邊坡隨機有限元分析方法綜述

李智 肖克鋒 賈政鵬 楚澤元

摘要：在傳統(tǒng)邊坡穩(wěn)定性分析中，通常將土體視為均質(zhì)的，然而忽略土體空間變異性可能會導致過高的估計邊坡的穩(wěn)定性。為考慮土體空間變異性對邊坡穩(wěn)定性的影響，隨機有限元法作為研究邊坡可靠度的一個非常有效的方法，基于已有學者對邊坡隨機有限元的研究，針對隨機有限元法的基本思想和應用方法進行綜述，并指出了各類方法的優(yōu)缺點、適用范圍和發(fā)展前景。

關鍵詞：邊坡穩(wěn)定性； 土體空間變異性； 安全系數(shù)； 失效概率； 可靠度

中圖分類號：U416.1+4文獻標志碼：A

0引言

邊坡的破壞往往會對人類生命財產(chǎn)安全造成巨大威脅，在實際邊坡工程中為簡化計算通常將土體視為均質(zhì)進行計算，然而自然界土體受物質(zhì)組成、應力環(huán)境、沉積條件、風化程度等因素的影響，會呈現(xiàn)出明顯的空間變異性，現(xiàn)有研究表明忽略土體的空間變異性往往會過高估計邊坡的安全性［1］。

當前常用分析邊坡穩(wěn)定性的方法有極限平衡法、極限分析法和數(shù)值計算法，極限平衡法和極限分析法由于存在諸多假設難以求解土體空間變異性這類復雜問題。當前隨機有限元法作為研究土體空間變異性對邊坡穩(wěn)定性影響的一個非常有效的方法，本研究對用隨機有限元法求解邊坡可靠度的基本思想和應用方法進行了梳理和總結，指出了各類方法的優(yōu)缺點和適用范圍和發(fā)展前景。

1邊坡隨機有限元分析方法概述

邊坡的隨機有限元分析過程主要分為三部分，隨機場的生成、邊坡穩(wěn)定性的有限元分析和可靠度的求解。先根據(jù)現(xiàn)場調(diào)查的土體分布參數(shù)生成邊坡隨機場模型，每個隨機場模型通過有限元法進行穩(wěn)定性分析，然后可以采用隨機模擬或代理模型兩種方法求得邊坡的失效概率或可靠度。主要針對隨機場生成和可靠度求解的方法進行分類介紹和總結。

2分析方法

2.1隨機場的生成

Vanmarcke［2］最早提出根據(jù)實驗測得的土體變異系數(shù)和相關長度來構建隨機場模型，后續(xù)學者也都在此基礎上進行不斷地優(yōu)化和改進。常用生成隨機場的方法有協(xié)方矩陣差分解法，局部平均法和KL展開法。

2.1.1協(xié)方矩陣差分解法

協(xié)方差矩陣分解［3］法是在現(xiàn)有離散模型的基礎上，將隨機場的生成等效為一系列獨立標準正態(tài)隨機變量的生成，最終獲得土體參數(shù)在空間上的分布函數(shù)。針對二維隨機場的生成，考慮土體參數(shù)服從正態(tài)分布，土體參數(shù)的分布函數(shù)為式（1）。

H（τx，τy，l，N）=μ+σL（τx，τy，θ，N）ξ（N）（1）

μ和σ分別為土體參數(shù)的均值和標準差；ξ（N）為一組獨立標準正態(tài)隨機變量向量；L為自相關矩陣ρX進行Cholesky分解得到的下三角矩陣；自相關矩陣ρX表達式為式（2）～式（3）。

ρX=1ρ（τx1，2，τy1，2）…ρ（τx1，n，τy1，n）ρ（τx2，1，τy2，1）1…ρ（τx2，n，τy2，n）ρ（τxn，1，τyn，1）ρ（τxn，2，τyn，2）…1（2）

L·LT=ρX（3）

式中：ρ為自相關函數(shù)，其中一種計算式為式（4）。

ρ（τ）=exp-2τxlh2+2τylv2（4）

τx和τy分別代表為兩個單元之間的相對水平和豎直坐標，lh和lv分別為水平和豎直方向自相關長度。

協(xié)方差矩陣分解法由于計算簡單且是全精度計算，被廣泛應用與土體空間變異性模擬中，但需要離散的隨機變量較多，在模擬較大尺度隨機場時計算效率不高。

2.1.2局部平均法

局部平均法［4］是用各離散單元參數(shù)的局部平均值來表征單元的特征，假設在一個連續(xù)的二維隨機場內(nèi)，則某一單元內(nèi)局部平均的表達式為式（5）。

