尋找共同邏輯基礎(chǔ)構(gòu)建相同學(xué)習(xí)路徑

王占軍 田曉梅

摘? 要：等式與不等式是刻畫相等關(guān)系與不等關(guān)系的重要模型. 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)是數(shù)量大小關(guān)系的本質(zhì)屬性，具有邏輯上的一致性與表達(dá)上的相似性，剖析等式性質(zhì)中蘊(yùn)含的思想方法，以不等關(guān)系自身的特性和運(yùn)算過程保持的不變性為指導(dǎo)，構(gòu)建連貫一致的學(xué)習(xí)路徑探究不等式的性質(zhì)，是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的必然選擇.

關(guān)鍵詞：等式性質(zhì)；不等式性質(zhì)；邏輯基礎(chǔ)；學(xué)習(xí)路徑

中圖分類號(hào)：G633.62? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）03-0019-05

引用格式：王占軍，田曉梅. 尋找共同邏輯基礎(chǔ)? 構(gòu)建相同學(xué)習(xí)路徑：以“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：19-22，45.

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).”數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 以上論述高度概括了數(shù)學(xué)學(xué)科研究的對(duì)象、方法與價(jià)值，指明了抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)的基本思想，具有一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛性，從而使得數(shù)學(xué)研究對(duì)象具有相同的研究路徑和研究方法. 深入理解數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)，探尋數(shù)學(xué)知識(shí)共同的邏輯基礎(chǔ)，構(gòu)建連貫一致的學(xué)習(xí)路徑，是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下課堂教學(xué)應(yīng)有的價(jià)值追求. 下面以“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”為例，闡述“尋找共同邏輯基礎(chǔ)，構(gòu)建相同學(xué)習(xí)路徑”的具體思考、設(shè)計(jì)與實(shí)踐.

二、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)分析

等式與不等式是刻畫客觀世界數(shù)量關(guān)系的重要模型. 數(shù)是對(duì)數(shù)量關(guān)系的符號(hào)表達(dá)，如果把所有數(shù)看成一個(gè)集合，那么這個(gè)集合中的元素具有以下基本的共性特征.

首先，數(shù)集中的元素一定滿足某種“序”的關(guān)系，從而能夠清晰地表示數(shù)量的大小. 這種“序”的關(guān)系包含兩層含義，一方面，集合中的元素是唯一確定的，如果出現(xiàn)a等于b，那么b也一定等于a，即每個(gè)元素都要與自身相等；另一方面，集合中的元素要與其他元素具有大小的傳遞關(guān)系，這種傳遞既包括相等關(guān)系的傳遞（如果a = b，b = c，那么a = c），也包括不等關(guān)系的傳遞（如果a > b，b > c，那么a > c）. 由此可見，無論是等式的對(duì)稱性與傳遞性，還是不等式的自反性與傳遞性，都是相等關(guān)系與不等關(guān)系自身的特性，是數(shù)集中元素自身屬性的代數(shù)表達(dá).

其次，對(duì)數(shù)集中的元素進(jìn)行運(yùn)算構(gòu)成新的數(shù)集，新集合中的元素依然保持“序”的屬性，這是由運(yùn)算的本質(zhì)特征決定的. 文獻(xiàn)［2］中指出，數(shù)量的本質(zhì)是多與少，而多與少的最簡(jiǎn)單形式是多一個(gè)或者少一個(gè). 因此，加法的核心是“+1”. 基于“+1”的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)[a，b∈N]規(guī)定運(yùn)算[a+b]表示a的后面增加b個(gè)序數(shù)，如果稱這個(gè)數(shù)為c，則稱c為a與b的和. 這一論述以集合為思想工具，闡明了加法運(yùn)算的實(shí)質(zhì). 那么，對(duì)于數(shù)集中任意兩個(gè)元素[a，b]，同時(shí)加上一個(gè)相同的元素，元素“序”的位置和狀態(tài)均保持不變，這是等式與不等式在加法運(yùn)算中保持不變性的根本原因. 而四則運(yùn)算的基礎(chǔ)是加法運(yùn)算，其他運(yùn)算都是基于加法的. 在相等關(guān)系與不等關(guān)系下，對(duì)數(shù)集中的元素進(jìn)行運(yùn)算，有可能改變?cè)亍靶颉钡奈恢?，如“?dāng)[a>b]，[c<0]時(shí)，[ac

綜上所述，等式與不等式是對(duì)數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)刻畫，它們不僅有著相同的邏輯基礎(chǔ)，而且有著相似的邏輯結(jié)構(gòu). 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)都是數(shù)集中元素“序”關(guān)系屬性的代數(shù)表達(dá)，具有邏輯上的一致性和表達(dá)上的相似性.

