結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法實驗教學(xué)裝置開發(fā)及教學(xué)實踐

江守燕， 金 蓉， 楊海霞， 孫立國

（1.河海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，南京 211100；2.大連海事大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，遼寧 大連 116026）

0 引 言

結(jié)構(gòu)力學(xué)是力學(xué)、土木、港航等專業(yè)本科生的主要學(xué)科基礎(chǔ)課程之一，本課程的任務(wù)是在理論力學(xué)和材料力學(xué)等課程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步掌握平面桿件結(jié)構(gòu)分析的基本概念、基本原理和基本方法，了解各類結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，為學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程以及進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計和科學(xué)研究打好力學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)分析與計算等方面的能力，這門課程是力學(xué)理論與工程實踐緊密聯(lián)系的橋梁和紐帶。

力法和位移法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的2 種經(jīng)典方法，也是結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)中的重點和難點內(nèi)容。力法的重點是“力”，關(guān)于力的分析方法在靜定結(jié)構(gòu)的計算中學(xué)生已經(jīng)比較熟悉；位移法的重點是“位移”，根據(jù)變形位移確定內(nèi)力的分析方法對學(xué)生來說屬于比較新的和陌生的知識。位移法的基本思路、基本系和基本未知量的確定等都比力法難以理解，是結(jié)構(gòu)力學(xué)最重要和最難理解的內(nèi)容［1］。位移法基本系高度抽象，不但可以說是“無中生有”，而且結(jié)點位移和荷載分別單獨作用于基本系的狀態(tài)與原有結(jié)構(gòu)中荷載引起內(nèi)力和變形（包括節(jié)點位移）的概念相沖突。由于位移法的“難”，導(dǎo)致很多學(xué)生在沒有理解位移法基本原理的情況下，難以基于位移法的基本原理進(jìn)行結(jié)構(gòu)的概念分析［2］。然而，結(jié)構(gòu)分析的核心概念和方法是教學(xué)過程中應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)的［3-5］，而不應(yīng)該僅僅強(qiáng)調(diào)求解問題的技巧。朱少云［6］探討了建立位移法方程的2 種方式，即典型方程法和平衡方程法，并討論了位移法典型方程的取舍對結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)的影響；崔玉紅等［7］指出，經(jīng)典的位移法規(guī)律是一次加約束和一次拆約束的計算過程；楊迪雄［8］系統(tǒng)介紹了位移法的發(fā)展歷程及對結(jié)構(gòu)現(xiàn)代發(fā)展所起的作用；田振國［9］對比了超靜定結(jié)構(gòu)求解的幾種方法，包括力法、位移法、力矩分配法等，對幾種方法的理論基礎(chǔ)、未知量、特點、適用條件和適用問題等進(jìn)行了探討。

結(jié)構(gòu)力學(xué)是一門與工程實際緊密聯(lián)系的課程，但在結(jié)構(gòu)力學(xué)理論教學(xué)中，存在不見“結(jié)構(gòu)”的問題［10-11］。實踐教學(xué)環(huán)節(jié)在理工科課程教學(xué)中的重要性已成共識，并已成為教學(xué)體系的重要環(huán)節(jié)［12-15］。盡管結(jié)構(gòu)力學(xué)課程教學(xué)基本要求中沒有實驗要求，但是河海大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程結(jié)合人才培養(yǎng)的實際需要，于2003 年在國內(nèi)率先開設(shè)結(jié)構(gòu)靜、動力學(xué)實驗，通過實驗教學(xué)和課外實踐活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生動手能力和研究問題能力。實驗室還為學(xué)生創(chuàng)新實踐提供場地和條件，通過舉辦和參加各類力學(xué)和結(jié)構(gòu)設(shè)計競賽、指導(dǎo)大學(xué)生課外創(chuàng)新實踐等活動，培養(yǎng)富有創(chuàng)新精神和具有創(chuàng)新能力的人才。在近來的結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)中，又研制了結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法基本原理的演示裝置和實驗裝置，將課堂理論教學(xué)與實驗教學(xué)有機(jī)融合。

