用數(shù)學(xué)的眼光例談學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力提升

王琛

［摘? 要］ 用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界是學(xué)生核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方面，抽象能力是數(shù)學(xué)眼光在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)，因此如何提升學(xué)生抽象能力是小學(xué)階段教學(xué)的重點(diǎn)。研究者結(jié)合課例從“抽象出數(shù)或圖形的能力”“抽象出數(shù)量關(guān)系的能力”“抽象出圖形關(guān)系的能力”等三個(gè)方面具體分析如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)的眼光；抽象能力；能力培養(yǎng)；作業(yè)設(shè)計(jì)

抽象能力是指通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。抽象是指在同類事物中抽取出共同本質(zhì)屬性，而舍棄其非本質(zhì)屬性的過程和方法。人類通過不斷的抽象，才獲得對(duì)自然界的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。正是通過抽象，人們?cè)谒枷肷习褌€(gè)別的東西從個(gè)別性提高到特殊性，再從特殊性提高到普遍性，從而真正地、深刻地理解和把握現(xiàn)實(shí)世界。

一、理法交融：抽象出數(shù)或圖形的能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）在第一學(xué)段的目標(biāo)中要求學(xué)生“經(jīng)歷簡單的數(shù)的抽象過程”“形成初步的量感和空間觀念”，要求學(xué)生在教師引導(dǎo)下把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象從具體事物或現(xiàn)象中抽象出來，感悟、理解和掌握相關(guān)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，獲得數(shù)感和量感。在上述抽象過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)獲得發(fā)展。

筆者執(zhí)教“7的乘法口訣”時(shí)，詳細(xì)地開展了“把具體問題抽象成幾個(gè)幾相加的數(shù)學(xué)問題，寫出乘法算式，根據(jù)乘法算式編制相應(yīng)的乘法口訣”的活動(dòng)。學(xué)生能把新舊知識(shí)很好地關(guān)聯(lián)起來，并將已有的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移過來。筆者提出的實(shí)際問題是用7個(gè)三角形擺1只小船（出示小船圖，如圖1）。大多數(shù)學(xué)生是一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)三角形，數(shù)出有7個(gè)這樣的三角形。

擺1只小船用7個(gè)三角形就是1個(gè)7，用乘法算式表示是1×7=7。由理及法，理法交融，學(xué)生初步得出口訣“一乘七等于七”，為了簡單易背，優(yōu)化為“一七得七”的口訣（如圖2）。

筆者提出：“擺這樣的2只小船、3只小船、4只小船……7只小船，分別要用多少個(gè)三角形？”活動(dòng)中筆者首先讓學(xué)生在教材提供的表格中，依次計(jì)算2個(gè)7、3個(gè)7、4個(gè)7……7個(gè)7相加的和，體會(huì)3個(gè)7比2個(gè)7多1個(gè)7、4個(gè)7比3個(gè)7多1個(gè)7……7個(gè)7比6個(gè)7多1個(gè)7的特征。

筆者接著提問學(xué)生：“算三角形的個(gè)數(shù)時(shí)，你們能想到什么？”以此把學(xué)生的思維引導(dǎo)到用乘法計(jì)算的方式和乘法口訣編制上來，然后依次抽象出1個(gè)7、2個(gè)7相加、3個(gè)7相加……7個(gè)7相加所對(duì)應(yīng)的乘法算式是1×7=7、2×7=14、3×7=21……7×7=49；最后根據(jù)上述乘法算式編出7的乘法口訣（如圖3）。

在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一句乘法口訣對(duì)應(yīng)兩個(gè)乘法算式，這為教學(xué)乘法交換律提前做了一個(gè)很好的鋪墊。

在教學(xué)“7的乘法口訣”中，筆者先借助由7塊三角形組成的小船圖對(duì)算理進(jìn)行有效解釋，將連加抽象成“幾個(gè)7相加”，再轉(zhuǎn)化成乘法算式，最后通過口算過程抽象出乘法口訣，此教學(xué)過程真正做到了“理法交融”。

