2023年新高考Ⅰ卷第22題的解法探究

摘 要：2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷第22題是以解析幾何中的拋物線為背景，求矩形周長的取值范圍問題，考查導數(shù)或者均值不等式的應用.文章從不同角度給出試題的四種解法.

關鍵詞：2023年高考；拋物線；周長；導數(shù)；均值不等式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0016-03

2023年數(shù)學新高考Ⅰ卷的第 22題比較新穎.試題以解析幾何中的拋物線為背景， 考查不等式、函數(shù)最值等內容，是一道綜合性較強的題目，有助于選拔創(chuàng)新型人才.

1 真題再現(xiàn)

題目 在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0，1/2）的距離，記動點P的軌跡為W.

（1）求W的方程;

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明： 矩形ABCD的周長大于33[1-2].

評析 在拋物線上，任意兩點構成的向量可以唯一確定這兩個點的位置，矩形有三個頂點在拋物線上，即有兩條邊對應的向量卡在拋物線上，我們考慮這兩條邊BA，BC的長度與方向. 由于射線BA繞點B逆時針旋轉90°后恰好到射線BC的位置，因此兩邊的方向恰好差90°.我們的思路是考慮一個給定邊長的矩形，能否找到合適的角度，使三個頂點在拋物線上.

3 結束語

本題有一定難度和較好的區(qū)分度， 需要考生有較強的綜合分析能力. 試題將一個邊長可變的矩形搭在拋物線上， 允許它在拋物線上滑動，需要考慮滑動過程中讓矩形周長最小化的問題. 試題需要一定的動態(tài)思維能力，要大致想象滑動過程中矩形各個元素的變化情況， 并找到變化中的不變量.

在試題的思考解答過程中，考生需要不斷地將問題進行等價轉化，或者把問題化歸為已經(jīng)解決的情形.試題極具創(chuàng)新性， 注重考查思維過程， 突出對考生數(shù)學素養(yǎng)的考查， 并且計算量合理， 有利于選拔創(chuàng)新型人才.

參考文獻：

［1］ 劉才華.2023年新高考Ⅰ卷22題的多解與推廣[J].數(shù)理化解題研究，2023（22）：105-108.

[2] 王美蓮.真題再現(xiàn)，解析突破，多解探索，教學建議：以2023年高考新課標全國Ⅰ卷“圓錐曲線壓軸題”為例[J].數(shù)學教學通訊，2023（24）：83-85.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：馬曉娟（1983.10-），女，寧夏人，碩士，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.