遞進(jìn)的幾個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生“猜出”復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)可微的充分必要條件。

除此以外，還有很多適合課堂中實(shí)施PBL教學(xué)法的具體例子。例如在講柯西定理和柯西公式時(shí)，有重要的一個(gè)結(jié)論——復(fù)變函數(shù)中區(qū)域上的解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)。這時(shí)可以讓學(xué)生思考在數(shù)學(xué)分析中的實(shí)函數(shù)有沒(méi)有類似的性質(zhì)，如果沒(méi)有則進(jìn)一步舉出例子加以說(shuō)明。這樣的問(wèn)題能夠促進(jìn)學(xué)生認(rèn)清復(fù)變量函數(shù)和實(shí)變量函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。

通過(guò)PBL教學(xué)法來(lái)講授這部分內(nèi)容，能夠讓學(xué)生在已經(jīng)具備數(shù)學(xué)分析知識(shí)的基礎(chǔ)上用一種自然的方式學(xué)習(xí)，既可以學(xué)習(xí)新知識(shí)又認(rèn)識(shí)了新舊知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系。

（三）課后：拓展任務(wù)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力

課堂教學(xué)活動(dòng)雖然重要，但是學(xué)習(xí)是一個(gè)持續(xù)的過(guò)程，加之課堂時(shí)間有限，故課后教學(xué)活動(dòng)的安排是課堂教學(xué)的必要補(bǔ)充。課堂教學(xué)活動(dòng)和合理的課后活動(dòng)相得益彰才能獲得良好的教學(xué)效果。

復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容主要涉及解析函數(shù)基本的性質(zhì)，相當(dāng)于復(fù)分析導(dǎo)引。進(jìn)行復(fù)分析對(duì)于較深的理論問(wèn)題，限于學(xué)時(shí)，本科課程無(wú)法開(kāi)展深入討論。好的教學(xué)一定要有深度，在第十一屆“中國(guó)大學(xué)教學(xué)論壇”上，教育部高等教育司司長(zhǎng)吳巖表示：中國(guó)“金課”要具備高階性、創(chuàng)新性與挑戰(zhàn)度。所謂“挑戰(zhàn)度”，是指課程有一定難度，需要跳一跳才能夠得著。顯然僅僅靠常規(guī)的課后作業(yè)是難以實(shí)現(xiàn)這種挑戰(zhàn)度的。筆者在教學(xué)實(shí)際過(guò)程中會(huì)布置一些課后任務(wù)，這些任務(wù)都會(huì)設(shè)置一些問(wèn)題，要求學(xué)生課后通過(guò)查閱資料和分組討論來(lái)解決，在習(xí)題課或答疑課上安排學(xué)生分組匯報(bào)，并對(duì)學(xué)生的匯報(bào)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

教師在講授解析開(kāi)拓這一章時(shí)，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題布置課后任務(wù)，并要求學(xué)生分組報(bào)告。著名的黎曼猜想是希爾伯特1900年列舉的數(shù)學(xué)難題之一，已經(jīng)引發(fā)了數(shù)學(xué)家一個(gè)半世紀(jì)的追逐。2018年英國(guó)著名數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞爵士曾宣稱自己用一個(gè)簡(jiǎn)單的方法證明了自1859年以來(lái)困擾數(shù)學(xué)界的黎曼猜想。 由此，“邁克爾·阿蒂亞”這個(gè)名字熱鬧了一陣，有的文章標(biāo)題使用了“數(shù)學(xué)大地震”這樣的說(shuō)法。教師要求學(xué)生課后通過(guò)查閱資料探討如下問(wèn)題：黎曼猜想涉及的黎曼ζ函數(shù)是怎樣定義的？有的科普文章提出所有自然數(shù)之和等于?1/12是怎么回事？這些問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的興趣，不少學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)和網(wǎng)絡(luò)材料給出了正確的解答。這些問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生借助已學(xué)知識(shí)，通過(guò)查閱資料和研究探討的方式實(shí)現(xiàn)了較深層次的學(xué)習(xí)。

四、結(jié)語(yǔ)

根據(jù)復(fù)變函數(shù)課程的特點(diǎn)，在課前、課中和課后各教學(xué)環(huán)節(jié)充分實(shí)施PBL教學(xué)法，不僅有助于學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)，還能提高學(xué)生的能力。當(dāng)然，如何和其他教學(xué)方法結(jié)合，用PBL教學(xué)法組織復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)以獲得更好的教學(xué)效果，還需要進(jìn)一步深入探究。

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