多法并舉解決一道圖形變換問題

何宇豪　巴桑

【摘要】圖形變換問題是初中數(shù)學中平面幾何的重要內容，解決此類問題不僅需要學生能夠有較好的圖形想象能力，還要有較好的作圖能力.同時因為其綜合性，往往解題方法眾多，但是學生卻難以下手.本文以一道圖形變換問題的典型例題為例，探究多種解法，以拓寬解題思路，供讀者參考.

【關鍵詞】初中數(shù)學；平面幾何；圖形變換

圖形變換問題一般涉及平移、軸對稱、旋轉等變換，通過這些操作可以使圖形中的已知條件與結論的關系能夠清楚、充分地變現(xiàn)出來，從而將某些角或者線段進行位置上的變換，而不改變其大小.解決此類問題，圖形的平移變換、對稱變換、旋轉變換是同學們應該掌握的解題技巧.

題目 如圖1所示，以△ABC的邊AB，AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC和△AEG面積之間的關系，并說明理由.

方法1 作三角形底邊的高，利用面積公式直接證明.

解 如圖2所示，過點C作CM⊥AB于點M，過點G作GN⊥EA交EA的延長線于點N，

則∠AMC=∠ANG= 90°.

因為四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，

所以∠BAE=∠CAG=90°，

AB=AE，AC=AG.

所以∠BAC+∠EAG=180°.

因為∠EAG+∠GAN=180°，

所以∠GAN=∠BAC，△ACM≌△AGN.

所以CM=GN.

因為S△ABC=1/2AB·CM，S△AEG=1/2AE·GN，

所以S△ABC=S△AEG.

評析 因為是與面積∽有關的三角形問題，所以可以從基礎的三角形面積公式入手，作出三角形底邊的高，從而將三角形的面積公式表示出來.同時，在過程中還可以利用所作圖象的性質，如三角形全等來得到更多的條件，從而證明關系.

方法2 構造面積相等的三角形.

解 如圖3所示，延長GA到點H，使AH=AG，連接EH，

則S△AEH=S△AEG.

因為∠CAG=90°，

所以∠CAH=90°，∠EAB=∠CAH，

∠EAH=∠CAB.

因為AB=AE，AC=AG=AH，

所以△AEH≌△ABC，

S△AEH=S△ABC.

所以S△ABC=S△AEG.

評析 構造面積相等的三角形是解決面積類圖形變換問題的一大重要方法.將構造出的三角形的面積作為一個中間量，從而通過幾何作圖和全等或者相似三角形的判定條件得到此中間量與結論相關的兩個三角形之間的關系，即可得到答案.

方法3 對三角形面積分割.

解 如圖4所示，作△ABC的邊BC上的高AN，分別過點E，G作EP⊥AN，

GQ⊥AN，垂足為P，Q.

因為∠CAG=90°，

所以∠1=180°-∠GAC-∠2=∠3.

因為AC=GA，

所以易證Rt△ACN≌Rt△GAQ，

所以AN=GQ.

同理可證

Rt△ABN≌Rt△EAP.

所以EP=AN，EP=GQ.

又因為∠EPM=∠GQM=90°，

∠EMP=∠GMQ，

所以易證Rt△EPM≌Rt△GQM.

所以S△ACN=S△GAQ，S△ABN=S△AEP.

所以S△ABC=S△CAN+S△ABN=S△GAQ+S△EAP

=S△GAQ+S△EPM+S△EAM

=S△GAQ+S△GQM+S△EAM=S△AEG，

所以S△ABC=S△AEG.

評析 對三角形的面積進行分割是解決圖形變換類問題的又一重要方法.如果大三角形的面積不好表示，或者無法容易地找到與另一三角形之間的關系.可以通過將大三角形變?yōu)椴煌男∪切蝸斫⒙?lián)系，從而得到問題的答案.在某些情況下，還可以通過補形的方式來證明.

結語

在求解一些不規(guī)則圖形的面積時，常用到圖形變換將不規(guī)則圖形轉化為簡單的規(guī)則圖形.所以在解答有關圖形變換的問題時，也可以利用同樣的思路，嘗試通過對稱，選擇等方式將圖形變?yōu)楹唵蔚?、直觀的規(guī)則圖形，或是將條件變?yōu)橐子谇蠼獾奶厥馇闆r，即可得到問題的答案.