問題導(dǎo)學(xué)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

蘇科版數(shù)學(xué)八（下）第十二章“二次根式”（第二課時(shí)）中，理解二次根式的概念是難點(diǎn)，理解二次根式的性質(zhì)是重點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)了第一課時(shí)后，掌握了二次根式的概念，經(jīng)歷了探索關(guān)于二次根式的重要結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程，初步具備了計(jì)算和化簡的一般方法，但運(yùn)算的熟練程度存在一定差異，還需教師引導(dǎo)關(guān)注解決問題方法的多樣化，真正理解概念內(nèi)涵，提高運(yùn)用法則的靈活性和解決問題的能力。問題鏈的設(shè)置可以幫助學(xué)生挖掘知識(shí)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深度思考，引導(dǎo)學(xué)生在探究感悟中逐步培養(yǎng)良好的思維方式。類比整式與分式等內(nèi)容的研究方法，筆者嘗試以問題導(dǎo)學(xué)的方式設(shè)計(jì)教學(xué)，目的是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，為后續(xù)一元二次方程和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做鋪墊。

一、教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的意義，熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)；經(jīng)歷觀察、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在演算推理中滲透分類討論、由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，歸納總結(jié)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于實(shí)踐的精神。

二、問題設(shè)置

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)應(yīng)該建立在對已有數(shù)學(xué)知識(shí)理解的基礎(chǔ)之上，對新知識(shí)進(jìn)行深層次建構(gòu)，并將其納入原有認(rèn)知中，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問題，通過對數(shù)學(xué)情境中的問題進(jìn)行批判性分析，深化對問題的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行知識(shí)整合，把握本質(zhì)，將知識(shí)有效遷移。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言對問題進(jìn)行猜想，去描述變化，深度學(xué)習(xí)就會(huì)自然發(fā)生。

1. 深度建構(gòu)，問好問題

問題1 當(dāng)x是什么樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義？

（1）[x+2]；（2）[（x+2）2]；（3）[x2+2]；（4）[-（x+2）2]；（5）[-x+2]。

【設(shè)計(jì)意圖】從算術(shù)平方根的數(shù)學(xué)意義，到二次根式的雙重非負(fù)性；從完全平方式，到絕對值的變化，問題1讓學(xué)生在對比中深刻理解二次根式的雙重非負(fù)性，感悟普遍聯(lián)系的辯證觀念。

問題2 當(dāng)x是什么樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有最大或最小值？請分別求出最值。

（1）[2-x]；（2）3-[2-x]；（3）[2-x2]；（4）[x2+4]+[（12-x）2+9]。

【設(shè)計(jì)意圖】通過探究最值，引導(dǎo)學(xué)生思考負(fù)數(shù)沒有平方根以及二次根式的非負(fù)性，學(xué)會(huì)從轉(zhuǎn)化的角度去發(fā)現(xiàn)、思考。解決問題（4）要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從數(shù)形結(jié)合視角構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理，可以提升學(xué)生對最值問題探究的認(rèn)識(shí)，體會(huì)二次根式最值問題的一般研究方法。

2. 靈活變式，拓展探究

問題3 當(dāng)0lt;xlt;1時(shí)，求[（x-1x）2+4]-[（x+1x）2-4]的值。

拓展1 已知y=[8-x]+[x-8]+[12]，求 [yx+xy+2]-[xy+yx-2]的值。

變式1 已知xlt;0，求[4-（x+1x）2]-[4+（x-1x）2]的值。

變式2 化簡[（3-x）2]+[（x-7）2]。

【設(shè)計(jì)意圖】比較[a2]與（[a]）2 的異同點(diǎn)，對問題3進(jìn)行拓展、變式，培養(yǎng)學(xué)生正確進(jìn)行分類討論的科學(xué)態(tài)度，對解法深度分析；引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次根式化簡的本質(zhì)，得到解決問題的方法。

問題4 先化簡x+[1+2x+x2]，然后求x=-2時(shí)代數(shù)式的值。

問題5 先化簡x+[1+2x+x2]，然后求x=3時(shí)代數(shù)式的值。

拓展2 已知[x+1gt;0，x-1lt;0，]請化簡：[1+2x+x2]-[1-2x+x2]。

【設(shè)計(jì)意圖】拓展問題4，借助數(shù)軸，深挖數(shù)學(xué)模型，改變條件，讓結(jié)論不確定，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，完善學(xué)生的認(rèn)知，讓學(xué)生聯(lián)想已有的經(jīng)驗(yàn)與方法，搭建結(jié)論與條件之間的橋梁。

問題6 （1）計(jì)算[（x+4）2]-[（x-2）2]， （-4lt;xlt;2）。

（2）已知x、y滿足ylt;[x-2]-[2-x]+4，化簡[y-4]-[y2-10y+25]。

（3）已知a、b、 c分別為[△ABC]的三條邊長，請化簡[（a+b+c）2]+[（a-b-c）2]+[（b-c-a）2]-[（c-a-b）2]。

【設(shè)計(jì)意圖】由數(shù)及形，通過問題串促進(jìn)學(xué)生對[a2]=[a]的正確理解，引入數(shù)學(xué)模型，建構(gòu)概念的核心，鼓勵(lì)學(xué)生尋求條件與結(jié)論之間的過渡性條件并進(jìn)行質(zhì)疑和猜想。

3. 沉淀思維，升華問題

問題7 觀察：①[3-310] = [2710]=3[310]，②[4-417]=[6417]=4[417]，填空：[5-526]= " " " = " " " 。猜想：[n-nn2+1]（n[≥]2 ，n為自然數(shù)）=" " " " " " " "。

拓展3 觀察：①[3-22]=[（2）2+12-2×1×2]=[（2-1）2]=[2]-1，填空：[7-43]= " " " " " " "，[5-26] =" " " 。

變式3 化簡[1+1n2+1（n+1）2]。

變式4 設(shè)[19-83]的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，試求a+b+[1b]的值。

【設(shè)計(jì)意圖】拓展知識(shí)，探求一般規(guī)律，感悟化簡二次根式所涉及的知識(shí)、思路、策略等，幫助學(xué)生把新概念納入已有的概念系統(tǒng)中，突破難點(diǎn)，優(yōu)化思維。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)教學(xué)是高階思維的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)結(jié)論的教學(xué)。問題鏈可以創(chuàng)設(shè)思維活動(dòng)情境，有價(jià)值的問題是生成數(shù)學(xué)思維的源泉。本節(jié)課以問題驅(qū)動(dòng)的方式，圍繞理解二次根式的概念、性質(zhì)，循序漸進(jìn)，以定義為起點(diǎn)，變化二次根式中被開方數(shù)的呈現(xiàn)形式，聯(lián)系完全平方式、絕對值及代數(shù)式的恒等變形，整體建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，追根溯源，讓學(xué)生感悟知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，體會(huì)知識(shí)間的密切聯(lián)系，避免了就題論題、一解到底的機(jī)械講解，強(qiáng)化了學(xué)法引導(dǎo)。對概念的辨析，要強(qiáng)化對概念“內(nèi)涵”與“外延”的理解，不能局限于理解概念的定義，要用聯(lián)系和發(fā)展的眼光設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)的問題。本節(jié)課設(shè)計(jì)的問題圍繞二次根式的定義、性質(zhì)及運(yùn)用，明晰了數(shù)學(xué)概念從哪里來、為什么研究，引導(dǎo)學(xué)生掌握從特殊到一般的研究問題的方法，使學(xué)生對同類問題的認(rèn)識(shí)更加深遠(yuǎn)，真正做到有法可想、有法可用。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）