光學(xué)性質(zhì)剖析，實(shí)例探究思考

［摘 要］ 眾多圓錐曲線含有光學(xué)性質(zhì)，探究特性、總結(jié)規(guī)律、生成結(jié)論，有助于分析推理圓錐曲線問題. 文章以拋物線為例，探究總結(jié)其光學(xué)性質(zhì)并證明歸納，結(jié)合實(shí)例應(yīng)用探究，提出教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；光學(xué)性質(zhì)；拋物線；平行；等角

眾多圓錐曲線含有光學(xué)性質(zhì)，常見的有拋物線、雙曲線、橢圓和圓，其光學(xué)性質(zhì)可廣泛應(yīng)用于問題條件的推導(dǎo)，可降低思維難度. 下面以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為例，分三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行探究：環(huán)節(jié)1，引例探究，挖掘特性；環(huán)節(jié)2，特性探究，證明分析；環(huán)節(jié)3，應(yīng)用探究，實(shí)例剖析.

引例探究

以拋物線為例，其具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸. 該特性在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用非常廣泛.

問題 如圖1所示，從拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線a，b與x軸的夾角均為60°，且兩條反射光線a′和b′之間的距離為，則p的值為______.

解析 拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F

，0

. 由于∠OFA=60°，所以直線AF的方程為y-0=-

x-

，即y=-

x-

. 聯(lián)立直線AF與拋物線的方程，有

y=-

x-

，

y2=2px，整理得3

x-

=2px，解得x=或x=，可得A

，

.

同理直線BF的方程為y-0=·

x-

，即y=

x-

. 聯(lián)立直線BF與拋物線的方程，有

y=

x-

，

y2=2px，可得B

，p

.

所以

y

-y=p=，解得p=2.

評(píng)析 上述問題的圖象涉及拋物線的光學(xué)性質(zhì)，解析時(shí)可采用聯(lián)立方程求點(diǎn)的方法，確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而推導(dǎo)出特征參數(shù)p的值.

光學(xué)性質(zhì)探究

上述引例圍繞拋物線的光學(xué)性質(zhì)構(gòu)建，下面具體探究其光學(xué)性質(zhì)，并從幾何、代數(shù)兩大視角出發(fā)加以證明.

1. 光學(xué)性質(zhì)的描述

光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的對(duì)稱軸平行，如圖2所示. 反之，平行于拋物線的對(duì)稱軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過拋物線的焦點(diǎn).

2. 光學(xué)性質(zhì)的證明

（1）幾何證明（以y軸為對(duì)稱軸的拋物線為例）

根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，其中涉及光線的反射知識(shí)，顯然入射角等于反射角，存在幾何等角關(guān)系.

已知：如圖3所示，拋物線C：x2=2py（p>0），焦點(diǎn)F

0，

，j是過拋物線上一點(diǎn)D（x，y）的切線，A，B是直線j上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)D），直線DC平行于y軸. 求證：∠FDA=∠CDB（入射角等于反射角）.

[x][y][m][D′][F] [D][C][B][A][圖3][j][O]

證明 作拋物線的準(zhǔn)線m：y=-，延長(zhǎng)CD交m于點(diǎn)D′

x，-

，則DF=DD′. 由于C：x2=2py（p>0），可得C：y=. 下面討論x取值下的情況：

①當(dāng)x≠0時(shí)，直線j的斜率k=，直線FD′的斜率k==-，兩條直線的斜率之積為-1，所以直線j垂直平分線段FD′，則∠FDA=∠D′DA=∠CDB.

②當(dāng)x=0時(shí)，點(diǎn)D（0，0），此時(shí)直線j為x軸，結(jié)論顯然成立.

綜上所述，結(jié)論成立.

（2）代數(shù)證明（以x軸為對(duì)稱軸的拋物線為例）

根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后的光線平行于x軸，即斜率為0.

已知：如圖4所示，拋物線C：y2=2px（p>0），F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到拋物線上的點(diǎn)M處. 求證：經(jīng)反射后的光線平行于x軸.

證明 設(shè)M

，y

，過點(diǎn)M的拋物線的切線為l：x=t（y-y）+，入射光線FM的反射光線為MN. 由y2=2px，

x=t（

y-y）+

得y2-2pty+2pty-y=0，故Δ=4p2t2-8pty+4y=0，得t=，所以切線l的斜率k=.