三、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑探析

等式是學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，分析等式的研究過程可以發(fā)現(xiàn)，無論是對(duì)數(shù)的研究還是對(duì)式的研究，都遵循“背景—性質(zhì)—證明—應(yīng)用”的基本路徑展開. 對(duì)不等式性質(zhì)的研究同樣遵循這樣的路徑. 這是知識(shí)學(xué)習(xí)的明線，也是組織教學(xué)的主線. 在這一教學(xué)路徑中，性質(zhì)是研究的重點(diǎn). 對(duì)此需要進(jìn)一步梳理等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的相似性，探尋不等式性質(zhì)的研究方法與路徑.

如圖1，在等式的基本性質(zhì)中，相等性是元素與自身相等關(guān)系的代數(shù)表達(dá)，傳遞性是兩個(gè)元素大小“序”關(guān)系的代數(shù)表達(dá)，這是基于元素自身特性的視角對(duì)等式基本性質(zhì)的初步認(rèn)知. 在相等條件下，對(duì)等式兩邊進(jìn)行四則運(yùn)算，等式依然成立，這是基于等式在運(yùn)算中保持不變性的視角對(duì)等式基本性質(zhì)的進(jìn)一步理解.

不等式是等式的一般化. 如圖2，在不等式的基本性質(zhì)中，自反性和傳遞性分別是對(duì)兩個(gè)元素、三個(gè)元素大小“序”關(guān)系的代數(shù)刻畫. 在不等關(guān)系條件下，對(duì)集合中任意兩個(gè)元素進(jìn)行加法運(yùn)算，元素“序”的關(guān)系保持不變（保序性）；進(jìn)行乘法運(yùn)算，雖然集合中元素“序”的位置發(fā)生了變化，但是集合元素依然滿足“序”的狀態(tài)，這是對(duì)不等式在加法、乘法運(yùn)算中保持不變性的本質(zhì)刻畫. 通過對(duì)上述基本性質(zhì)進(jìn)一步推理（一般化或特殊化），可以獲得其他不等式的常用性質(zhì).

由此可見，不等關(guān)系自身的特性與運(yùn)算中保持不變性是發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)的思想隱線. 以兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)為邏輯起點(diǎn)，以“背景—性質(zhì)—證明—應(yīng)用”為學(xué)習(xí)明線，以不等關(guān)系自身特征與運(yùn)算中的不變性為思想隱線，通過類比等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑構(gòu)建不等式的學(xué)習(xí)路徑，是探究不等式基本性質(zhì)的必由之路.

四、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 梳理等式性質(zhì)，孕育新知

問題1：回憶初中所學(xué)知識(shí)，你能想起等式的哪些性質(zhì)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回答問題，其他學(xué)生補(bǔ)充. 如果有遺漏，教師進(jìn)一步補(bǔ)充，并板書等式的5個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1：如果[a=b]，那么[b=a].

性質(zhì)2：如果[a=b]，[b=c]，那么[a=c].

性質(zhì)3：如果[a=b]，那么[a+c=b+c].

性質(zhì)4：如果[a=b]，那么[ac=bc].

性質(zhì)5：如果[a=b]，[c≠0]，那么[ac=bc].

問題2：如果讓你給這5個(gè)性質(zhì)分類，你會(huì)怎樣分呢？為什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試分類并說明理由，教師點(diǎn)撥. 性質(zhì)1和性質(zhì)2是從相等關(guān)系自身特性的角度提出的，性質(zhì)3、性質(zhì)4和性質(zhì)5是從等式在運(yùn)算中保持不變性的角度提出的. 為探索不等式的性質(zhì)提供了類比的方法和路徑.

以此為探索不等式的性質(zhì)提供了類比的方法和路徑.

2. 類比等式性質(zhì)，獲得新知

環(huán)節(jié)1：探究不等式性質(zhì)1 ～ 性質(zhì)4.

問題3：類比等式基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，你能猜想不等式的基本性質(zhì)并加以證明嗎？

追問1：類比等式的性質(zhì)1和性質(zhì)2，猜想不等式會(huì)有怎樣的性質(zhì)？如何證明呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生先在小組內(nèi)進(jìn)行討論，然后集中交流，教師鼓勵(lì)學(xué)生敢于表達(dá)自己的想法，在傾聽過程中整理板書. 學(xué)生通過交流、討論獲得以下猜想.

猜想1：如果a > b，那么b < a.

猜想2：如果a > b，b > c，那么a > c.

