求線段比最值問題的方法研究

宋玉海

［摘 要］初中數(shù)學(xué)中，求線段比最值問題難度較大，學(xué)生在解答的過程中可能會遇到一些困難。文章結(jié)合幾個例題，分析探討求線段比最值問題的方法，旨在幫助學(xué)生突破解題難點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

［關(guān)鍵詞］線段比；最值；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0018-04

近幾年，中考數(shù)學(xué)試題中不斷出現(xiàn)關(guān)于線段比最值問題，這類問題難度較大，學(xué)生解答普遍有些困難。解決此類問題可以用弦與直徑的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系、直角三角形斜邊與直角邊的大小關(guān)系、二次函數(shù)的最值性質(zhì)等。

一、利用“直徑是圓中最長的弦”求線段比的最值

當(dāng)圖形中幾個點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等時，則這幾個點(diǎn)在以定點(diǎn)為圓心的圓上，此時可以作出輔助圓，并利用“直徑是圓中最長的弦”求得線段比的最值。

［例1］如圖1所示，等腰直角[△ABC]的斜邊[AB]下方有一動點(diǎn)[D]，[∠ADB=90°]，[BE]平分[∠ABD]交[CD]于點(diǎn)[E]，則[CECD]的最小值是。

分析：如圖2所示，取[AB]的中點(diǎn)[O]，連接[OC]、[OD]、[AE]。由[OA=OB=OC=OD]，得[A]、[C]、[B]、[D]四點(diǎn)共圓，往證點(diǎn)[E]是[△ABD]的角平分線的交點(diǎn)，再證明[CE=CA]為定值，當(dāng)[CD]是直徑時，[CECD]的值最小。

解：如圖2所示，取[AB]的中點(diǎn)[O]，連接[OC]、[OD]、[AE]。∵[∠ACB=∠ADB=90°]，[OA=OB]，∴[OC=OD=12AB]，∴[A]、[C]、[B]、[D]四點(diǎn)共圓，∵[CA=CB]，∴[∠CBA=∠CAB=45°]，∴[∠CDA=∠CBA=45°]，[∠CDB=∠CAB=45° ]，∴[∠CDB=∠CDA]，∴[DE]平分[∠ADB]，∵[BE]平分[∠ABD]，∴點(diǎn)[E]是[△ABD]的角平分線的交點(diǎn)，∴[AE]平分[∠BAD]，∴[∠BAE=∠DAE]，∵[∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE]，[∠CEA=∠EDA+∠EAD=45°+∠DAE]，∴[∠CAE=∠CEA]，∴[CA=CE=定值]，∴當(dāng)[CD]的值最大時，[CECD]的值最小，∴當(dāng)[CD]是直徑時，[CECD]的值最小，最小值[=ACBA=22]，故答案為[22]。

評注：當(dāng)兩個直角三角形的斜邊重合時，這兩個直角三角形的四個頂點(diǎn)一定在同一個圓上，但是直角頂點(diǎn)的位置并不確定。本題通過作出輔助圓，利用“直徑是圓中最長的弦”求得線段比的最小值，體現(xiàn)了輔助圓的價值。

二、利用一元二次方程根的判別式求線段比的最值

當(dāng)線段的長作為一元二次方程的未知數(shù)時，這個一元二次方程一定有實(shí)數(shù)根，由此可以確定根的判別式一定大于或等于0，這樣就建立了關(guān)于未知系數(shù)的不等式，通過求不等式的解集，獲得未知系數(shù)的最值，從而求得線段比的最值。

［例2］如圖3所示，在Rt[△ABC]中，[∠A=90°]，[AB=AC]，點(diǎn)[D]在[AB]上，點(diǎn)[E]在[AC]上，且[AD=CE]，連接[DE]，求[DECD]的最小值。

分析：設(shè)[AB=AC=1]，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出[BC=2]，設(shè)[AD=CE=x]，則[AE=BD=1-x]，過點(diǎn)[D]作[DF⊥BC]于[F]（如圖4），則[△BDF]是等腰直角三角形，得[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=22（x+1）]，[CD=DF2+CF2=x2+1]，得[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，設(shè)[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，得[y]的最大值為[1+52]，即可得出[DECD]的最小值。