1 位移法基本原理演示裝置

固定支座、鉸支座、滑移支座是結(jié)構(gòu)力學(xué)中3 種常見的支座類型，為了直觀地展示這3 種支座形式以及不同支座對桿件變形的限制作用，設(shè)計并加工了2 種超靜定剛架，一種為三端固定的超靜定三桿剛架（見圖1），另一種為考慮不同支座形式的超靜定三桿剛架（見圖2）。演示裝置的主要部件包括剛臂、剛臂轉(zhuǎn)動頂推裝置、加載裝置以及剛臂鎖定旋鈕。桿件的材質(zhì)為橡膠棒，桿截面為方形，截面尺寸為2 cm ×2 cm。在荷載作用下桿件能夠呈現(xiàn)肉眼可見的變形，加深學(xué)生對桿件變形規(guī)律的認(rèn)知。該裝置已用于課堂實驗教學(xué)（見圖3），可分別演示位移法原結(jié)構(gòu)和基本系的變形過程。

圖1 三端固定的三桿剛架及演示裝置

圖2 不同支座形式的三桿剛架及演示裝置

圖3 演示裝置用于課堂教學(xué)

原結(jié)構(gòu)變形演示過程包括以下步驟：①旋轉(zhuǎn)剛臂轉(zhuǎn)動頂推裝置的旋鈕，使得剛臂轉(zhuǎn)動頂推裝置遠(yuǎn)離剛臂；②旋轉(zhuǎn)剛臂鎖定旋鈕，使其處于“放松”狀態(tài)；③通過旋轉(zhuǎn)加載裝置上的旋鈕，在BC端桿上施加荷載F。學(xué)生可直觀地看到由施加在BC端桿上的荷載所引起的桿件變形，BC端桿的變形帶動剛節(jié)點B的轉(zhuǎn)動，在剛節(jié)點B轉(zhuǎn)動過程中，與剛節(jié)點B相連的BA端桿以及BC端桿也同步發(fā)生變形，加載結(jié)束后的最終變形如圖1（a）所示。在原結(jié)構(gòu)中“轉(zhuǎn)動”和“荷載”同時存在，無法分離。

基本系變形演示過程包括以下步驟：①旋轉(zhuǎn)加載裝置上的旋鈕，使其處于“卸荷”狀態(tài)；②旋轉(zhuǎn)剛臂鎖定旋鈕，使其處于“放松”狀態(tài)；③旋轉(zhuǎn)剛臂轉(zhuǎn)動頂推裝置的旋鈕，頂推剛臂發(fā)生轉(zhuǎn)動，當(dāng)剛臂轉(zhuǎn)動到φ1時，旋轉(zhuǎn)剛臂鎖定旋鈕，鎖定剛臂，剛臂便不再轉(zhuǎn)動；④旋轉(zhuǎn)加載裝置上的旋鈕，在BC端桿上施加荷載，可以觀察到荷載只引起B(yǎng)C端桿的變形，剛節(jié)點B不再轉(zhuǎn)動。通過這樣一個演示過程，展示位移法基本系可以僅有轉(zhuǎn)動，也可以僅有荷載，還可以先有轉(zhuǎn)動再有荷載，基本系中可以把引起結(jié)構(gòu)變形的原因——“荷載”和“節(jié)點轉(zhuǎn)動”分開來考慮。

研制的演示裝置可以定性地展示結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài)，輔助位移法基本原理的講解，讓學(xué)生可以看到“結(jié)構(gòu)”，看到“結(jié)構(gòu)變形”，看到“剛臂”，看到“基本系”及其在外荷載和節(jié)點位移單獨作用下的2 個狀態(tài)，將抽象的位移法基本系形象化、直觀化。

2 位移法基本原理實驗裝置

研制的位移法基本原理演示裝置可以定性、直觀地展示結(jié)構(gòu)的變形，但無法定量地給出結(jié)構(gòu)的變形、內(nèi)力數(shù)值，為此還研制了與演示裝置相配套的實驗裝置［16］。該實驗可以加深學(xué)生對結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法概念及求解方法的理解，實驗中還涉及半橋自補(bǔ)償?shù)碾娮钁?yīng)變測試技術(shù)，有利于提高學(xué)生對電測法的應(yīng)用能力，在應(yīng)變與彎矩轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用上又涉及材料力學(xué)。

如圖4 所示，該實驗裝置可以精確地測試結(jié)構(gòu)變形、內(nèi)力。與1 節(jié)中演示裝置不同，該實驗裝置增加了百分表，測量剛臂轉(zhuǎn)角。剛臂頂部外伸段與百分表相連，如圖4（b）所示。剛臂頂部外伸段長度Lc=70mm，百分表示數(shù)為Di，剛臂實際轉(zhuǎn)角φ1可通過下式計算：