追問2：如何證明猜想1呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試證明，展示證明過程，教師引導(dǎo)學(xué)生交流并板書.

性質(zhì)1：如果a > b，那么b < a，如果b < a，那么a > b.

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比等式的基本性質(zhì)獲得不等式的性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷“類比—猜想—證明”的學(xué)習(xí)過程. 猜想1的提出和證明很關(guān)鍵，起著示范引領(lǐng)的重要作用. 在證明猜想1的過程中，要避免學(xué)生出現(xiàn)循環(huán)證明，如[a-b>0?-a+b<0]，其依據(jù)是“正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)”，而不是“不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變”.

追問3：類比猜想1的證明過程，你能證明猜想2嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試證明，教師巡視點(diǎn)撥，然后討論、交流，獲得不等式基本性質(zhì)2，教師板書.

性質(zhì)2：如果a > b，b > c，那么a > c.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生類比等式的基本性質(zhì)研究不等式的性質(zhì)，不僅類比性質(zhì)的表達(dá)形式，而且類比性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程和證明過程，不斷積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)與方法.

問題4：我們通過類比相等關(guān)系自身的特性得到了不等式的性質(zhì)1和性質(zhì)2，類比等式運(yùn)算中的不變性，你能獲得哪些不等式的性質(zhì)呢？你能證明它們嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，教師指明小組代表發(fā)言. 從學(xué)生已有的認(rèn)知來看，學(xué)生比較容易依據(jù)加、減、乘、除四種運(yùn)算的順序，獲得以下猜想.

猜想3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

猜想4：如果[a>b]，那么[a-c>b-c].

猜想5：如果[a>b]，那么[ac>bc].

猜想6：如果[a>b]，那么[ac>bc].

追問1：從運(yùn)算的角度出發(fā)，猜想3和猜想4可以進(jìn)一步統(tǒng)一嗎？

追問2：你能從不同角度證明或解釋猜想嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生理解猜想4和猜想3本質(zhì)上是一致的，可以將猜想4并入猜想3，學(xué)生嘗試證明.

方法1：作差法.

因?yàn)閇a+c-b+c=a+c-b-c=a-b]，[a>b]，

所以[a-b>0]，即[a+c>b+c].

方法2：圖形法.

如圖3，點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的a，b，由數(shù)軸上的點(diǎn)的幾何意義知[a>b]，當(dāng)點(diǎn)A，B同時(shí)向右（或左）移動(dòng)相同個(gè)單位長(zhǎng)度c時(shí)，點(diǎn)A，B的位置關(guān)系不變，即恒有

師生活動(dòng)：教師鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的方法思考問題，獲得結(jié)論，教師板書.

性質(zhì)3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

問題5：從運(yùn)算的角度出發(fā)，猜想5和猜想6可以進(jìn)一步統(tǒng)一嗎？

師生活動(dòng)：借助性質(zhì)3的學(xué)習(xí)過程，引導(dǎo)學(xué)生理解猜想5和猜想6本質(zhì)上也是一致的.

追問1：猜想一定正確嗎？你是怎樣驗(yàn)證的？需要滿足怎樣的條件才能保證猜想是正確的？

師生活動(dòng)：學(xué)生交流，感悟“證明一個(gè)錯(cuò)誤的猜想，只需要舉出反例；證明一個(gè)正確的猜想，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明”. 在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，獲得不等式的基本性質(zhì).

性質(zhì)4：如果[a>b，c>0，] 那么[ac>bc;] 如果[a>b，] [c<0，] 那么[ac

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生已有猜想的基礎(chǔ)上，驗(yàn)證猜想的正確性，經(jīng)歷證明錯(cuò)誤命題與正確命題的學(xué)習(xí)過程，積累解決不等式乘法運(yùn)算的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)定理的研究奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：探究不等式性質(zhì)5 ～ 性質(zhì)7.

問題6：性質(zhì)3和性質(zhì)4都是通過在不等式“[a>b]”兩邊對(duì)同一個(gè)數(shù)（或式）進(jìn)行運(yùn)算發(fā)現(xiàn)的. 如果在不等式兩邊對(duì)不同的數(shù)（或式）進(jìn)行運(yùn)算（假設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為c，d），又能獲得怎樣的猜想呢？

追問1：當(dāng)“[a>b，c>d]”時(shí)，你能提出哪些猜想？試加以證明.

師生活動(dòng)：學(xué)生有可能會(huì)想到減法和除法，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，避免復(fù)雜的分類. 在師生討論交流后，教師板書以下猜想.

猜想7：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

猜想8：如果[a>b]，[c>d]，那么[ac>bd].

