關(guān)于橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題的探究與思考

［摘 要］ 蝴蝶模型在解析幾何中十分常見(jiàn)，開(kāi)展模型解讀、挖掘模型本質(zhì)、總結(jié)模型問(wèn)題十分必要. 文章以橢圓中的蝴蝶模型為例，開(kāi)展模型深度探究，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 解析幾何；蝴蝶模型；特征；考點(diǎn)；解法

蝴蝶模型解讀

蝴蝶模型是解析幾何的重點(diǎn)模型，從外形來(lái)看，模型形如兩個(gè)三角形對(duì)頂角相接，因形似蝴蝶的翅膀，故稱(chēng)為蝴蝶模型. 蝴蝶模型在解析幾何中十分常見(jiàn)，是幾何與函數(shù)相結(jié)合的典型代表. 探究解析需要把握模型特征，總結(jié)模型結(jié)論. 下面探究橢圓中的蝴蝶模型.

1. 蝴蝶模型

在圖1所示的☉O中，△CFM和△DEM有共頂點(diǎn)M，兩三角形的其他頂點(diǎn)F，C，D，E位于☉O上. 蝴蝶模型中隱含著相應(yīng)定理，即蝴蝶定理：點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)，兩條弦CD和EF過(guò)點(diǎn)M，連接DE，CF，與AB分別相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn).

2. 本質(zhì)探究

高考中直接考查蝴蝶定理的情形并不多見(jiàn)，常將蝴蝶模型與解析幾何相結(jié)合，對(duì)其賦予“數(shù)”與“形”的特征.

蝴蝶模型背景下的橢圓綜合題中，注重考查直線與橢圓的位置關(guān)系. 該類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)上是研究橢圓的內(nèi)接四邊形，即兩對(duì)接三角形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形. 其中形如蝴蝶的四邊形通常由橢圓的兩條相交弦來(lái)構(gòu)建. 在實(shí)際問(wèn)題中，并不會(huì)直接給定弦，而是設(shè)定兩條弦過(guò)定點(diǎn)，或由某固定線的斜率來(lái)確定.

橢圓問(wèn)題常圍繞蝴蝶模型來(lái)構(gòu)建，基于相交弦設(shè)定問(wèn)題，如定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題、斜率問(wèn)題等. 在具體求解時(shí)，注意分析模型特征，充分利用蝴蝶定理來(lái)推導(dǎo)條件，通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析轉(zhuǎn)化.

典例探究

橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題多樣，常見(jiàn)的有定點(diǎn)定值問(wèn)題、斜率問(wèn)題、弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題等. 下面結(jié)合實(shí)例具體探究，總結(jié)方法策略.

1. 蝴蝶模型中的定點(diǎn)問(wèn)題

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：x2+y2=9，Q是圓O上任意一點(diǎn)，Q在x軸上的投影是點(diǎn)Q′，點(diǎn)P滿足=，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若A（-3，0），B（3，0），過(guò)直線x=9上任意一點(diǎn)T（不在x軸上）作兩條直線TA，TB與曲線E分別相交于點(diǎn)C（x，y），D（x，y）（異于點(diǎn)A和B），求證：直線CD過(guò)定點(diǎn).

解析 本題為橢圓綜合題，問(wèn)（2）中的弦AB與CD相交于點(diǎn)K，構(gòu)成了蝴蝶模型，可將其歸為橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題.

（1）該問(wèn)求曲線E的方程，設(shè)點(diǎn)P（x，y），Q（x，y），由=推知x=x，y=y，將其代入方程x+y=9，可得+=1. 所以，曲線E的方程為+=1.

（2）該問(wèn)求證直線CD過(guò)定點(diǎn)，可根據(jù)韋達(dá)定理，采用“整體代換”的方法解析，具體如下：

設(shè)直線CD的方程為x=my+t（t≠0），與橢圓+=1聯(lián)立，并整理得（5m2+9）y2+10mty+5t2-45=0，由韋達(dá)定理得y+y=，yy=，Δ=180（5m2+9-t2）>0.