設(shè)直線l與直線FM的夾角為α，直線MN與直線l的夾角為β，則由tanα=tanβ可得=，所以=，解得k=0，即經(jīng)反射后的光線平行于x軸.

綜合應(yīng)用

拋物線的光學(xué)性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的特殊內(nèi)容，在實(shí)際考查時(shí)有多種形式，常從知識(shí)綜合角度命題，下面結(jié)合實(shí)例探究其綜合應(yīng)用.

1. 給定平行距離，探求方程

例1 光學(xué)是當(dāng)今科技的前沿和最活躍的領(lǐng)域之一，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出. 今有拋物線C：x2=2py（p>0），一平行于y軸的光線從上方射向拋物線上的點(diǎn)P處，經(jīng)拋物線兩次反射后，又沿平行于y軸方向射出. 已知兩平行光線間的最小距離為8.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線l：y=x+m與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作△ABN，使△ABN的外接圓圓心T的坐標(biāo)為

3，

，求弦AB的長(zhǎng).

思路分析 本題以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景，構(gòu)建直線、三角形，開展綜合探究. 可通過把握其光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)建思路.

（1）由題意設(shè)直線PQ的方程為y=kx+（k∈R），然后聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程并整理為二次方程，后續(xù)運(yùn)用韋達(dá)定理得x+x=2pk，xx= -p2. 又兩平行光線間的距離d=

x

-x=≥2p，所以2p=8，進(jìn)而求得拋物線C的方程.

（2）設(shè)A（x，y），B（x，y），A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M（x，y），聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程，把握其中的垂直關(guān)系（MT⊥AB），將其轉(zhuǎn)化為斜率之積等于-1的條件，從而構(gòu)建方程，利用弦長(zhǎng)公式求得結(jié)果.

過程解析 （1）設(shè)P（x，y），Q（x，y），拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F

0，

. 設(shè)直線PQ的方程為y=kx+（k∈R），聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程，有x2=2py，

y=kx+，整理得x2-2pkx-p2=0. 由韋達(dá)定理得x+x=2pk，xx=-p2，則兩平行光線間的距離d=

x

-x=≥2p，所以2p=8，得拋物線C的方程為x2=8y.

（2）設(shè)A（x，y），B（x，y），A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M（x，y）. 聯(lián)立AB與拋物線C的方程，有x2=8y，

y=x+m，整理得x2-8x-8m=0，則其判別式Δ>0?m>-2. 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x==4，y=4+m. 因?yàn)镸T⊥AB，故k·k=-1，即·1=-1，解得m=. 所以，x2-8x-9=0?x=-1，x=9.由弦長(zhǎng)公式可得AB=

x

-x=10.

評(píng)析 上述問題以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景，給定入射光線與出射光線之間的距離，求解拋物線的方程. 問題涉及聯(lián)立方程法、直線與拋物線的位置關(guān)系，以及韋達(dá)定理等知識(shí).

2. 綜合光學(xué)性質(zhì)，探求弦長(zhǎng)

例2 圓錐曲線有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)均與它們的焦點(diǎn)有關(guān). 例如，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到橢圓上，經(jīng)反射后的光線通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸. 某市進(jìn)行科技展覽，其中一個(gè)展品就利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，此展品的一個(gè)截面由一條拋物線C和一個(gè)“開了小孔”的橢圓C構(gòu)成（小孔在橢圓的左上方）. 如圖6所示，橢圓與拋物線均關(guān)于x軸對(duì)稱，且拋物線和橢圓的左端點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)為橢圓C的焦點(diǎn)，同時(shí)F也為拋物線C的焦點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，在F處放置一個(gè)光源，其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到F，經(jīng)過的路程為8. 由F發(fā)出的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射后不會(huì)被橢圓擋住.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若由F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓C上的點(diǎn)P反射后穿過小孔，再經(jīng)拋物線C上的點(diǎn)Q反射后剛好與橢圓相切，求此時(shí)的線段QF的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，求線段PQ的長(zhǎng).

思路分析 本題同樣以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景構(gòu)建模型，融合了拋物線、橢圓、直線等圖形. 本題共三問，分別設(shè)有條件，各問既相互獨(dú)立，又存在一定的聯(lián)系.