二、條分縷析：抽象出數(shù)量關(guān)系

數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象，但是“數(shù)量不能作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象應(yīng)當(dāng)是比數(shù)量更一般的抽象。為了實(shí)現(xiàn)更為一般的抽象，就必須把握數(shù)量的本質(zhì)，這個(gè)本質(zhì)表現(xiàn)在數(shù)量的關(guān)系之中”。數(shù)量關(guān)系的抽象是數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生量感的重要途徑。

筆者執(zhí)教“解決問題的策略——列表”一課時(shí)，面對(duì)比較復(fù)雜的問題情境，首先和學(xué)生一起理解情境和題意，再根據(jù)情境所提供的信息摘錄條件，采取簡潔表達(dá)、整理列表等策略，試圖解決問題。這里體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展水平，不僅設(shè)計(jì)優(yōu)化列表策略時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象，而且體現(xiàn)在學(xué)生解決具體問題中先抽象出數(shù)量關(guān)系，然后再進(jìn)行列式解答。

教師始終圍繞“四能”開展教學(xué)，先讓學(xué)生讀題并分析問題，感受六個(gè)條件比較凌亂，以激發(fā)學(xué)生有序整理的內(nèi)在需要，從而落實(shí)核心素養(yǎng)的要求。這樣，一部分學(xué)生從問題想起，整理了四個(gè)條件；一部分學(xué)生從條件想起，整理了六個(gè)條件。在解決例題的第一個(gè)問題時(shí)，學(xué)生覺得從問題想起更簡捷，教師重點(diǎn)強(qiáng)化列表整理的好處，體現(xiàn)了本課的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)。然后，教師出示例題的第二個(gè)問題：“杏樹比梨樹多多少棵？”這個(gè)問題讓從問題想起列表的學(xué)生立即發(fā)現(xiàn)自己需要再列一次表。這樣的引導(dǎo)讓學(xué)生領(lǐng)悟需要靈活地使用列表策略，要根據(jù)不同情況有針對(duì)性地列表，以便更簡捷地解決問題（如圖4）。

執(zhí)教“筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)”一課時(shí)，筆者利用小棒操作來幫助學(xué)生自主理解豎式算理過程，一步一步地對(duì)豎式進(jìn)行算理分析，從而讓每一個(gè)學(xué)生都能從實(shí)際問題中容易地抽象出豎式。本課主要安排了由外而內(nèi)、由具象到抽象、環(huán)環(huán)相扣的四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

一是運(yùn)用小棒演繹除法算式。教師讓學(xué)生先開展小組合作，共同完成擺小棒表示46÷2的過程，讓學(xué)生把這個(gè)過程畫到學(xué)習(xí)單上。通過擺一擺、畫一畫、算一算，能讓學(xué)生經(jīng)歷由具象到抽象的過程。

二是借助操作照應(yīng)除法豎式。教師組織學(xué)生交流并總結(jié)：整捆整捆地平均分，其實(shí)是在分4個(gè)10；一根一根地平均分其實(shí)是在分6個(gè)1。其中，先分4個(gè)10，每份有2個(gè)10，正好分完，對(duì)應(yīng)豎式中2為什么要寫在十位上；再分6個(gè)1，每份3個(gè)1，正好分完，對(duì)應(yīng)豎式中3寫在個(gè)位上的意義。

三是依據(jù)操作整體思考除法。結(jié)合分小棒的操作過程，讓學(xué)生思考：“你打算怎樣算46÷2呢？”要求學(xué)生仔細(xì)思考，把想法寫到學(xué)習(xí)單相應(yīng)的位置上。

四是聯(lián)系操作分步理解豎式。利用小棒圖聯(lián)系幾種不同的方法，再次深化算理理解。教師結(jié)合小棒操作過程，引導(dǎo)學(xué)生指出豎式中的兩個(gè)“4”，分別表示“要分的4個(gè)10”和“分掉的4個(gè)10”；豎式中的兩個(gè)“6”，分別表示“要分的6個(gè)1”和“分掉的6個(gè)1”。如此細(xì)致引導(dǎo)，可讓每一個(gè)學(xué)生通過本課的學(xué)習(xí)都能從實(shí)際問題中很容易地聯(lián)系學(xué)具操作，由外而內(nèi)有序內(nèi)化，順利抽象出豎式。這樣，就讓學(xué)生對(duì)除法豎式推進(jìn)理解成為數(shù)學(xué)抽象思維的必然過程。