解：設(shè)[AB=AC=1 ]，∵[∠A=90°]， [AB=AC ]，∴[△ABC]是等腰直角三角形，[∠B=45°]，∴[BC=2AB=2]，設(shè)[AD=CE=x]，∴[AE=BD=1-x]，過點(diǎn)[D]作[DF⊥BC]于[F]，如圖4所示，則[△BDF]是等腰直角三角形，∴[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=2-22（1-x）=22（x+1） ]，[CD=DF2+CF2=22（1-x）2+22（x+1）2=x2+1 ]，∴[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，設(shè)[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，∵[x]為實(shí)數(shù)，∴[Δ=（-2）2-4y（y-1）≥0]，即[y2-y-1≤0]，∴[1-52≤y≤1+52]，∴[y]的最大值為[1+52]，∴[DECD]的最小值為[2-1+52=5-12]。

評注：本題求線段比的最小值的過程中運(yùn)用了多重知識，首先是假設(shè)線段[AB]、[BD]的值，并表示出[DF]與[CD]的長，然后將問題轉(zhuǎn)至一元二次方程根的判別式，由[x]為實(shí)數(shù)建立一個一元二次不等式。該方法本質(zhì)是解一元二次不等式，這需要運(yùn)用二次函數(shù)、一元二次方程和二次根式的相關(guān)知識。

三、利用銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系求線段比的最值

銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形邊與邊的關(guān)系，因?yàn)榇咕€段最短，所以將斜三角形邊與邊的比轉(zhuǎn)化為直角三角形邊與邊的比，就可以找到斜三角形邊與邊的比的最小值。

［例3］如圖5所示，點(diǎn)[D]為等邊三角形[ABC]內(nèi)一點(diǎn)，且[∠BDC=120°]，則[ADBD]的最小值為 。

分析：如圖6所示，將[△BCD]繞點(diǎn)[C]順時針旋轉(zhuǎn)60°得到[△ACE]，連接[DE]，過點(diǎn)[A]作[AH⊥DE] 于點(diǎn)[H]。證明[∠AEB=60°]，則[AHAE=32]，根據(jù)[ADBD=ADAE≥AHAE]求解即可。

解：如圖6所示，將[△BCD]繞點(diǎn)[C]順時針旋轉(zhuǎn)60°得到[△ACE]，連接[DE]，過點(diǎn)[A]作[AH⊥DE]于[H]?！遊CD=CE]，[∠DCE=60°]，∴[△DCE]是等邊三角形，∴[∠EDC=∠DEC=60°]，∵[∠AEC=∠BDC=120°]，∴[∠AED=60°]，∵[BD=AE]，∴[ADBD=ADAE]，∵[AH⊥DE]，∴[AD≥AH]，∴[ADBD≥AHAE]，∵[∠AHE=90°]，[∠AEB=60°]，∴在Rt[△AHE]中，[AHAE=sin∠AEH=sin60°=32]，∴[ADBD≥32]，∴[ADBD]的最小值為[32]。

評注：本題用旋轉(zhuǎn)法將等邊三角形中的“星形”線段[DA]、[DB]、[DC]轉(zhuǎn)化到同一個三角形[ADE]中，同時也得到[∠AED=60°]，利用“垂線段最短”的幾何性質(zhì)得到[ADBD的最小值是AHAE]，最后利用60°角的正弦值求得線段比的最小值。不難發(fā)現(xiàn)，利用銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系也是求線段比最值的策略之一。

四、利用“弓形高”求線段比的最值

當(dāng)定角對定邊時，可以得到一個輔助圓，在輔助圓中，從弓形各點(diǎn)向弦作垂線段，其中過弓形中點(diǎn)所作的垂線段最長，據(jù)此可以求得線段比的最大值。

［例4］如圖7所示，在[△ABC]中，[∠C=90°]，點(diǎn)[D]是[BC]邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)[B]作[BE⊥AD]交[AD]的延長線于點(diǎn)[E]。若[AC=2]，[BC=4]，則[DEAD]的最大值為 ? ? ? 。

