【摘" "要】“平行四邊形的面積”是“圖形的認識與測量”主題中的主要內(nèi)容,它在“多邊形的面積”單元教學(xué)中具有承上啟下的作用。針對平行四邊形變式問題測試結(jié)果不理想的現(xiàn)狀,對“平行四邊形的面積”的教學(xué)進行改進。通過“關(guān)注度量本質(zhì),經(jīng)歷數(shù)格過程;從特殊到一般,經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程;揭示內(nèi)在聯(lián)系,經(jīng)歷歸納過程;探究‘變’與‘不變’,經(jīng)歷聯(lián)結(jié)過程”,培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗解決問題的能力,從而有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】度量本質(zhì);結(jié)構(gòu)化;平行四邊形的面積;轉(zhuǎn)化
一、問題緣起
“平行四邊形的面積”是“圖形的認識與測量”主題中的主要內(nèi)容,它在“多邊形的面積”單元教學(xué)中具有承上啟下的作用。平行四邊形作為一種二維圖形,與一維圖形的主要差別在于需借助面積單位進行度量,屬于間接度量。其面積度量的實質(zhì)就是計算它包含多少個面積單位。盡管平行四邊形的面積計算看起來很簡單,但在教學(xué)實踐中學(xué)生的學(xué)習(xí)效果卻并不理想。筆者在2024年4月對即將畢業(yè)的六年級四個班共160名學(xué)生進行了相關(guān)測試,具體試題如下。
【試題】把一個長10厘米、寬6厘米的長方形框架拉成一個高8厘米的平行四邊形,這個平行四邊形的面積是( ▲ )平方厘米。請說明理由,可以畫一畫或用文字進行說明。
本次測試在學(xué)生未經(jīng)任何復(fù)習(xí)的狀態(tài)下進行,以文字形式呈現(xiàn),旨在考查學(xué)生運用面積公式解決實際問題的能力。測試結(jié)果顯示,約有54%的學(xué)生受到長方形面積計算的影響,認為平行四邊形的面積為相鄰兩條邊長度的乘積,故答案為60平方厘米;約有16%的學(xué)生未能將平行四邊形與三角形三邊關(guān)系的知識點進行聯(lián)結(jié),認為平行四邊形的底是10厘米、高是8厘米(如圖1),因此平行四邊形的面積為10×8=80(平方厘米)。這兩類學(xué)生都受“長方形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的干擾,忽視了拉動過程中“面”這一要素,無法感知圖形面積的變化。
僅有21%的學(xué)生能正確理解“直角三角形中斜邊的長度大于直角邊的長度”。基于此,以長方形的長為底,就拉不成高為8厘米的平行四邊形;只有以長方形的寬為底,才能拉成高為8厘米的平行四邊形。因此,平行四邊形的面積為6×8=48(平方厘米)(如圖2)。這類學(xué)生能夠借助三角形的三邊關(guān)系確定相對應(yīng)的底與高,對面積度量的意義理解得較為透徹。
二、教學(xué)思辨
通過調(diào)查分析,筆者發(fā)現(xiàn)近80%的學(xué)生對平行四邊形面積公式的理解尚停留在表面層次。面對相關(guān)變式問題,或不知所措,或簡單套用公式,忽視了知識的本質(zhì)屬性。這些現(xiàn)象反映出當(dāng)前教與學(xué)過程中的不足之處。在教學(xué)過程中,教師過分注重學(xué)生對平行四邊形面積公式的確認,而忽視引導(dǎo)學(xué)生理解圖形面積測量的本質(zhì)、探究轉(zhuǎn)化思想背后的原因以及認識計算方法的實質(zhì)。鑒于此,本文將對平行四邊形的面積教學(xué)的突破點、教學(xué)目標的定位,以及構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑的有效途徑等問題展開探討。
(一)“平行四邊形的面積”教學(xué)的突破點
1.聚焦度量本質(zhì)
長度、面積、體積度量的實質(zhì)都是計算度量對象包含多少個度量單位?!岸噙呅蔚拿娣e”單元涉及到的平行四邊形、三角形和梯形的面積,其共同特點是圖形中都包含一些不能用面積單位直接度量的部分。因此,平行四邊形的面積教學(xué)的重點應(yīng)聚焦于借助操作與轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生經(jīng)歷將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程,以實現(xiàn)面積單位的密鋪,感知平面圖形面積度量的實質(zhì)就是計算該圖形包含多少個面積單位。教學(xué)時,可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“每行面積單位的個數(shù)×行數(shù)”直接計算出平行四邊形所含面積單位的個數(shù),認識到“平行四邊形的面積=底×高”的本質(zhì)是數(shù)面積單位。由此,學(xué)生在操作和優(yōu)化的過程中,從“數(shù)格子數(shù)量”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝嬎憔€段長度的乘積”,從而歸納出面積計算公式,實現(xiàn)從直觀到抽象的飛躍。
