關(guān)于圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題的探究

［摘 要］ 文章圍繞圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題開(kāi)展解題探究與教學(xué)思考，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；斜率；取值范圍；思想方法

問(wèn)題綜述

圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題較為常見(jiàn)，但問(wèn)題的綜合性極強(qiáng)，涉及函數(shù)、不等式、直線和圓錐曲線等相關(guān)知識(shí). 圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題的解析過(guò)程通常分為三個(gè)階段：

階段一，開(kāi)展圓錐曲線位置關(guān)系、圓錐曲線特征的分析，挖掘信息條件；

階段二，圍繞問(wèn)題進(jìn)行推理轉(zhuǎn)化，結(jié)合已知條件構(gòu)建斜率模型；

階段三，將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或不等式取值問(wèn)題，結(jié)合信息條件完成求解.

斜率取值問(wèn)題的求解一般有兩種思路：一是構(gòu)建函數(shù)，將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與參數(shù)相關(guān)的取值問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)推理求解；二是構(gòu)建不等式，將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與參數(shù)相關(guān)的不等式取值問(wèn)題，結(jié)合圓錐曲線知識(shí)探尋不等關(guān)系求解.

實(shí)例探究

上述針對(duì)圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題進(jìn)行綜述分析，總結(jié)了相應(yīng)的解題策略，形成了兩大求解思路，下面結(jié)合實(shí)例探究不同類型問(wèn)題的解法.

1. 解析角度，破解取值

例1 設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓E：+=1（b>0）的左、右焦點(diǎn)，若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·的最大值為1.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線l：x=ky-1與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的取值范圍.

思路分析 本題為涉及動(dòng)點(diǎn)的圓錐曲線綜合題. 第（2）問(wèn)設(shè)定直線l，求其斜率的取值范圍，核心條件為“∠AOB為銳角”，可以利用向量積與角度的相關(guān)性構(gòu)建不等式求解.

過(guò)程解析 （1）由條件可知a=2，c=，b2<4，所以點(diǎn)F（-，0），F(xiàn)（，0）. 設(shè)點(diǎn)P（x，y），則·=（--x，-y）·（-x，-y）=

1-

x2+2b2-4. 由于x∈［-2，2］，分析可知，當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，·可取最大值1，解得b2=1，所以橢圓E的方程為+y2=1.

（2）設(shè)點(diǎn)A（x，y），B（x，y），聯(lián)立直線l與橢圓E的方程，整理得（k2+4）y2-2ky-3=0，則Δ=（-2k）2+12（4+k2）=16k2+48>0，y+y=，y·y=. 因?yàn)椤螦OB為銳角，所以·=xx+yy=（1+k2）yy-k（y+y）+1=（1+k2）-+1=>0，解得-<k<. 所以k的取值范圍為

-，

.

解后評(píng)析 第（2）問(wèn)結(jié)合角度條件，將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式取值問(wèn)題，再解析不等式獲得答案. 求解的關(guān)鍵是把握銳角條件，結(jié)合向量積知識(shí)構(gòu)建不等式. 解題分兩步進(jìn)行：第一步，把握角度條件，設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步，聯(lián)立直線與曲線的方程，利用向量積知識(shí)構(gòu)建不等式，將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式取值問(wèn)題，再解析不等式獲得答案.

2. 解析斜率，破解取值

例2 已知橢圓+=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長(zhǎng)為c，

FM

=.

（1）求直線FM的斜率；

（2）求橢圓的方程；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP（O為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.

思路分析 本題為以橢圓為背景的綜合題，第（3）問(wèn)探究直線OP的斜率的取值范圍，其核心條件是“直線FP的斜率大于”. 可設(shè)直線OP的斜率，將其轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)，結(jié)合已知條件以及函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)取值.

過(guò)程解析 （1）（簡(jiǎn)答）直線FM的斜率為.

（2）可設(shè)橢圓的方程為+=1，直線FM的方程為y=（x+c），聯(lián)立橢圓與直線的方程，并整理得3x2+2cx-5c2=0，解得x=-c或x=c. 由于點(diǎn)M在第一象限上，推理可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為

c，c

. 所以，F(xiàn)M==，解得c=1，則橢圓的方程為+=1.

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），直線FP的斜率為t，則t=，即y=t（x+1） （x≠-1）. 聯(lián)立直線FP與橢圓的方程，并整理得2x2+3t2（x+1）2=6，結(jié)合已知條件可得t=>，解得-<x<-1或-1<x<0.

設(shè)直線OP的斜率為m，則可將其表示為y=mx（x≠0），與橢圓的方程聯(lián)立，并整理得m2=-，可將其視為關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)分別討論.

①當(dāng)-<x<-1時(shí)，則y=t（x+1）<0，m>0，所以m=，可得m∈

，

.

②當(dāng)-1<x<0時(shí)，則y=t（x+1）>0，m<0，所以m=-，可得m∈

-∞，-

.

解后評(píng)析 第（3）問(wèn)將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)取值問(wèn)題，借用函數(shù)的性質(zhì)獲得答案. 求解的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓的方程，構(gòu)建關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù). 解題分兩步進(jìn)行：第一步，解析直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程；第二步，建立關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)取值.

3. 解析線段，破解取值

例3 如圖3所示，已知A是橢圓E：+=1（t>3）的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.

（1）當(dāng)t=4，

AM

=

AN

時(shí)，求△AMN的面積；

（2）當(dāng)2

AM

=

AN

時(shí)，求k的取值范圍.