分析：過點(diǎn)[E]作[EF⊥BC]于[F]，推出[△ACD ]∽[△EFD]，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到[DEAD=EFAC]，當(dāng)[OE⊥BC]時，[EF]有最大值，根據(jù)勾股定理得到[AB=25]，由垂徑定理得到[BF=12BC=2]，求得[EF=5-1]，即可得到結(jié)論。

解：如圖8所示，過點(diǎn)[E]作[EF⊥BC]于[F]，∵[∠C=90°]，∴[AC]∥[EF]，∴[△ACD ]∽[△EFD]，∴[DEAD=EFAC]，∵[AE⊥BE]，∴[A]、[B]、[E]、[C]四點(diǎn)共圓。設(shè)[AB]的中點(diǎn)為[O]，連接[OE]，如圖9所示，當(dāng)點(diǎn)[E]是[BC]中點(diǎn)時，[EF]的值最大，此時[E]、[F]、[O]共線，∵[AC=2]，[BC=4]，∴[AB=AC2+BC2=22+42=25]，∴[OE=OB=5]，∵[OE⊥BC]，∴[BF=12BC=2]，∴[OF=OB2-BF2=5-4=1]，∴[EF=OE-OF=5-1]，∴[DEAD=EFAC=5-12]，∴[DEAD]的最大值為[5-12]，故答案為[5-12]。

評注：本題[∠C=∠AEB=90°]，且都對著同一邊[AB]，出現(xiàn)了定角對定邊的現(xiàn)象，所以可以把輔助圓作出來，因?yàn)閇BC]固定，所以弓形[BC]也固定，從弓形[BC]上各點(diǎn)向弦作垂線段，其中垂線段最長，實(shí)際上也就是弓形高，這是求得[DEAD]的最大值的關(guān)鍵。

五、利用二次函數(shù)最值法求線段比的最值

在求線段比的最值的問題中，當(dāng)兩條線段是相似三角形的對應(yīng)邊時，可以轉(zhuǎn)化為另一組對應(yīng)邊的比，另一組對應(yīng)邊通常是一組水平線段的比或一組豎直線段的比。其中線段的長可以用點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差或橫坐標(biāo)的差表示，從而建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)解決問題。

［例5］如圖10所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線[y=ax2+bx+c]與[x]軸交于點(diǎn)[A（-3，0）]，[B（1，0）]兩點(diǎn)，與[y]軸交于點(diǎn)[C（0，3）]，點(diǎn)[P]是拋物線上的一個動點(diǎn)。（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)[P]在直線[AC]上方的拋物線上時，連接[BP]交[AC]于點(diǎn)[D]，當(dāng)[PDDB]的值最大時，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo)及[PDDB]的最大值。

分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，將點(diǎn)[A（-3，0）]，[B（1，0）]，[C（0，3）]代入[y=ax2+bx+c]，即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線[AC]的表達(dá)式為[y=x+3]，過點(diǎn)[P]作[PE]∥[x]軸交直線[AC]于點(diǎn)[E]，設(shè)[P（t，-t2-2t+3）]，則[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，可得[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，由[PE]∥[x]軸，得[△EPD ]∽[△ABD]，進(jìn)而得出[PDDB=PEAB=-t2-3t4=-14t+322+916]，再運(yùn)用二次函數(shù)最值的性質(zhì)即可求得答案。

解：（1）∵拋物線[y=ax2+bx+c]與[x]軸交于點(diǎn)[A（-3，0）]，[B（1，0）]兩點(diǎn)，與[y]軸交于點(diǎn)[C（0，3）]，∴[9a-3b+c=0，a+b+c=0，c=3，]解得[a=-1，b=-2，c=3，]∴該拋物線的表達(dá)式為[y=-x2-2x+3]。

