初中數(shù)學(xué)翻折模型的中心條件與解題思路

【摘要】初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，翻折模型作為幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維和問題解決能力.本文以初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的翻折模型為研究對(duì)象，探討了其解題過程中的中心條件與思路.研究發(fā)現(xiàn)，翻折模型的教學(xué)不僅僅是為了掌握具體的解題方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和問題解決能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；翻折模型；中心條件；解題思路

1 引言

初中數(shù)學(xué)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要學(xué)科之一，在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和解決問題能力方面發(fā)揮著重要作用.其中，翻折模型作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，旨在通過幾何圖形的折疊和全等性質(zhì)的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何推理能力［1］.筆者將以一道例題進(jìn)行探究，以“全等性”“對(duì)稱性”為該類題目中心條件和破題關(guān)鍵，以“根據(jù)全等性和已知條件確定所有已知量，設(shè)出未知量，在同一個(gè)圖形內(nèi)構(gòu)造等量關(guān)系，解出未知量”為該類題的一般解題思路，通過合理引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用全等性質(zhì)，提升學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)思維水平.

2 翻折模型的概述

翻折變換，亦稱折疊問題，其本質(zhì)是一種軸對(duì)稱變換.在幾何學(xué)中，折疊操作將圖形沿某一條直線（稱為折痕或?qū)ΨQ軸）進(jìn)行翻折，使得折疊前后的圖形部分或全部重合.學(xué)生在解題過程中，需要時(shí)刻牢記翻折模型的具體性質(zhì)，即：折疊前后圖形的形狀和大小保持不變，但位置會(huì)發(fā)生改變；折疊過程中，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角保持相等.這些性質(zhì)為學(xué)生解決折疊問題提供了重要的理論依據(jù).

在解決實(shí)際問題時(shí)，面對(duì)較為復(fù)雜的折疊問題，學(xué)生可以通過實(shí)際操作圖形的折疊來尋找圖形間的關(guān)系.這種方法有助于學(xué)生直觀地理解問題，從而找到解題的突破口.學(xué)生還需要明確折疊和軸對(duì)稱所能提供的隱含條件，并充分利用這些條件.通常，可以設(shè)要求的線段長(zhǎng)度為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他相關(guān)線段的長(zhǎng)度.然后選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程，進(jìn)而求解出x的值.在運(yùn)用方程解決問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)認(rèn)真審題，確保設(shè)定的未知數(shù)正確無誤.同時(shí)，要注意分析題目中的已知條件和所求目標(biāo)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)方法求解.在此過程中，熟練掌握折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及靈活運(yùn)用勾股定理等幾何知識(shí)，是解決折疊問題的關(guān)鍵.總之，掌握折疊問題的解題方法，不僅有助于提高學(xué)生的幾何解題能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯思維能力.

3 試題呈現(xiàn)

如圖1所示，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處.若AB=3，BC=5，則tan∠DAE的值為________.

4 思路分析

本題運(yùn)用倒推法，若需要求出tan∠DAE，由于已知BC=5，則可得到AD=5，故只需求解DE的長(zhǎng)度即可.嘗試?yán)谩案鶕?jù)全等性和已知條件確定所有已知量，設(shè)出未知量，在同一個(gè)圖形內(nèi)構(gòu)造等量關(guān)系，解出未知量”的一般解題思路進(jìn)行求解.首先，根據(jù)全等性，可知AF=5，因此可求BF的長(zhǎng)度，同時(shí)滿足全等性的還有EF=DE.設(shè)未知量為DE的長(zhǎng)度x，則不難發(fā)現(xiàn)，在△CEF中，可以根據(jù)勾股定理進(jìn)行等式構(gòu)建，從而解出未知量.

而本題還可根據(jù)“對(duì)稱性”這一中心條件，進(jìn)行簡(jiǎn)化求解.可以連接D、F兩點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，可知對(duì)稱軸與連線垂直.因此根據(jù)相似三角形，可將tan∠DAE等價(jià)于tan∠FDE，如此一來，便不需要設(shè)未知量即可求解［2］.

5 解題探究

解法1 一般思路

如圖1，由翻折變換可知，AD=AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得BF=AF2－AB2=52－32=4，因此FC=BC－BF=5－4=1，設(shè)DE=x，則EF=x，EC=3－x.

在Rt△EFC中，由勾股定理得12+（3－x）2=x2，解得x=53，即DE=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD=535=13.

解法2 升階思路

如圖2，連接D、F兩點(diǎn)，交AE于點(diǎn)O，則根據(jù)對(duì)稱性，對(duì)稱兩點(diǎn)的連線垂直于翻轉(zhuǎn)軸，則AE⊥DF.由于∠ADE=∠DOE，∠AED=∠ADO，所以∠DAE=∠ODE，因此tan∠DAE=tan∠ODE=tan∠FDC，此時(shí)可根據(jù)解法1中結(jié)論得到FC=1，又因?yàn)镃D=3，所以tan∠DAE=13.

6 解后反思

在本文的探討中，筆者深入研究了翻折模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性和應(yīng)用.翻折模型的教學(xué)不僅僅是為了讓學(xué)生掌握具體的解題方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和問題解決能力［3］.通過對(duì)翻折模型的研究和實(shí)踐，學(xué)生在解決翻折模型問題時(shí)，需要靈活運(yùn)用全等性質(zhì)，構(gòu)造等量關(guān)系，建立方程，進(jìn)行推理和論證，從而培養(yǎng)了他們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.在教學(xué)實(shí)踐中，筆者還發(fā)現(xiàn)了一些問題和挑戰(zhàn)，比如學(xué)生對(duì)于全等性質(zhì)的理解和應(yīng)用存在困難，需要通過實(shí)例分析和模型演示來幫助學(xué)生理解.同時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生解題過程中需要不斷激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索精神，鼓勵(lì)他們嘗試不同的解題方法，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力.翻折模型的教學(xué)既考驗(yàn)著學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，也考驗(yàn)著教師的教學(xué)水平和教學(xué)方法.通過不斷地探索和實(shí)踐，學(xué)生可以更好地引導(dǎo)學(xué)生掌握翻折模型的解題技巧，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)他們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］單小燕.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略探析——以“勾股定理中的翻折問題解題教學(xué)”為例［J］.數(shù)學(xué)之友，2023，37（04）： 47-48+52.

［2］沈穎.初中數(shù)學(xué)勾股定理中的翻折問題［J］.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022，（22）：3-4.

［3］劉鈺.初中數(shù)學(xué)解題課教學(xué)策略課例分析——以“勾股定理中的翻折問題”解題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021，（10）：8-9+13.