2.凸顯結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)
平行四邊形的面積計算以長方形的面積計算為基礎(chǔ),以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索,以未知轉(zhuǎn)化為已知的基本方法展開學(xué)習(xí)。而平行四邊形的面積計算公式則是通過將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個長方形推導(dǎo)得出的。教學(xué)時,教師可以從整體視角出發(fā),利用這些圖形的內(nèi)在聯(lián)系,運用轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)學(xué)生探索圖形面積的計算方法,從而幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生可以自主遷移探索路徑與方法,進一步學(xué)習(xí)三角形和梯形面積的計算。在整個學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生在知識、思維與方法上形成關(guān)聯(lián),實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化,從而發(fā)展了推理意識和空間觀念。
(二)“平行四邊形的面積”教學(xué)目標定位與學(xué)習(xí)路徑
為突出度量本質(zhì)和結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián),可以將“平行四邊形的面積”教學(xué)分為兩節(jié)連續(xù)課進行。具體教學(xué)目標如下。
1.在操作活動中理解面積度量的本質(zhì)為面積單位的累加,能解釋說明面積單位密鋪中的“列數(shù)”和“行數(shù)”與平行四邊形的底和高之間的關(guān)系,能自主歸納平行四邊形的面積計算公式,并解決簡單實際問題。
2.在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)中經(jīng)歷猜想、操作、驗證、歸納的過程,滲透轉(zhuǎn)化思想,發(fā)展推理意識和空間觀念。
3.探究平行四邊形變形前后面積變化的原因,深入理解平行四邊形的不穩(wěn)定性。
4.滲透“變與不變”思想,積累解決問題的經(jīng)驗,發(fā)展推理意識和科學(xué)精神。
為達成上述教學(xué)目標,教師需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)格過程、轉(zhuǎn)化過程、歸納過程和聯(lián)結(jié)過程。其學(xué)習(xí)路徑框架如圖3所示(其中前三步在第1課時內(nèi)完成,第四步在第2課時內(nèi)完成)。
三、教學(xué)改進
(一)關(guān)注度量本質(zhì),經(jīng)歷數(shù)格過程
數(shù)方格即數(shù)表示面積單位的小方格的個數(shù)。數(shù)方格的過程蘊含著面積的有限可加性,學(xué)生經(jīng)歷數(shù)方格的過程就是從直觀上理解面積度量本質(zhì)。
【教學(xué)片段1】
1.梳理舊知,引發(fā)猜想。
教師出示長5厘米、寬3厘米的長方形,引導(dǎo)學(xué)生回顧:長方形的面積是多少?怎么計算?為什么要這樣計算?
教師小結(jié):長方形的面積通過“每行面積單位的個數(shù)×行數(shù)”來計算,即求長方形內(nèi)包含多少個面積單位。
2.自主探究,經(jīng)歷過程。
教師先出示沒標注數(shù)據(jù)的平行四邊形,引導(dǎo)學(xué)生思考平行四邊形的面積可能與什么有關(guān)。再出示數(shù)據(jù)4、5、6,讓學(xué)生計算它的面積。(如圖4)
(暴露出兩種不同的計算方法,即底乘鄰邊6×5和底乘高6×4。)
教師提問:哪種計算方法是對的?可以怎樣驗證?(呈現(xiàn)方格圖)可以用什么方法數(shù)出它的面積?(引入數(shù)方格的方法,匯報交流)
回顧長方形面積計算公式,有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積不能用數(shù)方格法直接數(shù)出的原因,從而在操作中思考將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方法,初步建立面積單位密鋪時列數(shù)和行數(shù)與平行四邊形的底和高之間的關(guān)系。
(二)從特殊到一般,經(jīng)歷轉(zhuǎn)化過程
在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)面積單位活動,初步建立平行四邊形的面積與其底、高之間關(guān)系的基礎(chǔ)上,讓他們采用不同方式(如剪、移、拼)進行探究,經(jīng)歷由特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程,積累策略型、方法型經(jīng)驗。
【教學(xué)片段2】
1.小組研究。
小組合作,用畫一畫、剪一剪、拼一拼等方式,探究:平行四邊形的底和高與它的面積之間存在怎樣的關(guān)系?
2.匯報交流。
教師引導(dǎo)學(xué)生思考:你們是怎么探究的?這些方法有什么共同點?為什么都要沿高剪拼?