（2）設(shè)直線[AC]的表達(dá)式為[y=kx+n]，則[-3k+n=0，n=3，]解得[k=1，n=3，]∴直線[AC]的表達(dá)式為[y=x+3]，過點(diǎn)[P]作[PE]∥[x]軸交直線[AC]于點(diǎn)[E]，如圖11所示，設(shè)[P（t，] [-t2-2t+3）]，則[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，∴[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，∵[A（-3，0）]，[B（1，0）]，∴[AB=1-（-3）=4]，∵[PE]∥[x]軸，∴[△EPD ]∽[△ABD]，∴[PDDB=PEAB]，∴[PDDB=-t2-3t4=-14t+322+916]，∵[-14<0]，∴當(dāng)[t=-32]時，[PDDB]的值最大，最大值為[916]，此時點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[-32，154]。

評注：本題求線段[PDDB]的最大值，首先利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例將其轉(zhuǎn)化為另一組對應(yīng)邊的比，然后將拋物線上的點(diǎn)[P]表示為（[t]，[-t2-2t+3]），由直線[AC]的表達(dá)式[y=x+3]得點(diǎn)[E]表示為（[-t2-2t]，[-t2-2t+3]），這樣[PE]的長可以用含[t]的代數(shù)式表示，最后建立關(guān)于[t]的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)解答。

六、利用旋轉(zhuǎn)或全等求線段比的最值

在求線段比的最值問題中，如果兩條線段的長都不固定，且都在直角三角形中，那么可以通過旋轉(zhuǎn)或構(gòu)造全等三角形的方法，將這兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比，在轉(zhuǎn)化后的兩條線段中，若其中一條線段的長固定，則只需考慮另一條線段的最值即可。

［例6］如圖12所示，正方形[ABCD]中，[E]在射線[BC]上，連[AE]、[DE]，則[DEAE]的最小值是 。

分析：（1）旋轉(zhuǎn)法。如圖13所示，將[△ADE]繞點(diǎn)[A]順時針旋轉(zhuǎn)90°到[△ABE′]，取[AE]的中點(diǎn)[H]，連接[HB]、[HE′]，由勾股定理得[HE′=52AE]，由斜邊中線性質(zhì)得[BH=12AE]，由三角形三邊關(guān)系得[BE′+BH≥52AE]，轉(zhuǎn)化成[DE≥5-12AE]，從而得[DEAE]的最小值。（2）全等法。如圖14所示，設(shè)[AE=2]，取[AE]中點(diǎn)[M]，連接[BM]，過[A]作[AN⊥AM]，且[AN=AM]，連接[DN]、[NE]，由邊角邊公理得[△BAM ]≌[△DAN]，則[DN=1]，由勾股定理得[NE=5]，由三角形三邊關(guān)系得[DE≥EN-DN]，從而求得[DEAE]的最小值。

? ? ? ?

圖13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖14

解法1：如圖13所示，將[△ADE]繞點(diǎn)[A]順時針旋轉(zhuǎn)90°到[△ABE′]，則[BE′=DE]，[AB=AD]，[AE′=AE]，取[AE]的中點(diǎn)[H]，連接[HB]、[HE′]，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得[∠HAE′=90°]，∴[HE′=AE'2+AH2=AE2+12AE2=52AE]，∵[H]是直角三角形[ABE]斜邊的中點(diǎn)，∴[BH=12AE]，又∵[BE′+BH≥HE′=52AE]，即[DE+12AE≥52AE]，∴[DE≥5-12AE]，∴[DEAE]的最小值為[5-12]。

解法2：如圖14所示，設(shè)[AE=2]，取[AE]中點(diǎn)[M]，連接[BM]，則[BM=12AE=1]，過[A]作[AN⊥AM]，且[AN=AM]，連接[DN]、[NE]，則[△BAM ]≌[△DAN]（SAS），∴[DN=BM=1]，在Rt[△NAE]中，[NE=AN2+AE2=5]，∵[DE≥EN-DN]，∴[DEmin=5-1]，∴[DEAEmin=5-12]。

評注：本題在求解[DEAE]最小值的過程中分別采用了兩種方法：一是旋轉(zhuǎn)法，將題中條件集中在[△AE′H]中，利用三角形三邊關(guān)系求最值；二是全等法，將題中條件集中在[△AEN]中，利用三角形三邊關(guān)系求最值。

