例談帕德逼近在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

? 湖北省監(jiān)利市監(jiān)利中學(xué) 胡 暢

1 帕德逼近的定義及常用函數(shù)逼近表

帕德逼近來(lái)源于高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)逼近理論,它不是高中數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)內(nèi)容,也不在高考考查范圍內(nèi),但由于該理論體現(xiàn)了用代數(shù)函數(shù)逼近超越函數(shù)的思想,所以經(jīng)常會(huì)成為導(dǎo)數(shù)壓軸題的背景.如果高中數(shù)學(xué)教師能夠了解該理論,就會(huì)站在更高的角度看問(wèn)題,教師認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的高度決定了學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的高度,為了培養(yǎng)創(chuàng)新型的學(xué)生,我們應(yīng)該做研究型教師,這也是時(shí)代對(duì)教師提出的要求.

1.1 帕德逼近的定義

1.2 常用函數(shù)帕德逼近表

幾種常用函數(shù)帕德逼近舉例如下.

(1)f(x)=ln(1+x)在x=0的[m,n]階帕德逼近如表1所示：

表1

(2)f(x)=lnx在x=0的[m,n]階帕德逼近如表2所示：

表2

(3)f(x)=ex在x=0的[m,n]階帕德逼近如表3所示：

表3

2 帕德逼近在模擬題中的應(yīng)用

(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的最小值.

(2)若函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,且x1

(ⅰ)求a的取值范圍;

(ⅱ)證明：x1+x3+4x1x3>3a.

(2)(ⅰ)a>2(過(guò)程略).

而x1x3=1,所以x1+x3+4x1x3>3a.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù),且a+lnb=b+lna,證明：a+b+lnab>2.

解：(1)(過(guò)程略).

(2)令a-lna=b-lnb=m,則lna=a-m,且lnb=b-m.因此,只需證a+b>1+m.

化簡(jiǎn),得

①

②

②-①,得

b2-a2-(1+m)(b-a)>0.

整理,得

a+b>1+m.

點(diǎn)評(píng)：這道題剛出來(lái)時(shí),在微信群引起了數(shù)學(xué)老師的廣泛討論.其實(shí)這類零點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題,大多都是以泰勒展開(kāi)式或者帕德逼近為背景來(lái)命制的.對(duì)照常用函數(shù)帕德逼近表,我們發(fā)現(xiàn)該題中就是利用f(x)=lnx在x=0處的[1,1]階帕德逼近.通過(guò)以上示例可以看出,利用帕德逼近證明函數(shù)中的不等式可以提高解題速度,但運(yùn)用該法的難點(diǎn)是要根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)以及要證明的結(jié)論,找準(zhǔn)合適的帕德逼近.

3 帕德逼近在高考題中的應(yīng)用

高考試題中多次出現(xiàn)以高等數(shù)學(xué)為背景的試題,教師自身應(yīng)加強(qiáng)對(duì)高等數(shù)學(xué)相關(guān)背景的研究,有利于教師把握本質(zhì),提升能力.同時(shí),我們也要注意到,以高等數(shù)學(xué)為背景的高考試題,也都能應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法加以求解.因此,研究高等數(shù)學(xué)背景并不意味著要在教學(xué)中補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)知識(shí),盲目提高要求,加重學(xué)生負(fù)擔(dān),而是應(yīng)加強(qiáng)自身研究,優(yōu)化教學(xué),有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

例3(2018年全國(guó)高考Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)-1

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的值.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解：第(1)(2)問(wèn)過(guò)程略.下面用帕德逼近就第(3)問(wèn)右邊的不等式作簡(jiǎn)要說(shuō)明.

由y=g(t)的圖象可知,對(duì)于給定的m∈(0,1),當(dāng)b增大時(shí),圖象g(t)下移,t1,t3均減小;反之,當(dāng)b減小時(shí),圖象g(t)上移,t1,t3均增大.

分析：2022年浙江高考導(dǎo)數(shù)題最后一問(wèn),是2022年所有省份高考?jí)狠S題里最難的,解決該題主要有兩個(gè)方向.一是官方解答中的代入,換元,消元,轉(zhuǎn)化為一個(gè)復(fù)雜的不等式證明;二是極端化,然后對(duì)lnx放縮.無(wú)論用哪種方法,都需要對(duì)lnx進(jìn)行高精度的放縮.

4 帕德逼近的變式訓(xùn)練

學(xué)之道在于“悟”,教之道在于“度”.但不思考不會(huì)有悟,教師在平常的教學(xué)中,除了干凈利落地給出問(wèn)題的解答,還應(yīng)透徹清晰地確定問(wèn)題的背景,再通過(guò)問(wèn)題的背景進(jìn)行變式題的設(shè)計(jì),這樣才能到達(dá)舉一反三的效果,才能讓學(xué)生有機(jī)會(huì)學(xué)以致用,以避免問(wèn)題與方法各自相對(duì)封閉.

利用y=ex在x=0處的[1,3]階帕德逼近函數(shù),可以設(shè)計(jì)與2018年全國(guó)Ⅲ卷類似的變式題.

變式1函數(shù)f(x)=(ax3-x+2)ex-x-2,a∈R.

(1)若a=0,證明：xf(x)≤0;

(2)若x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.

另外,也可以通過(guò)帕德逼近設(shè)計(jì)一些零點(diǎn)估計(jì)類的問(wèn)題.在平常訓(xùn)練中,零點(diǎn)估計(jì)(極值點(diǎn)偏移)問(wèn)題的解決主要依賴于對(duì)數(shù)平均值不等式[2],但是我們可以通過(guò)帕德逼近設(shè)計(jì)一些更緊的不等式證明問(wèn)題,例如利用f(x)=lnx在x=0的[2,1]階帕德逼近可設(shè)計(jì)如下變式：

變式2已知函數(shù)f(x)=x-lnx-a有兩個(gè)相異的零點(diǎn)x1,x2(x1

(1)求a的取值范圍;

利用f(x)=lnx在x=0的[1,1]階帕德逼近可設(shè)計(jì)如下變式：

變式3已知函數(shù)f(x)=x-lnx-a有兩個(gè)相異的零點(diǎn)x1,x2(x1

(1)求a的取值范圍;

(2)證明：x1+x2>1+a.

教師在平常的教學(xué)中要打破就題講題的教學(xué)觀,認(rèn)真研究試題,找到一類題的共性,做到“自然、簡(jiǎn)單、優(yōu)美、統(tǒng)一”.

5 教學(xué)啟示

高觀點(diǎn)的試題背景是命題的重要來(lái)源.很多高考試題都具有高等數(shù)學(xué)的背景,如圓錐曲線中的極點(diǎn)極線、曲線系方程,導(dǎo)數(shù)中的泰勒展開(kāi)、洛必達(dá)法則、帕德逼近等,合理分析這些試題的背景,探尋這些試題的命題方法,可為復(fù)習(xí)備考提供一些新的生長(zhǎng)點(diǎn).另外,多數(shù)具有高觀點(diǎn)背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題,由于命制時(shí)已將一般性的問(wèn)題變成具體的適合高中生做的試題,因此會(huì)有較強(qiáng)的綜合性和新穎性,對(duì)于時(shí)間緊迫的考生而言會(huì)有很大壓力.然而對(duì)于優(yōu)秀考生,一旦清楚其中的背景,就可快速得出結(jié)果,也為如何書(shū)寫提供了方向.