高中立體幾何二面角的解法探究

解立體幾何問題離不開空間問題平面化，求二面角大小也是如此．把二面角大小轉(zhuǎn)化為線線角大小，這里的線線角可以是二面角的平面角，也可以是兩個(gè)半平面的法線等．

1 求二面角大小的常用方法

方法1 二面角的平面角．過公共棱上的點(diǎn)直接作出二面角的平面角．

方法2 公共棱的垂面產(chǎn)生二面角的平面角．

方法3 利用三垂線定理或三垂線定理的逆定理構(gòu)造二面角的平面角．

三垂線定理 平面內(nèi)的一條直線，如果與穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直．

三垂線定理的逆定理如果平面內(nèi)一條直線與穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影．

利用三垂線定理或其逆定理，作出兩個(gè)半平面的公共棱的垂面AOH，則∠AOH是二面角的平面角，在Rt△AOH中求出∠AOH的大小．

方法4 面積射影法．

設(shè)平面α內(nèi)有一平面圖形的面積為S，它在平面β上的射影的面積為S′，則平面α與平面β所成銳二面角θ的余弦值cosθ=S'/S．

方法5 利用兩個(gè)平面的法向量的夾角來求二面角大?。?/p>

一般通過建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算．

方法6 等體積法．

在平面α內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)A，求出點(diǎn)A到兩個(gè)半平面的公共棱的距離AO，用等體積法求出點(diǎn)A到平面β的距離h，則二面角θ的正弦值sinθ=h/OA．

方法7 三正弦定理．

方法8 三面角的余弦定理．

定理 如圖1，四面體O?ABC的二面角A-OC-B的大小為α，則

在已知一個(gè)四面體中，OA，OB，OC的兩兩夾角的情況下，便能求解二面角A-OC-B、二面角A-OB-C和二面角C-OA-B的大小．

方法九 無棱二面角．題設(shè)背景中沒有直接給出二面角的公共棱，要解決這一問題，可以補(bǔ)全幾何圖形，作出二面角的公共棱，再用上述方法來求解二面角大小，也可以用面積射影法，或者用空間向量法計(jì)算二面角的大?。?/p>

2 思維受阻典例解析

例1 如圖2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AA1⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF⊥平面AB1F；

（2）求銳二面角B1-AE-F的平面角的余弦值．

（3）重視模型教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生重視圖形語言，尤其要重視對(duì)所畫的立體圖形與真實(shí)圖形思維理解上的一致性．

（4）重視培養(yǎng)學(xué)生書寫的規(guī)范性、表述的邏輯性及準(zhǔn)確性，要注意訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性． （5）設(shè)計(jì)以正方體為載體的二面角大小求解問題，靈活選擇二面角的9種求法中的一種解題，熟練掌握此類問題的解決方法，提高解題能力．

（6）重視向量在立體幾何中的應(yīng)用訓(xùn)練，尤其要重視向量模型在立體圖形中的建立，以利用更靈活的思維、更簡捷的方法解決二面角問題．

參考文獻(xiàn)

[1]卓臏葶．高考立體幾何突破口[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)）（上半月），2008，14（8）：38-40

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書[M]．北京：人民教育出版，2019