總之，求線段比最值的方法歸根結(jié)底就是轉(zhuǎn)化，把所求線段比轉(zhuǎn)化為另一組線段比，然后再把線段比轉(zhuǎn)化為求一條線段的最值，從而求得線段比的最值。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）

1.兩相似正三角形的特征探究

2.兩相似正六邊形的特征探究

3.兩相似一般三角形的特征探究

4.兩相似一般四邊形的特征探究

5.兩相似多邊形的特征：

6.兩相似多邊形的性質(zhì)：

“共生”一詞來源于生物學(xué)，指不同屬種的動植物之間，通過互相利用各自的特性和優(yōu)勢共同生存的狀態(tài)，是指兩種不同生物之間所形成的緊密互利關(guān)系?！肮采币辉~中“共”是共同之意，“生”是生長之意。

2022年4月21日，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，引發(fā)了新一輪的數(shù)學(xué)教學(xué)改革，數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注學(xué)段銜接、單元教學(xué)、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)以及學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)等問題。從2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》到2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》再到2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》），回顧20年的課程改革歷程，2001年提出“雙基”，數(shù)學(xué)教學(xué)開始關(guān)注學(xué)生的成長，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，關(guān)注學(xué)生的情感態(tài)度與價值觀，教與學(xué)的方式開始發(fā)生轉(zhuǎn)換；2011年提出“四基”“四能”，明確數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)基本思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，同時明確提出教學(xué)活動是師生共同參與、交往互動、共同發(fā)展的過程，表明課程目標(biāo)中的過程與結(jié)果同等重要；2022年提出“三會”以及核心素養(yǎng)，改革的重心指向?qū)W科的整體規(guī)劃、協(xié)同推進(jìn)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從小學(xué)、初中到高中連貫起來，選擇引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐，整體把握教學(xué)。

筆者認(rèn)為，不斷修訂課程標(biāo)準(zhǔn)的根源在于社會發(fā)展帶來的學(xué)生學(xué)習(xí)環(huán)境的變化以及社會對教育需求的提升。隨著義務(wù)教育的普及，教育需求從“有”轉(zhuǎn)向“優(yōu)”，進(jìn)一步明確“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人”，優(yōu)化育人藍(lán)圖。從這種意義上來說，數(shù)學(xué)教學(xué)需兼顧教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、學(xué)生的學(xué)習(xí)與思考過程、教師的教學(xué)規(guī)劃與實(shí)施過程。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時更需要關(guān)注學(xué)生、自身和教學(xué)內(nèi)容之間的互動與共生，打造“共生課堂”，以“共生課堂”撬動課堂“生長”。

一、精心設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)前測，實(shí)現(xiàn)學(xué)生與學(xué)習(xí)資源的“共生”

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，預(yù)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一步，也是實(shí)現(xiàn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。但是，學(xué)生的預(yù)習(xí)多停留于對課本的粗略閱讀，對知識的了解浮于表面，沒有深入的思考，更缺乏提出問題的意識和能力，這樣的預(yù)習(xí)不會帶動學(xué)生知識和思維的“生長”。對此，教師精心設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)前測，不僅可以幫助學(xué)生有效閱讀課本知識，還能促進(jìn)學(xué)生深度思考，實(shí)現(xiàn)學(xué)生與學(xué)習(xí)資源的“共生”。

例如，在人教版八年級上冊“軸對稱”的教學(xué)中，為促進(jìn)學(xué)生的有效預(yù)習(xí)，以及實(shí)現(xiàn)學(xué)生與學(xué)習(xí)資源的“共生”，筆者設(shè)計(jì)了預(yù)習(xí)前測理解單。