圖4 位移法基本原理實驗裝置

加載裝置與力傳感器相連可測得所施加荷載的大小。通過變換支座形式，可組裝成不同的結(jié)構(gòu)形式。桿件截面為矩形，材質(zhì)為有機(jī)玻璃或彈簧鋼（無肉眼可見的變形）。桿件上粘貼了若干應(yīng)變片，通過靜態(tài)電阻應(yīng)變儀測量各桿端應(yīng)變ε，可通過下式計算每根桿件的桿端彎矩

式中：E為桿件的彈性模量；b為矩形桿件截面的寬度；h為截面的高度。在實驗過程中，可通過該實驗裝置再現(xiàn)原結(jié)構(gòu)和基本系的變形過程，并測出具體數(shù)值。將原結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力數(shù)值與基本系的變形和內(nèi)力數(shù)值進(jìn)行比較，理論上原結(jié)構(gòu)和基本系的內(nèi)力和變形應(yīng)該完全一致，但實驗測試時會存在誤差，學(xué)生可以從中分析誤差產(chǎn)生的原因。

具體的實驗步驟包括：

（1）測量桿件的彈性模量E，各桿件的有效長度lBA、lBC和lBD，桿件截面的寬度b和高度h。以如圖1（a）所示的三端固定超靜定剛架為例，桿件材質(zhì)為有機(jī)玻璃，桿件的彈性模量E=3.35 GPa，桿件的有效長度lBA=32 cm、lBC=lBD=20 cm，桿件截面的寬度b=12 mm、高度h=8 mm。

（2）旋轉(zhuǎn)剛臂鎖定旋鈕，“放松”剛臂。通過加載裝置施加豎向集中荷載作用于BC端桿上，荷載F通過力顯示器讀出，這里取F=6 N（本實驗裝置可供學(xué)生在5 ～10 N范圍內(nèi)自主施加荷載大?。?。讀取此時D1，通過靜態(tài)電阻應(yīng)變儀，測出原結(jié)構(gòu)的桿端應(yīng)變εAB1、εBA1、εBC1、εCB1、εBD1、εDB1。通過式（2）計算出每根桿件的桿端彎矩MAB1、MBA1、MBC1、MCB1、MBD1、MDB1，相關(guān)數(shù)據(jù)填入實驗記錄表（見表1）中，并畫出原結(jié)構(gòu)在集中荷載下的彎矩圖。

表1 原結(jié)構(gòu)各桿端應(yīng)變和彎矩

（3）旋轉(zhuǎn)剛臂鎖定旋鈕，“放松”剛臂，然后旋轉(zhuǎn)剛臂轉(zhuǎn)動頂推裝置的旋鈕，頂推剛臂發(fā)生轉(zhuǎn)角φ1，即使百分表指針指到步驟（2）的示數(shù)D1。通過靜態(tài)電阻應(yīng)變儀測量各桿端應(yīng)變根據(jù)測得的各桿端應(yīng)變，通過式（2）計算出每根桿件的桿端彎矩，相關(guān)數(shù)據(jù)填入實驗記錄表（見表2）中，并畫出彎矩圖。

表2 節(jié)點位移單獨作用下各桿端應(yīng)變和彎矩

（4）旋轉(zhuǎn)剛臂轉(zhuǎn)動頂推裝置的旋鈕，使剛節(jié)點B轉(zhuǎn)角歸零，然后旋轉(zhuǎn)剛臂鎖定旋鈕，“鎖定”剛臂，施加與步驟（2）相同的豎向集中荷載，如F=6 N。通過靜態(tài)電阻應(yīng)變儀，測出桿件的桿端應(yīng)變。根據(jù)式（2）計算出每根桿件的桿端彎矩，相關(guān)數(shù)據(jù)填入實驗記錄表（見表3）中，并畫出彎矩圖。

表3 外荷載單獨作用下各桿端應(yīng)變和彎矩

表4 基本系各桿端應(yīng)變和彎矩

（6）比較步驟（2）、（5）所得的桿端應(yīng)變和彎矩，分析實驗結(jié)果并撰寫實驗報告。

3 位移法基本原理教學(xué)設(shè)計

位移法基本原理是結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的重點，也是最難點，概念抽象。結(jié)合研制的演示裝置和實驗裝置，采用課堂講授、問題探討、動畫演示以及裝置演示的方式加深學(xué)生對該知識點的理解。

以如圖5（a）所示的超靜定三桿剛架為例，該剛架為6 次超靜定結(jié)構(gòu)，采用力法計算時可以取如圖5（b）所示的基本系，含有6 個基本未知量F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)6。對于高次超靜定結(jié)構(gòu)，采用力法計算時基本未知量多，方程求解繁瑣，因此有必要尋找新的計算方法，即位移法。位移法的概念和思想不僅適用于桿件結(jié)構(gòu)的分析，還可以推廣到實體結(jié)構(gòu)，是現(xiàn)代計算力學(xué)分析方法——有限元法的基礎(chǔ)。