（1）該問求拋物線C的方程，需求出其焦點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）該問設(shè)定光線在拋物線與橢圓中的反射形式，探究線段QF的長(zhǎng)，可結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)推導(dǎo)條件. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，先代入拋物線C的方程求出其坐標(biāo)，然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解.

（3）該問是在第（2）問條件下的進(jìn)一步分析，求線段PQ的長(zhǎng)可分三步：第一，先求出直線QF的斜率，進(jìn)而求出tan∠QFF=-4；第二，結(jié)合∠QFF+∠PFF=π推得tan∠PFF=4，再求出cos∠PFF=；第三，結(jié)合余弦定理求出線段PQ的長(zhǎng).

過程解析 （1）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，由題意可知2b=2，4a=8，得b=，a=2，則c==1. 所以，拋物線C的焦點(diǎn)為F（1，0），可得拋物線C的方程為y2=4x.

（2）因?yàn)楣饩€經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，光線經(jīng)拋物線反射后平行于x軸，所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，故設(shè)Q（x，），代入拋物線C的方程得x=，即Q

，

. 又F（1，0），所以

QF==.

（3）由第（2）問可知，QF所在直線的斜率為k=-4，即tan∠QFF= -4.結(jié)合∠QFF+∠PFF=π得tan∠PFF=4，∠PFF∈（0，π），所以cos∠PFF=.

設(shè)

PF=x，則

PF=4-x，已知

F

F=2. 在△PFF中，由余弦定理可得

PF2=

PF2+

F

F2-2

PF·

F

F·cos∠PFF. 所以，（4-x）2=x2+4-2x·2·，求得x=. 所以，線段PQ的長(zhǎng)為+=.

評(píng)析 上述問題涉及拋物線的“光線平行”的性質(zhì)，以及橢圓的“光線過焦點(diǎn)”的性質(zhì). 需要利用性質(zhì)推理幾何條件，簡(jiǎn)化解題過程. 對(duì)于其中求弦長(zhǎng)或線段長(zhǎng)的問題，可結(jié)合弦長(zhǎng)公式、解三角形等通過轉(zhuǎn)化求解.

教學(xué)思考

上述探究的是拋物線的光學(xué)性質(zhì)在相應(yīng)問題中的綜合應(yīng)用，是對(duì)新課標(biāo)中關(guān)于“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”要求的貫徹. 在教學(xué)探究中，要立足模型，總結(jié)結(jié)論，結(jié)合實(shí)例應(yīng)用分析. 下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

建議1 注重模型解讀，強(qiáng)調(diào)推理證明.

教學(xué)中探究拋物線的光學(xué)性質(zhì)，建議關(guān)注兩點(diǎn)：一是注重模型解讀，即結(jié)合具體的模型來闡述光學(xué)性質(zhì)，讓學(xué)生充分理解特性內(nèi)容；二是強(qiáng)調(diào)推理證明，對(duì)于拋物線的光學(xué)性質(zhì)，要從幾何與代數(shù)兩大視角開展過程分析、推理證明，讓學(xué)生深刻理解其定理結(jié)論.

建議2 注重性質(zhì)應(yīng)用，強(qiáng)化思路構(gòu)建.

利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，可直接推理入射光線與出射光線的平行關(guān)系，從而確定直線斜率與角度之間的關(guān)系. 解題時(shí)合理利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)可直接推理?xiàng)l件，簡(jiǎn)化解析過程. 因此，建議教學(xué)中注意拋物線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用講解，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)構(gòu)建思路，掌握和運(yùn)用解題策略.

建議3 實(shí)例分析探討，適度拓展特性.

在拋物線的光學(xué)性質(zhì)的教學(xué)探究中，要注意結(jié)合實(shí)例分析探討，并適度拓展特性，從而提升學(xué)生的解題能力. 教學(xué)可分三個(gè)階段：階段1，引例剖析，設(shè)計(jì)常規(guī)問題，讓學(xué)生初步感知光學(xué)性質(zhì)；階段2，綜合探究，設(shè)計(jì)綜合性問題，讓學(xué)生強(qiáng)化應(yīng)用光學(xué)性質(zhì)；階段3，拓展探究，設(shè)計(jì)拓展性問題（由于眾多圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，因此可構(gòu)建復(fù)合模型引導(dǎo)學(xué)生拓展探究）.