幾何直觀：實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的有效路徑

黃旭

［摘? 要］ 充分利用幾何直觀教學(xué)可以展示知識(shí)的抽象過程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。在教學(xué)中，教師可以用幾何直觀呈現(xiàn)學(xué)生易犯錯(cuò)誤，促進(jìn)新知理解；用幾何直觀搭建思維階梯，完成釋疑解惑；用幾何直觀揭示知識(shí)聯(lián)結(jié)，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

［關(guān)鍵詞］ 幾何直觀；深度學(xué)習(xí)；課堂教學(xué)

幾何直觀由于具有直觀性的特征，可以很好地溝通抽象思維與信息思維、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與直觀的圖形語言，可以很好地打開學(xué)生的思維閘門，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解。這就需要教師在實(shí)際教學(xué)中，巧妙運(yùn)用幾何直觀教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生自然而然地開展深度學(xué)習(xí)，從而更好地發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、用幾何直觀呈現(xiàn)易犯錯(cuò)誤，促進(jìn)新知理解

對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，學(xué)生犯錯(cuò)是必然的。因此在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)從具體的教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，并借助幾何直觀呈現(xiàn)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，讓學(xué)生去觀察、分析、對(duì)比和辨析，從中探尋錯(cuò)因、明晰方法、領(lǐng)悟本質(zhì)，從而促進(jìn)其對(duì)新知的理解和內(nèi)化數(shù)學(xué)本質(zhì)。

案例1? 兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式筆算

計(jì)算：14×12。

師：在學(xué)習(xí)新課之前，你們能先試著計(jì)算嗎？（在教師的鼓勵(lì)下，學(xué)生大膽嘗試，教師巡視）

師：誰愿意展示自己的方法？

生1：我是這樣計(jì)算的。首先，將14看作10與4，將12看作10與2；然后，計(jì)算4×2=8，10×10=100；最后，計(jì)算8+100=108。（出示圖1所示的方法）

師：生1的方法正確嗎？

生2：我覺得是錯(cuò)誤的。

師：錯(cuò)在哪里？（學(xué)生面面相覷，不知如何回答）

師：那我們就先把這個(gè)問題放一放，來學(xué)習(xí)今天的新知吧。

師：經(jīng)過剛才一系列探索，我們得出了圖2所示的計(jì)算過程及結(jié)果?，F(xiàn)在再回到學(xué)習(xí)前的問題，現(xiàn)在是否有了新的思路？生1，有沒有發(fā)現(xiàn)你錯(cuò)在哪里？

生1（撓了撓頭）：在計(jì)算時(shí)我僅計(jì)算了8與100這兩個(gè)部分，而40與20這兩個(gè)部分遺漏了。

生2：只要再添上10×4=40和10×2=20即可。

師：非常棒，你們通過觀察得到了結(jié)果，下面我們一起回顧一下（課件呈現(xiàn)圖3）。

以上案例中，教師利用“錯(cuò)誤”這一可生成性資源，立足幾何直觀，牢牢抓住“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”的算理，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、辨析和比較的過程中經(jīng)歷“犯錯(cuò)—剖析—糾錯(cuò)—內(nèi)化”的過程，讓學(xué)生直觀地感知計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)需包含的四個(gè)部分，從而更好地內(nèi)化認(rèn)識(shí)。這樣的教學(xué)過程不僅為學(xué)生進(jìn)一步的探究和學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，還培養(yǎng)了學(xué)生透過想象找尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。

二、用幾何直觀搭建思維階梯，完成釋疑解惑

小學(xué)生的思維呈現(xiàn)具體形象的特征，而數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性時(shí)常讓學(xué)生產(chǎn)生困惑。建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的知識(shí)傳遞，而是學(xué)生自己建構(gòu)的過程。因此，教師不能直接將結(jié)果拋給學(xué)生，而應(yīng)借助幾何直觀為抽象性思維薄弱的小學(xué)生搭建思維階梯，促進(jìn)學(xué)生在親歷知識(shí)形成和發(fā)展的過程中逐一突破困惑，最終實(shí)現(xiàn)釋疑解惑，真正理解知識(shí)。

案例2? 小數(shù)乘法

師：經(jīng)過剛才的計(jì)算，你認(rèn)為一個(gè)乘數(shù)不變，另一乘數(shù)發(fā)生變化時(shí)積有何變化？請(qǐng)?jiān)囍ㄟ^列舉法驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（經(jīng)過探索，大部分學(xué)生有了一定的認(rèn)識(shí)，但仍然有部分學(xué)生產(chǎn)生了疑問）