Hi=1A∫xi+Lxi/2xi-Lxi/2∫yi+Lyi/2yi-Lyi/2H（x，y）dxdy（5）

其中（xi，yi）為矩形單元的中心坐標；A為單元的面積；Lxi和Lyi分別為矩形單元中平行x和y軸的邊。

局部平均法所需要的隨機變量較少，計算較為簡便，但不適用于非矩形單元單元離散的隨機場。

2.1.2KL展開法

KL展開法［5］是一種基于隨機過程協(xié)方差函數(shù)譜分解的序列展開方法，其二維K-L展開表達式為式（6）。

H（x，y，N）=μ+σ∑SymboleB@i=1λiff（x，y）ξ（N）（6）

式中： λ和f為自相關函數(shù)對應的特征值和特征函數(shù)，一般通過求解第二類Fredholm積分方程獲得，其表達式見式（7）。

∫Ωρ［（x1，y1），（x2，y2）］fi（x2，y2）dx2dy2=λifi（x1，y1）（7）

該方法具有較高的計算精度和計算效率，并且能用較少的隨機變量代表一個隨機場，然而由于求解第二類Fredholm積分方程的困難使得計算相對較為復雜。

2.2邊坡穩(wěn)定性的有限元分析

邊坡可靠度這類非確定分析需要事先建立在邊坡穩(wěn)定性分析這類確定性分析基礎之上，當前有限元法是分析邊坡穩(wěn)定性分析一個非常有效的工具，先選取單元類型，建立有限元模型，結合強度折減法，對土體強度參數(shù)進行折減，引入屈服準則，構建非線性剛度方程K（u）u=f，代入邊界條件，將邊坡穩(wěn)定性有限元分析轉換為求解一個大型非線性剛度方程的問題，采用迭代法進行求解，設置收斂判據(jù)，直至搜索求得邊坡處于極限狀態(tài)下的折減系數(shù)，即為邊坡安全系數(shù)。

2.3邊坡可靠度的求解

邊坡可靠度是指在規(guī)定條件下，保持安全或穩(wěn)定的的能力，可用功能函數(shù)Z（X1，X2，…，Xn）來判斷，Xn為影響邊坡穩(wěn)定性的眾多因素，通常Z=Fs-1，其中Fs為邊坡安全系數(shù)。當Z≤0，認為邊坡發(fā)生破壞，反之認為邊坡未失效。邊坡可靠度定義為變量X的均值距離Z=0極限狀態(tài)面最短的距離，計算式為式（8）。

β=μzσz（8）

式中：μz和σz分別為為功能函數(shù)的均值和標準差，邊坡失效概率與可靠度一一對應，計算式為式（9）。

Pf=Φ（1-β）=1-Φ（β）（9）

2.3.1隨機模擬法

隨機模擬法是通過抽取一定數(shù)量的樣本，通過概率統(tǒng)計的方法來求解可靠度或失效概率。具體求解邊坡失效概率的流程如下，抽取滿足需求組數(shù)的獨立標準正態(tài)隨機變量向量，即ξ（N），每組ξ（N）可以按照上一節(jié)的方法生成一個隨機場，再用有限元法分析每一個隨機場的穩(wěn)定性，邊坡的失效概率可以定義為失效的隨機場數(shù)除以總隨機場數(shù)見式（10）。

Pf=NiN（10）

常用抽樣的方法有蒙特卡洛法［6］、重要性抽樣［7］和拉丁超立方抽樣法［8］，當樣本數(shù)目足夠多時，具有較高的計算精度，魯棒性強，然而計算效率相對較低，重要性抽樣法和拉丁超立方抽樣是蒙特卡羅法的一種改進，抽取較少的樣本就能得到較高的效率和精度。

工程結構李智， 肖克鋒， 賈政鵬， 等： 邊坡隨機有限元分析方法綜述

2.3.2代理模型法

隨機模擬法由于需要抽取大量的樣本進行計算，并且每個樣本都需要通過有限元法進行穩(wěn)定性分析，計算效率較低。代理模型法用較少的樣本計算結果來近似預測整個樣本結果，并建立一個代理模型，避免每次都通過有限元法來求解，提高了計算效率。常用的方法有響應面法，克里金法和神經(jīng)網(wǎng)絡法。