圖5 力法計算高次超靜定結(jié)構(gòu)

3.1 位移法基本思路

仍以三桿剛架為例，在不計桿件軸向變形的情況下，剛節(jié)點B只有角位移而沒有線位移，根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件，與B點相連的BA端桿、BC端桿以及BD端桿的剛節(jié)點B轉(zhuǎn)角相等，都是φ1。在課堂上討論原超靜定剛架結(jié)構(gòu)在荷載作用下與單跨梁在桿端位移和外荷載共同作用下內(nèi)力和變形狀態(tài)的聯(lián)系，如圖6 所示。

圖6 超靜定三桿剛架及對應(yīng)的單跨梁系

若剛節(jié)點B的轉(zhuǎn)角φ1求出，則各個桿件的內(nèi)力能夠求出嗎？這時原超靜定剛架可以看作單跨超靜定梁系受桿端位移和桿上荷載共同作用。如果φ1已知，單跨梁的桿端內(nèi)力就可以用已經(jīng)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)角位移方程來確定。因此，問題轉(zhuǎn)化成如何求φ1。

3.2 位移法基本原理

位移法基本原理十分抽象，學(xué)生難以理解，講解過程中穿插動畫演示、課堂討論、裝置演示等環(huán)節(jié)，并與力法的基本概念相聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)力法與位移法的對偶性。

仍以超靜定三桿剛架為例，重點闡述位移法基本系（見圖7）形成的關(guān)鍵思想。構(gòu)造的基本系應(yīng)該是可以計算的，而且在基本系上可以把引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形的因素分開來考慮。講解過程中一方面與力法基本系的構(gòu)造思想聯(lián)系起來，另一方面通過前述演示裝置演示原結(jié)構(gòu)和基本系的變形過程，并演示剛臂的“放松”和“鎖住”效果，讓看不見摸不著的“剛臂”變得形象化、可視化，加深學(xué)生的理解。然后，通過比較位移法基本系與原結(jié)構(gòu)的差別，得出剛臂上的附加約束反力FR1=0 這個條件，并根據(jù)疊加原理，得出位移法基本方程，如下所示：

圖7 位移法基本系

式中：k11為系數(shù)項，表示基本系僅受φ1=1 單獨作用時附加約束1 處的約束反力；FR1F為自由項，表示基本系僅受外荷載作用時附加約束1 處的約束反力。此時，超靜定結(jié)構(gòu)求解的靜力平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件均已滿足。

3.3 課堂討論及課外研究設(shè)計

（1）請多個學(xué)生按照自己的構(gòu)思操作演示裝置，并討論結(jié)構(gòu)（原結(jié)構(gòu)或基本系）在不同因素作用下的變形狀態(tài)。

（2）討論圖2（a）中φ1、φ2和Δ3是否均應(yīng)作為位移法基本未知量。通過課堂討論，加深學(xué)生對獨立的位移法基本未知量的理解。同時，要求學(xué)生列出此算例的位移法基本方程，求出位移法基本未知量并作彎矩圖。

（3）成立課外研究興趣小組，到實驗室利用位移法基本原理的實驗裝置做實驗，并記錄實驗數(shù)據(jù)，進(jìn)行誤差分析，提交實驗報告。

4 結(jié) 語

位移法基本原理為結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的最重點和難點，通過自主開發(fā)的演示裝置和實驗裝置，將理論教學(xué)與實驗教學(xué)相聯(lián)系，讓看不見摸不著的抽象理論形象化、直觀化，有效解決了“結(jié)構(gòu)”力學(xué)學(xué)習(xí)中不見“結(jié)構(gòu)”的問題。詳細(xì)介紹了研制的演示裝置和實驗裝置，演示裝置和實驗裝置均可再現(xiàn)位移法超靜定原結(jié)構(gòu)和基本系的變形過程。加深了學(xué)生對2 種狀態(tài)的理解：一是節(jié)點位移和荷載分別單獨作用于基本系的狀態(tài)，二是原結(jié)構(gòu)中荷載引起內(nèi)力和變形的狀態(tài)。最后，闡述了理論與實驗融合的位移法基本原理的具體教學(xué)方法。

通過研制的2 個實驗裝置將抽象的位移法基本系形象化、直觀化，加深了學(xué)生對位移法基本原理的理解，強(qiáng)化了理論與實踐的融合。