該課例題、操作圖示和豎式推進(jìn)抽象過程的投影、板書如圖5所示。

不論是“解決問題的策略——列表”一課，還是“筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)”一課，教師要關(guān)聯(lián)學(xué)生生活實(shí)際進(jìn)行教學(xué)，抽象成小棒圖或分析數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)算式。這樣的一系列過程都是抽象的過程，能充分體現(xiàn)教師在教學(xué)中關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

三、多維進(jìn)階：抽象出圖形關(guān)系

新課標(biāo)把義務(wù)教育階段幾何初步知識(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容歸納為“圖形與幾何”。通過圖形與幾何的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從立體到平面，從物體到圖形，抽象出以圖形表征的空間觀念，進(jìn)而抽象出圖形關(guān)系。小學(xué)階段的圖形關(guān)系學(xué)習(xí)主要包括圖形本身的性質(zhì)、圖形與圖形之間的關(guān)系。筆者在圖形關(guān)系學(xué)習(xí)專題教研中，一直努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思想，使之落實(shí)于課堂教學(xué)活動(dòng)。

1. 抽象感悟圖形性質(zhì)

圖形關(guān)系是指圖形與圖形之間相聯(lián)系的關(guān)系，它建立在單個(gè)圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)之上。因此，圖形關(guān)系的抽象必須以圖形性質(zhì)的抽象為前提。比如，在“認(rèn)識(shí)角”一課教學(xué)時(shí)，筆者課前利用學(xué)習(xí)單，布置學(xué)生從生活中角的現(xiàn)象進(jìn)行初步感知。課堂上出示展開的紅領(lǐng)巾、擺放的三角尺、張開的剪刀等，讓學(xué)生從中描畫出角，舍棄材質(zhì)、顏色、刻度線和開口大小、朝向、邊的長短等非本質(zhì)特征，保留和突出兩條邊共有一個(gè)頂點(diǎn)的張開的圖形；讓學(xué)生感知這就是對(duì)角的特征的抽象，從而給出描述性的定義“這些圖形都是角，角有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊”。通過再抽象，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“角的兩條邊是直線”。

2. 抽象理解圖形關(guān)系

在對(duì)圖形性質(zhì)抽象的基礎(chǔ)上考量幾個(gè)相關(guān)圖形，學(xué)生就會(huì)進(jìn)入對(duì)圖形關(guān)系的抽象理解過程。筆者在執(zhí)教“認(rèn)識(shí)長方形和正方形”時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生知道“正方形是一個(gè)特殊的長方形”，但是三年級(jí)學(xué)生不容易理解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。因此理解這些圖形的關(guān)系，學(xué)生需要依靠直觀操作。在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生發(fā)揮主體表象和語言外化的表征作用，經(jīng)過分析、綜合、比較等思維過程，逐步抽象概括而成。教師要讓學(xué)生分別歸納：長方形有四條邊，對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角；正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。經(jīng)過對(duì)比和比較觀察，讓學(xué)生思考長方形和正方形相同的地方：長方形的所有特點(diǎn)在正方形中都存在。因此，正方形就是長方形，不過它是一種比較特殊的長方形，其特殊之點(diǎn)在于鄰邊相等，即長邊等于寬邊。

3. 抽象表征圖形關(guān)系

學(xué)生作為主體一旦理解了某種圖形關(guān)系，得到了確認(rèn)，就會(huì)產(chǎn)生一種表達(dá)反應(yīng)的需要。這樣學(xué)生借助初步的邏輯思維，學(xué)會(huì)區(qū)分和比較兩種圖形的內(nèi)涵和外延，會(huì)選用合適的形式把這種關(guān)系從邏輯的層次上表征出來。比如，讓學(xué)生把長方形和正方形之間的圖形關(guān)系運(yùn)用圖式抽象出來，學(xué)生往往都會(huì)畫出大圈（長方形）套小圈（正方形）的集合圖。這種圖式其本身也是一種簡捷的抽象，它表達(dá)的含義就是：（在內(nèi)涵特征上）長方形包含著正方形，而正方形是一種特殊的長方形。