教師利用幾何畫板,拉出一個任意的平行四邊形,讓學(xué)生比畫他們是如何通過剪、移、拼,將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的。然后用課件動態(tài)演示不同平行四邊形的轉(zhuǎn)化過程,重點突破“形外高”(如圖5)的轉(zhuǎn)化。
利用面積的運動不變性,讓學(xué)生在剪拼各種平行四邊形的過程中,理解任意平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長方形,體驗轉(zhuǎn)化過程,在異中求同,發(fā)現(xiàn)共性,積累基本活動經(jīng)驗。
(三)揭示內(nèi)在聯(lián)系,經(jīng)歷歸納過程
通過探究平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形各要素之間的對應(yīng)關(guān)系,助力學(xué)生理解平行四邊形與長方形之間的內(nèi)在聯(lián)系,感悟如何從已知圖形的面積公式推理出未知圖形的面積公式,構(gòu)建圖形面積計算方法的一般模型。
【教學(xué)片段3】
1.歸納。
引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié):將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形之后,平行四邊形和拼成的長方形間有什么聯(lián)系?平行四邊形的面積可以怎么計算?
2.思辨。
教師提問:你能解釋為什么平行四邊形的面積不能用“底乘鄰邊”的方法計算嗎?
學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的探究活動,對平行四邊形的面積與它的底和高之間的關(guān)系有了更為清晰的認識。通過觀察、比較和歸納,結(jié)合“長方形的面積=長×寬”推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”,體會到面積度量的本質(zhì),發(fā)展了推理意識。
(四)探究“變”與“不變”,經(jīng)歷聯(lián)結(jié)過程
學(xué)習(xí)的過程即建立聯(lián)結(jié)的過程。教師應(yīng)設(shè)計具有可操作性且思維可視化的任務(wù),使學(xué)生能熟練掌握圖形面積的計算公式。同時,還要幫助學(xué)生建立不同的表征,引導(dǎo)學(xué)生通過對不同表征方式進行比較、辨析、歸納,建立知識、思維與觀念的對應(yīng)和關(guān)聯(lián),從而培養(yǎng)學(xué)生的推理意識和空間觀念。
【教學(xué)片段4】
1.小組活動。
平行四邊形的面積為什么不能用鄰邊相乘的方法進行計算?請借助操作實驗來證明。
(1)做一做:請把長方形框拉成幾個不同的平行四邊形,記錄底、高、周長和面積的數(shù)據(jù)(研究材料:長9厘米、寬6厘米的長方形木條框1個,方格紙1張,每小格的邊長為1厘米)。
(2)想一想:變形前后,什么變了?什么沒變?你們發(fā)現(xiàn)了什么?
2.匯報交流(展示學(xué)生作品)。
生:無論變成什么形狀的平行四邊形,底都保持不變,而高則逐漸變短。因此周長不變,面積減小。這說明平行四邊形的面積不能用“底乘鄰邊”的方法計算。
生:我們只拉了2個平行四邊形,其余都是通過推理得出的。我們發(fā)現(xiàn):底不變,高減少,面積也減少。
……
3.關(guān)聯(lián)。
引導(dǎo)學(xué)生在腦海中想象:一個底9厘米、高6厘米、面積54平方厘米的平行四邊形,如果將它的面積變成27平方厘米,底、高分別是多少?如果將它的面積變成72平方厘米呢?
4.總結(jié)。
在第2課時,再次回到對實物圖形的觀察與分析,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將知識、思維與方法聯(lián)結(jié)的結(jié)構(gòu)化過程。首先,讓學(xué)生直觀地感受到行數(shù)排列的變化與線段(高)變化的一致性。在相鄰兩邊長度確定的情況下,學(xué)生認識到周長一定,而面積與高存在關(guān)聯(lián),進一步厘清了平行四邊形的面積為什么不能用鄰邊相乘的方法計算。其次,拉動長方形木條框的過程,既是學(xué)習(xí)材料的生成過程,又是推動學(xué)生從數(shù)學(xué)直觀走向理性思考的過程,學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)了底、高和面積的變化與積的變化規(guī)律之間的關(guān)聯(lián),實現(xiàn)知識與思維的聯(lián)結(jié)。
長方形的面積是平行四邊形面積推導(dǎo)的基礎(chǔ),而平行四邊形面積的學(xué)習(xí)又為三角形、梯形、圓形、不規(guī)則圖形面積的學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。因此,教師聚焦度量本質(zhì),通過操作與轉(zhuǎn)化,幫助學(xué)生感知平行四邊形的面積度量的實質(zhì)。凸顯結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián),以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索,使學(xué)生在知識、思維與方法上形成關(guān)聯(lián),實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化。這樣的教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗解決問題的能力,從而有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。
參考文獻:
[1]張奠宙,鞏子坤,任敏龍,等,小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理:核心概念的理解與呈現(xiàn)[M].上海:上海教育出版社,2018.
[2]江燕,郜舒竹.從否認到確認、從表面到本質(zhì)、從個別到一般:以“平行四邊形的面積”的教學(xué)為例[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2023(11):4-8.
[3]孔凡哲.基本活動經(jīng)驗的含義、成分與課程教學(xué)價值[J].課程·教材·教法,2009,29(3):33-38.
[4]葛素兒.數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)力:內(nèi)涵、價值與測評例舉[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2023(5):5-9.