追問2：你能夠運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)證明猜想7嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生證明，教師巡視，隨后集體訂正，獲得性質(zhì)，教師板書.

性質(zhì)5：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

【設(shè)計(jì)意圖】分析前面性質(zhì)的共同特征，由“在不等式兩邊對(duì)不同的數(shù)（或式）進(jìn)行運(yùn)算”為思考問題的方向，引導(dǎo)學(xué)生探究不等式的常用性質(zhì).

追問3：猜想8一定正確嗎？回顧不等式的性質(zhì)4的發(fā)現(xiàn)過程，你積累了怎樣的經(jīng)驗(yàn)？由此對(duì)猜想應(yīng)該做怎樣的修改？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生交流討論，獲得性質(zhì)，進(jìn)行板書.

性質(zhì)6：如果[a>b>0]，[c>d>0]，那么[ac>bd].

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化學(xué)生“在處理不等式乘法運(yùn)算時(shí)，首先要確定數(shù)（式）的正負(fù)”的思維習(xí)慣，進(jìn)一步探究不等式的常用性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想—驗(yàn)證猜想—修正猜想—證明猜想”的完整的命題學(xué)習(xí)過程.

問題7：有了不等式乘法運(yùn)算的性質(zhì)，就可以研究乘方及開方的運(yùn)算了，結(jié)合不等式的性質(zhì)6，你能獲得不等式在其他運(yùn)算中保持不變的性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：教師啟發(fā)學(xué)生思考，研究不等式乘法類的運(yùn)算，需要考慮符號(hào)問題，故進(jìn)一步明確條件“[a>b>0]”，然后引導(dǎo)學(xué)生獲得以下猜想.

猜想9：如果[a>b>0]，那么[an>bn n∈N，n≥2].

學(xué)生自主證明后，教師板書.

性質(zhì)7：如果[a>b>0]，那么[an>bn n∈N，n≥2].

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)不等式兩邊分別進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，獲得了不等式的基本性質(zhì). 教師啟發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)行乘方和開方運(yùn)算會(huì)獲得怎樣的性質(zhì)呢？這是一個(gè)自然的思考問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與思維方法的一致性.

3. 例題分析演練，應(yīng)用新知

例? 已知[a>b>0]，[c<0，] 求證[ca>cb].

師生活動(dòng)：教師先與學(xué)生交流證明思路，要證明[ca>cb]，因?yàn)閇c<0]，所以可以先證明[1a<1b]，簡(jiǎn)化問題，然后由學(xué)生嘗試證明，集體修正.

【設(shè)計(jì)意圖】教師先給出分析思路，明確證明方向，再讓學(xué)生嘗試證明，滲透“分析法探路，綜合法表達(dá)”的代數(shù)證明方法.

4. 反思學(xué)習(xí)過程，內(nèi)化新知

問題8：回顧不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程，就以下兩個(gè)問題談一談你的認(rèn)識(shí)與想法.

（1）等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)之間有著怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？

（2）你是如何從等式性質(zhì)中歸納方法，發(fā)現(xiàn)不等式的性質(zhì)的？

【設(shè)計(jì)意圖】問題8（1）引導(dǎo)學(xué)生通過分析等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的異同，厘清等式與不等式性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，深化學(xué)生對(duì)代數(shù)性質(zhì)本質(zhì)的理解；問題8（2）引導(dǎo)學(xué)生回顧不等式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明過程，幫助學(xué)生掌握兩者蘊(yùn)涵的思想方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

5. 布置課外作業(yè)，鞏固新知

五、結(jié)束語

等式與不等式具有相同的背景起源與邏輯基礎(chǔ)，等式與不等式性質(zhì)中蘊(yùn)含著豐富的育人價(jià)值. 在實(shí)際教學(xué)中，教師需要整體認(rèn)識(shí)與把握性質(zhì)的內(nèi)涵，不僅關(guān)注性質(zhì)是什么、如何用，更要關(guān)注性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)、證明、想到的等問題. 通過梳理等式基本性質(zhì)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，為探究不等式的基本性質(zhì)提供類比對(duì)象與思想方法，促使學(xué)生不僅理解不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，還要經(jīng)歷“提出猜想—驗(yàn)證猜想—修正猜想—證明猜想”的性質(zhì)研究過程，感悟運(yùn)算過程中的不變性，學(xué)會(huì)一般化、特殊化的數(shù)學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)有邏輯地思考、有條理地表達(dá)，不斷提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，夯實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論：數(shù)學(xué)中的演繹推理（第3輯）［M］. 長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2015.