利用點(diǎn)坐標(biāo)表示蝴蝶模型中兩條弦所在直線的解析式，則AC：y=（x+3），當(dāng)x=9時(shí)，y=；BD：y=（x-3），當(dāng)x=9時(shí)，y=. 所以，=，化簡(jiǎn)得2xy-xy=3y+6y1①. 又xy+xy=2myy+t（y+y）=②. 綜合①和②可得

x

y=

+2

y+

+1

y2，

x

y=

-2

y+

-1

y2.在直線CD的方程y-y=（x-x）中，令y=0，則x==. 分析可知，當(dāng)

-4

+

-2

=0，即t=1時(shí)，直線CD過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

評(píng)析 上述為蝴蝶模型中的定點(diǎn)問(wèn)題，解析時(shí)把握模型特征，采用傳統(tǒng)的待定系數(shù)法來(lái)代換簡(jiǎn)化. 問(wèn)題解析有兩大關(guān)鍵點(diǎn)：一是把握蝴蝶模型中的兩條特殊弦，結(jié)合相關(guān)點(diǎn)分設(shè)直線方程；二是靈活構(gòu)造對(duì)稱(chēng)式方程，形成對(duì)應(yīng)的方程組，巧妙化簡(jiǎn)求解.

2. 蝴蝶模型中的斜率比值問(wèn)題

例2 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，M在橢圓C上，△MFF的周長(zhǎng)為2+4，其面積的最大值為2，試解決下列問(wèn)題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線y=kx（k>0）與橢圓C相交于A和B，連接AF，BF，并延長(zhǎng)交橢圓C于D和E，連接DE，則AB與DE的斜率之比是否為定值？說(shuō)明理由.

解析 本題為橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題，其中△ABF和△DEF共頂點(diǎn)F，由橢圓的兩條相交弦構(gòu)建.

題設(shè)兩問(wèn)，第（1）問(wèn)求橢圓C的方程，轉(zhuǎn)化△MFF的周長(zhǎng)和面積最值條件即可求出橢圓方程的特征參數(shù). 第（2）問(wèn)是關(guān)于蝴蝶模型中兩條關(guān)鍵弦的斜率之比的問(wèn)題，探索其值是否為定值，可采用“設(shè)而不求”“整體代換”的方法構(gòu)建斜率之比.

（1）已知△MFF的周長(zhǎng)為2+4，則

F

F+

MF+

MF=2a+2c=2+4，其最大面積S=·2c·b=bc=2，解得a=，b=1，所以橢圓C的方程為+y2=1.

（2）第一步，設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-x，-y）.

第二步，構(gòu)建方程：推得直線AD的方程為x=y+2，將其代入橢圓C的方程，整理得［（x-2）2+5y］y2+4（x-2）yy-y=0①. 又+y=1，代入方程①，化簡(jiǎn)得（9-4x）y2+4（x-2）yy-y=0.

第三步，斜率推導(dǎo)：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），則yy=，所以y=，x=y+2.直線BE的方程可以表示為x=y+2，同理可得y=，x=y+2. 所以，直線DE的斜率為k===9·=9k，即k∶k=9∶1.

評(píng)析 上述蝴蝶模型中的斜率比值問(wèn)題，屬于解析幾何中的斜率問(wèn)題，探究解析時(shí)關(guān)注模型特點(diǎn)，采用“設(shè)而不求”“整體代入”的方法簡(jiǎn)化斜率比值. 問(wèn)題突破有兩大關(guān)鍵點(diǎn)：一是把握蝴蝶模型的相交弦的位置關(guān)系，推導(dǎo)所在直線的方程；二是充分利用類(lèi)比推導(dǎo)簡(jiǎn)化的方法，整體代入化簡(jiǎn)直線斜率比值.

實(shí)際上，可推廣上述橢圓蝴蝶模型中的直線斜率比值結(jié)論，在求解相應(yīng)問(wèn)題時(shí)直接使用. 具體如下：

如圖4所示，在橢圓C：+=1（a>b>0）中，其左、右頂點(diǎn)為A，B，橢圓C的弦PQ過(guò)定點(diǎn)M（t，0），則k·k=

3. 蝴蝶模型中的弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題

例3 如圖5所示，已知橢圓E：+=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P

，

在橢圓E上.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A和B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)C和D，求證：MA·MB=MC·MD.