四、指向素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象作業(yè)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)抽象作為一種學(xué)科核心素養(yǎng)，它會(huì)作為學(xué)生的一種關(guān)鍵性能力反映出來，而且會(huì)顯示其不同的發(fā)展水平。把握和區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)抽象能力的層次和水平，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。教師在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)研究中要經(jīng)常收集能體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力素養(yǎng)的例題，通過潛心研究設(shè)計(jì)、精心編排，以此提升學(xué)生的抽象思維能力。

（1）選擇合適的字母序號(hào)填入括號(hào)中。

在下圖中，將長方形沿一條直線剪開，不可能得到的圖形是（? ? ）。

該題答案選A，其考查點(diǎn)是：抽象出圖形關(guān)系的能力。

（2）計(jì)算4.75+3.4=（? ? ），并說明理由。說明理由時(shí)，可以畫一畫，也可以聯(lián)系生活中的例子寫一寫。

該題考查點(diǎn)是：抽象出整數(shù)、小數(shù)不同計(jì)數(shù)單位以及用圖形表征不同小數(shù)的能力。

（3）王大爺把收摘的蘋果裝在同樣大的柳條筐里，一共裝了40筐。他從中任意選了5筐稱了稱，分別凈重31千克、29千克、32千克、32千克、28千克。請(qǐng)幫王大爺估算一下，他這次收摘的蘋果大約有多少千克？寫出估算過程。

該題考查點(diǎn)是抽象出數(shù)量關(guān)系的能力：①可以歸納5個(gè)數(shù)的特征是每筐接近30千克；②可以算出所稱的5筐平均數(shù)是30.4千克，再乘40筐，約1200千克；③可以先算出5筐總數(shù)是152千克，它的8倍（40÷5）是1200千克。

類似這樣的指向數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的作業(yè)設(shè)計(jì)，有助于落實(shí)核心素養(yǎng)的相關(guān)要求，有助于激發(fā)學(xué)生的興趣。

五、未來展望：從數(shù)學(xué)的角度觀察世界

知識(shí)學(xué)習(xí)的完整過程，從廣義的角度分析可以分為三個(gè)階段，即意義的獲得、保持和提取；從狹義的角度來看，知識(shí)提取不僅是知識(shí)學(xué)習(xí)，還涉及技能學(xué)習(xí)。無論是從廣義角度，還是從狹義的角度，知識(shí)的獲得都離不開抽象的過程。學(xué)生對(duì)新知識(shí)的獲取會(huì)納入其原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而形成新的抽象結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過程中，學(xué)生需要對(duì)所獲得的感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行充分思維加工，這又是一種新的抽象——方法抽象。在學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)與方法學(xué)習(xí)時(shí)，教師要滲透價(jià)值觀教育。

細(xì)研新課標(biāo)與核心素養(yǎng)的要求，不難發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段是發(fā)展學(xué)生抽象能力的起步階段，也是關(guān)鍵時(shí)期：一方面，小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法都是基礎(chǔ)的，這些知識(shí)、方法的形成過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)抽象思想，而且這些知識(shí)、方法及其蘊(yùn)含的抽象思想是能被小學(xué)生感悟和理解的；另一方面，小學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)與需求決定其既適應(yīng)又能促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展。對(duì)于教師而言，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，促進(jìn)其從數(shù)學(xué)的角度觀察世界、理解世界、表達(dá)觀點(diǎn)，需要教師加強(qiáng)意識(shí)性、計(jì)劃性和自覺性，因?yàn)樗P(guān)系到學(xué)生核心素養(yǎng)的有序發(fā)展，是新時(shí)代數(shù)學(xué)教師的新使命。