用不等式組制訂最優(yōu)方案

在生活中，我們經(jīng)常會遇到制訂最優(yōu)方案的問題. 此時若結(jié)合不等式組相關(guān)知識，則可做出最優(yōu)決策，最大程度地省錢或賺錢.

典例分析

例1 某校組織師生參加夏令營活動，現(xiàn)準(zhǔn)備租用[A]，[B]兩種型號客車（每種型號的客車至少租用一輛）. [A]型客車每輛租金[500]元，[B]型客車每輛租金[600]元. 每輛A型客車坐滿后載客40人，每輛B型客車坐滿后載客55人. 若該校計(jì)劃租用[A]型和[B]型兩種客車共[10]輛，總租金不高于[5500]元，并將全校[420]人載至目的地. 該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

解析：設(shè)租用[A]型客車[m]輛，則租用[B]型客車（10 - m）輛，

由題意得[500m+60010-m≤5500，40m+5510-m≥420，]" 解得[5≤m≤263].

[∵m]取正整數(shù)，[∴][m的值可以為5]，[6]，[7]，[8]，[∴]共有[4]種租車方案.

設(shè)總租金為[w]元，則[w=500m+600（10-m）=-100m+6000].

[∵][-100lt;0]，[∴w]隨著[m]的增大而減小，[∴]當(dāng)[m=8]時，[w]的值最小，為5200元，

[∴]租[8]輛[A]型客車、[2]輛[B]型客車最省錢.

例2 2023年“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為社會關(guān)注的熱門話題，“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”有著啟動資金少、管理成本低等優(yōu)點(diǎn)，成為許多創(chuàng)業(yè)者的首選. 甲經(jīng)營了某種品牌小電器生意，購進(jìn)1臺A種品牌小電器需要15元，購進(jìn)1臺B種品牌小電器需要20元，銷售1臺A種品牌小電器獲利3元，銷售1臺B種品牌小電器獲利4元.

（1）甲用不少于2750元且不超過2850元的資金一次性購進(jìn)A，B兩種品牌小電器共150臺，求購進(jìn)A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍.

（2）在（1）的條件下，所購進(jìn)的A，B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些，并計(jì)算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少.

解析：（1）設(shè)購進(jìn)[A]種品牌小電器[a]臺，則購進(jìn)B種品牌小電器（150 - a）臺.

由題意得[15a+20（150-a）≤2850，15a+20（150-a）≥2750，]解得[30≤a≤50]，

∴購進(jìn)A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍是[30≤a≤50].

（2）設(shè)獲利[w]元，由題意得[w=3a+4（150-a）=-a+600].

∵所購進(jìn)的A，B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，

∴[-a+600≥565]，解得[a≤35]，∴[30≤a≤35].

[∵w]隨[a]的增大而減小，[∴]當(dāng)[a=30]時獲利最大，[w]最大[=-30+600=570]（元）.

因此，甲合理的采購方案是購進(jìn)[A]種品牌小電器30臺、[B]種品牌小電器120臺，最大利潤是570元.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★ 解題時間：10分鐘

1. 學(xué)校通過勞動教育促進(jìn)學(xué)生樹德、增智、強(qiáng)體、育美全面發(fā)展，計(jì)劃組織八年級學(xué)生到“開心”農(nóng)場開展勞動實(shí)踐活動. 到達(dá)農(nóng)場后分組進(jìn)行勞動，參加本次實(shí)踐活動的老師有6名，學(xué)生有234名. 勞動實(shí)踐結(jié)束后，學(xué)校在租車總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用客車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師. 現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如表1所示. （1）租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車 "

輛；（2）學(xué)校共有幾種租車方案？最少租車費(fèi)用是多少？（答案見第33頁）

難度系數(shù)：★★★★★ 解題時間：20分鐘

2. 某市A，B兩個蔬菜基地得知C，D兩個災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240噸和" " "260噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū)，已知A蔬菜基地有蔬菜[200噸]，B蔬菜基地有蔬菜[300噸]，現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)運(yùn)至C，D兩個災(zāi)區(qū)安置點(diǎn)，從A地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元. 設(shè)從B地運(yùn)往C處的蔬菜為x噸. （1）請?zhí)顚懕?，并求兩個蔬菜基地調(diào)運(yùn)蔬菜的運(yùn)費(fèi)相等時x的值；（2）設(shè)A，B兩個蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案. （答案見第33頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學(xué)）