解析 本題同樣為橢圓中的蝴蝶模型問(wèn)題，橢圓的兩條弦CD和AB構(gòu)成蝴蝶模型. 本題第（2）問(wèn)為核心之問(wèn)，求證弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，涉及四條弦，探究解析可采用“聯(lián)立方程”“整體代換”的策略，即設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，推導(dǎo)線段的長(zhǎng)，再整理化簡(jiǎn).

（1）把握幾何特征，可得a=2b，再結(jié)合P

，

在橢圓E上，可得橢圓E的方程為+y2=1.

（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m （m≠0），點(diǎn)A（x，y），B（x，y），聯(lián)立直線與橢圓的方程，有

y=x+m，

+y2=1，整理得x2+2mx+2m2-2=0. 結(jié)合韋達(dá)定理得x+x=-2m，xx=2m2-2，且Δ=4（2-m2）>0，可知參數(shù)m的取值范圍為（-，）. 由點(diǎn)M的坐標(biāo)

-m，

推得直線OM的方程為y=-x，與橢圓的方程聯(lián)立，有

y=-x，

x2+4y2-4=0，可得點(diǎn)C

-，

，D

，-

. 結(jié)合點(diǎn)的距離公式得MC·MD=（-m+）·（m+）=（2-m2），MA·MB=AB2=（x+x）2-xx=（2-m2），所以MA·MB=MC·MD，得證.

評(píng)析 上述蝴蝶模型中的弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題，證明弦長(zhǎng)乘積相等. 解析采用的是“聯(lián)立方程”“整體代換”的策略，即設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，借助韋達(dá)定理推導(dǎo)參數(shù)條件，將弦長(zhǎng)乘積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題. 問(wèn)題解析有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是挖掘其中的隱含模型，即蝴蝶模型，把握模型中的兩條弦的特點(diǎn)；二是聯(lián)立方程，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

教學(xué)思考

上述深入探究了橢圓中的蝴蝶模型，剖析模型特征，結(jié)合實(shí)例探究常見(jiàn)問(wèn)題，并探索解題過(guò)程，總結(jié)破題關(guān)鍵點(diǎn). 下面對(duì)教學(xué)探究提出幾點(diǎn)建議.

1. 解析模型特征，挖掘模型本質(zhì)

蝴蝶模型是高中幾何中常見(jiàn)的模型，教學(xué)探究要注意模型特征的解析，挖掘模型本質(zhì)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、掌握模型. 上述模型探究按照“特征解析-本質(zhì)挖掘-考點(diǎn)探究”來(lái)開(kāi)展，探究過(guò)程具有連貫性、系統(tǒng)性，循序漸進(jìn)、逐步深入. 教學(xué)時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是模型解析中的數(shù)形結(jié)合，即探究時(shí)結(jié)合直觀的模型圖象，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其幾何特征；二是挖掘本質(zhì)立足知識(shí)考點(diǎn)，即引導(dǎo)學(xué)生挖掘、理解模型的本質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)的知識(shí)考點(diǎn).

2. 關(guān)注模型考點(diǎn)，總結(jié)解題方法

教學(xué)時(shí)教師要深入剖析模型的知識(shí)重點(diǎn)，圍繞模型開(kāi)展考點(diǎn)探究，精選問(wèn)題，總結(jié)解題方法. 上述蝴蝶模型的探究，圍繞三大典例問(wèn)題開(kāi)展，分析了定點(diǎn)問(wèn)題、斜率比值問(wèn)題、弦長(zhǎng)關(guān)系問(wèn)題的破解思路，總結(jié)了相應(yīng)的解題方法. 教學(xué)引導(dǎo)時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是解題過(guò)程中的思維引導(dǎo)，即引導(dǎo)學(xué)生思考，鍛煉學(xué)生思維能力；二是解法的歸納總結(jié)，即開(kāi)展解后反思，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)問(wèn)題，掌握解題策略.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)

模型問(wèn)題的探究教學(xué)要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，以提升學(xué)生的綜合素養(yǎng). 以上述蝴蝶模型的探究為例，其涉及了數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)建、方程思想等，教學(xué)可分三個(gè)階段進(jìn)行：第一，講解數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生初步理解數(shù)學(xué)思想方法；第二，結(jié)合模型解析滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的作用；第三，升華數(shù)學(xué)思想方法，促使學(xué)生獨(dú)立使用數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建解題思路，提升學(xué)生的思維能力.