生1：從之前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法可以得出，積一定會(huì)等于或大于乘數(shù)。而這里的小數(shù)乘法卻有了積比乘數(shù)小的情況。比如：1.5×0.8=1.2，1.8×0.55=0.99，這是什么原因？

師：這是為什么呢？下面，請(qǐng)圍繞算式進(jìn)行小組合作探索：1.5×1，1.5×1.4，1.5×0.8。

（學(xué)生合作學(xué)習(xí)，教師巡視）

生2：乘法的意義角度：1.5×1表示1個(gè)1.5，得到積1.5；相較于1個(gè)1.5，1.5×1.4得數(shù)大一些；相較于1個(gè)1.5，1.5×0.8得數(shù)小一些。

生3：我覺得還可以借助圖形呈現(xiàn)積的變化規(guī)律。

師：可以具體說一說嗎？

生3：如圖4，1.5×1=1.5可這樣表示。

師：1.5×1.4的積與乘數(shù)1.5相比如何呢？

生3：進(jìn)一步作圖，該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不變，還是1.5，寬增加到1.4，可看作1和0.4的和。如圖5，將它的面積分為兩個(gè)部分，據(jù)圖可列出算式1.5×1.4=1.5×1+1.5×0.4，從而得出“其積比乘數(shù)1.5大”的結(jié)果。

師：進(jìn)一步地，1.5×0.8的積與乘數(shù)1.5相比如何呢？

生3：繼續(xù)作圖探尋結(jié)果，如圖6：長(zhǎng)不變，還是1.5，寬變成了0.8。經(jīng)過思考長(zhǎng)方形面積可用1.5×0.8表示，相較于圖4的長(zhǎng)方形減少“1.5×0.2”，從而列式1.5×0.8=1.5×1-1.5×0.2，得數(shù)也比1.5小了。

師：看來無論是圖形構(gòu)造或是計(jì)算，我們都能得出相同的結(jié)論。

生4：我們小組作出了圖7，也有了發(fā)現(xiàn)。

師：結(jié)合圖形得出結(jié)論，非常棒！其他組可有其他說理的方法？

生5：我們組是借助一個(gè)生活例子解釋的……

以上案例中，學(xué)生借助幾何直觀開展數(shù)學(xué)探索，通過圖形揭示知識(shí)本質(zhì)，讓原本模糊的知識(shí)清晰化，讓原本抽象的道理形象化，加深了對(duì)新知的理解，也深化了自身的數(shù)學(xué)思維。

三、用幾何直觀揭示知識(shí)聯(lián)結(jié)，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)的邏輯性決定了知識(shí)間的縱橫交錯(cuò)，而學(xué)生由于自身的思維特征很難融會(huì)貫通地理解知識(shí)。這就需要教師在教學(xué)過程中充分利用幾何直觀溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，揭示知識(shí)聯(lián)結(jié)，促進(jìn)學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中建構(gòu)系統(tǒng)的、完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

案例3? 乘法分配律

師：事實(shí)上，乘法分配律在我們學(xué)習(xí)筆算乘法時(shí)已有接觸。請(qǐng)?jiān)囍Y(jié)合乘法分配律描述圖8中豎式計(jì)算的奧秘。

生1：首先，把12看作2與10的和；然后，求得2個(gè)15是30，10個(gè)15是150；最后，求得30與150的和是180。

生2：可以先算15×2=30（2行點(diǎn)子數(shù)），后算15×10＝150（10行點(diǎn)子數(shù)），最后相加即可。

師：那這個(gè)過程是否可以利用橫式表示呢？

生3：先將12行分為2行與10行；再將2與10分別去乘15，得出2行的點(diǎn)子數(shù)和10行的點(diǎn)子數(shù)；最后將這些點(diǎn)子數(shù)相加。事實(shí)上，不管是橫式還豎式，計(jì)算道理都是一樣，即乘法分配律。（教師出示圖9）

實(shí)踐證明，利用圖形不僅豐富了學(xué)生的認(rèn)識(shí)，還深化了學(xué)生對(duì)乘法分配律內(nèi)涵的理解，更幫助學(xué)生架構(gòu)起多位數(shù)乘法與乘法分配律的橋梁，最終實(shí)現(xiàn)了新知的完整建構(gòu)，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維能力。

總之，幾何直觀可以讓復(fù)雜的問題變得形象具體，教師運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)要適應(yīng)小學(xué)生的思維特征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有必要利用幾何直觀呈現(xiàn)學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，搭建思維階梯，揭示知識(shí)聯(lián)結(jié)，從而助力學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在數(shù)與形的完美統(tǒng)一下感悟數(shù)學(xué)思想方法，更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。