思路分析 本題為以橢圓為背景的綜合題，題干設(shè)定直線與橢圓相交. 第（2）問(wèn)是關(guān)于斜率k的取值范圍問(wèn)題，解析重點(diǎn)是線段之間的關(guān)系，即2

AM

=

AN

，求解時(shí)可設(shè)定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合相關(guān)條件構(gòu)建不等式，推導(dǎo)斜率的取值范圍.

過(guò)程解析 （1）（簡(jiǎn)答）構(gòu)建面積模型，△AMN的面積可以表示為S=MN·d，其中d表示點(diǎn)A到直線MN的距離，求得△AMN的面積S=.

（2）由題意知t>3，k>0，A（-，0），聯(lián)立直線AM與橢圓的方程，并整理得（3+tk2）x2+2·tk2x+t2k2-3t=0. 設(shè)M（x，y），則x·（-）=，即x=，推理可得AM=. 根據(jù)題設(shè)可知，直線AN的方程可表示為y=-（x+），同理可得AN=. 已知2

AM

=

AN

，故=，即（k3-2）t=3k（2k-1）. 分析可知，當(dāng)k=時(shí)，上式不成立，因此t=. 由于t>3，可得>3，整理可得<0，即k-2>0，

k3-2<0，或k-2<0，

k3-2>0，解得<k<2. 所以斜率k的取值范圍為（，2）.

解后評(píng)析 第（2）問(wèn)將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式取值問(wèn)題，利用不等式的性質(zhì)獲得答案. 其中的核心條件為線段關(guān)系——2

AM

=

AN

，故解析關(guān)鍵是聯(lián)立方程，構(gòu)建斜率k與參數(shù)t之間的關(guān)系. 求解分兩步進(jìn)行：第一步，聯(lián)立方程構(gòu)建線段關(guān)系式，提取參數(shù)之間的關(guān)系；第二步，圍繞所求問(wèn)題，建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，將斜率取值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式取值問(wèn)題，再利用不等式的性質(zhì)獲得答案.

解后思考

上文提出了圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題的解題思路，并圍繞常見(jiàn)的考查題型開(kāi)展了實(shí)例探究，所總結(jié)的方法策略對(duì)于圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題的破解有一定的幫助. 下面結(jié)合實(shí)踐提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

建議1：典例探究需要注意問(wèn)題特征的解讀

開(kāi)展問(wèn)題特征的解讀有助于提升學(xué)生的解題能力. 在解讀時(shí)，建議分階段循序推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生解讀問(wèn)題的特征，把握問(wèn)題的特點(diǎn)，讓學(xué)生明晰考查的重點(diǎn)，為后續(xù)的解法探究做鋪墊. 解讀時(shí)要注意以下三點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確定位問(wèn)題，歸納問(wèn)題所涉及的知識(shí)重點(diǎn)和知識(shí)考點(diǎn)，如上述問(wèn)題就涉及函數(shù)、不等式、圓錐曲線、幾何等相關(guān)知識(shí)以及模型構(gòu)建方法；二是挖掘特征時(shí)要逐漸深入，包括模型構(gòu)建方法、常見(jiàn)的設(shè)問(wèn)情形等；三是要合理拆解問(wèn)題，注意引導(dǎo)梳理，一般按照基本信息、核心條件、重點(diǎn)問(wèn)題來(lái)分別梳理.

建議2：典例探究需要注意破題策略的總結(jié)

破題策略的總結(jié)是典例探bc94ebbe76f444b4c9d894c453a3478cd819adc0ff74159fc7253af1a5d53794究的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中需要立足問(wèn)題的特征結(jié)構(gòu)開(kāi)展解法思路探究，引導(dǎo)學(xué)生“知其緣由，明晰何故”，深刻理解解題的方法策略. 該環(huán)節(jié)建議結(jié)合以下三點(diǎn)來(lái)開(kāi)展：一是挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)建解題思路. 二是總結(jié)分步方法，形成系統(tǒng)策略. 如上述探究中，針對(duì)斜率取值問(wèn)題，結(jié)合圓錐曲線的知識(shí)特點(diǎn)，構(gòu)建問(wèn)題破解三步策略，將解析過(guò)程分為三個(gè)階段，思路清晰明了. 三是梳理總結(jié)解題過(guò)程所涉及數(shù)學(xué)思想方法，如上述問(wèn)題的求解就用到了數(shù)形結(jié)合、分類討論、模型構(gòu)造、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中要重點(diǎn)講解數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵.

建議3：典例探究需要注意解題過(guò)程中的問(wèn)題引導(dǎo)

解題過(guò)程中的問(wèn)題引導(dǎo)可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是有效提升學(xué)生解題能力的重要途徑. 在解題教學(xué)中，需要精選問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展問(wèn)題探究，讓學(xué)生充分體驗(yàn)解題過(guò)程，積累解題經(jīng)驗(yàn). 解題教學(xué)可分四個(gè)階段：階段一，給定問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生解析問(wèn)題，剖析關(guān)鍵條件；階段二，引導(dǎo)學(xué)生思考解題思路，探索解題方向；階段三，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題過(guò)程；階段四，開(kāi)展解后評(píng)析，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，歸納總結(jié)解法. 整個(gè)解題過(guò)程中教師可采用“設(shè)問(wèn)引導(dǎo)”的方法，利用問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，關(guān)注學(xué)生的思維變化，充分把握學(xué)情，合理靈活調(diào)整教學(xué)方式.

寫在最后

圓錐曲線中的斜率取值問(wèn)題的探究，可按照“特征分析—方法解讀—典例探究—解后反思”的流程來(lái)設(shè)計(jì). 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題特點(diǎn)，思考解題方法，形成解題策略，從而拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).