響應面法［9］的思想是利用一個可以明確表達的函數(shù)來近似代替實際不能明確表達的功能函數(shù)，先生成一定數(shù)量的隨機場，每個隨機場由一定的變量控制，并用有限元法求得每個隨機場對應的功能函數(shù)值，根據(jù)變量和與之對應的功能函數(shù)值構造響應面函數(shù)，可以通過插值擬合的方式來獲得，即式（11）。

Z≈Zr=（X）=a+∑ni=1biXi+∑ni=1ciXi2（11）

因此不同變量計算下的功能函數(shù)值可通過響應面函數(shù)直接進行預測，不需要再用有限元法分析邊坡的穩(wěn)定性，相比隨機模擬法有著非常高的計算效率，但計算精度往往取決于所取樣本的好壞，較好的樣本點擬合才能得到與真實功能函數(shù)近似度高的響應面函數(shù)。

克里金法［10］與響應面法基本思路一致，都是根據(jù)現(xiàn)有樣本結果對未知結果進行預測，與傳統(tǒng)代理模型相比，克里金不需要給出模擬函數(shù)的形式，且可以通過主動訓練搜索到最佳樣本序列，以此構造克里金模型，能快速達到預期的計算精度。

基于神經(jīng)網(wǎng)絡［11］的可靠度分析法可以看作是一種特殊的響應面法，采用神經(jīng)網(wǎng)絡來擬合響應值和隨機變量間的映射關系，通過一系列數(shù)值計算結果建立神經(jīng)網(wǎng)絡模型，再根據(jù)此神經(jīng)網(wǎng)絡模型來求解可靠指標或失效概率。具體分為5個步驟：①根據(jù)不同變量計算下的安全系數(shù)，構造學習樣本與檢驗樣本；②確定激活傳遞函數(shù)；③訓練神經(jīng)網(wǎng)格，形成響應面函數(shù)；④用檢驗樣本進行測試直至訓練出滿足精度的響應面函數(shù)；⑤求解邊坡的可靠度或失效概率。傳統(tǒng)響應面法在每一次非線性分析中都需要花費大量時間，相比之下，神經(jīng)網(wǎng)絡法能適用于各類復雜問題，且計算效率高，誤差較小。

3結論

土體的空間變異性在邊坡穩(wěn)定性分析中不可忽略，考慮土體空間變異性對邊坡進行可靠度分析很有必要，隨機有限元法是邊坡可靠度分析的一個非常有效的方法，本文針對隨機有限元法的基本思想和應用方法進行了綜述，歸納了各類方法的優(yōu)缺點、適用范圍和發(fā)展前景，總結如下：

（1）協(xié)方差矩陣分解法計算簡單且計算精度高，但所需要的隨機變量較多，計算效率低；局部平均法計算簡單，所需隨機變量較少，但不適用非矩形單元隨機場的離散；KL展開法所需隨機變量較少，計算效率高，計算相對較為復雜。

（2）蒙特卡羅法等隨機模擬的方法在樣本次數(shù)足夠多時有著非常高的計算精度，適用性廣，魯棒性強，由于需要足夠多的樣本導致計算效率較低，相比之下代理模型法有著較高的計算效率，但計算精度依賴于樣本的好壞。

（3）用任何方法生成隨機場都可以采用隨機模擬法進行求解，若要使用代理模型法，不建議使用協(xié)方差矩陣分解法，協(xié)方差矩陣分解法由于隨機變量較多，構建預測模型較為困難，同時會導致計算效率不高。

（4）代理模型法有著非常高的計算效率，但計算精度會依賴于樣本的好壞。如何選取出最少，且最佳的樣本來構建代理模型，以達到同時提高計算效率與計算精度，此方面有著非常好的研究價值。當前許多學者嘗試將主動學習引入可靠度分析中來，這將會是很好的一個切入點。

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［作者簡介］李智（2000—），男，碩士，研究方向為巖土工程邊坡地基隨機有限元分析理論方法；肖克鋒（1998—），男，碩士，研究方向為巖土工程邊坡可靠度隨機場分析；賈政鵬（1999—），男，碩士，研究方向為巖土工程邊坡地基隨機有限元分析理論方法研究；楚澤元（1997—），男，碩士，研究方向為城市地下交疊隧道動力響應分析。