最短路徑問題前測理解單

1.閱讀以下問題和解答過程。

如圖1所示，在公路m同側(cè)有兩個工廠A、B，現(xiàn)要在公路上建一個倉庫Q，使其到A、B兩個工廠的距離之和最短，倉庫Q應(yīng)建在何處？

某同學(xué)正確畫出了圖形，并寫出了畫圖過程。

解：如圖2所示，①畫出點(diǎn)[A]關(guān)于公路[m]的對稱點(diǎn)[A1]；②連接[A1]與[B]，直線[A1B]與公路[m]交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為倉庫[Q]所在的位置，此時倉庫Q到[A]、[B]兩工廠距離之和最短。

請你回答：這位同學(xué)斷定倉庫應(yīng)建在“直線[A1B]與公路[m]的交點(diǎn)[Q]”的主要依據(jù)是（）。

A.垂線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.兩點(diǎn)之間，直線最短

D.兩點(diǎn)之間，線段最短

2.如圖3所示，直線[l]是一條河，[P]、[Q]兩地在河的同側(cè)，欲在l上的某點(diǎn)[M]處修建一個水泵站，向[P]、[Q]兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）。

A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B

C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D

3.如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，4），B（4，2），在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）。

A.（-2，0）? ? ? ? ? ?B.（4，0）

C.（2，0）? ? ? ? ? ? ?D.（0，0）

本節(jié)內(nèi)容較抽象，學(xué)生在閱讀理解課本內(nèi)容時有一定的難度，甚至有不少學(xué)生在上完新課后可能仍對其中涉及的概念和原理感到困惑，所以通過設(shè)計(jì)前測理解單，幫助學(xué)生有目的地閱讀，更能幫助學(xué)生逐步深入掌握本節(jié)內(nèi)容。教師還錄制了微視頻供學(xué)生結(jié)合課本內(nèi)容一起學(xué)習(xí)。通過微視頻學(xué)習(xí)，學(xué)生了解如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小值問題， 即“將軍飲馬問題”，理解通過軸對稱實(shí)現(xiàn)將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問題，感悟轉(zhuǎn)化思想， 理解如何通過邏輯推理證明所求距離最短，體會“任意”在數(shù)學(xué)證明中的重要作用。

二、巧妙創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生的“共生”

《課標(biāo)》指出，選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問題提出，注重發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，教師不斷思考如何創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境和合理的問題，以引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生知識和思維的“生長”。為此，教師需要更深入地探索數(shù)學(xué)知識與生活的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)知識在生活中的運(yùn)用。教師要用數(shù)學(xué)的眼光觀察和思考生活中的問題，并將問題與所教授的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密銜接，從而引出課堂學(xué)習(xí)的內(nèi)容。教師的思考與問題設(shè)計(jì)不僅有利于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與思考，還有利于提升教師的教學(xué)能力，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。

例如，在人教版九年級上冊“數(shù)據(jù)的收集與整理”單元中的“加權(quán)平均數(shù)”的內(nèi)容教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)超市購物的情境，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活中的問題，促進(jìn)學(xué)生知識和思維的“生長”。

活動1：情境引入

為歡度國慶，同學(xué)們準(zhǔn)備開展“迎國慶”主題班會，需要購買10斤果凍。超市有果肉、乳酸兩種果凍，果肉果凍每斤20元，乳酸果凍每斤15元。為滿足大家的不同口味，同學(xué)們可以怎樣搭配呢？

思考：這幾種購買方案的平均單價一樣嗎？如果不一樣，哪種購買方案的平均單價更低呢？為什么？

[方案 果肉果凍20元/斤 乳酸果凍15元/斤 平均單價（元/斤） ① 1 9 ② 4 6 ③ 3 7 ④ 2 8 ⑤ 5 5 ⑥ W1 W2 ]

教師創(chuàng)設(shè)問題情境，并以問題串的形式呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生在實(shí)際問題中自己設(shè)定購買方案，并發(fā)現(xiàn)各個購買方案的平均單價的不同。學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出合理猜想。學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可以猜想第①種購買方案的平均單價可能最低，從中體會到由于果凍比重的不同導(dǎo)致平均單價的不同，由生活實(shí)際引出加權(quán)平均數(shù)，使學(xué)生快速投入數(shù)學(xué)活動中。讓學(xué)生通過猜想、觀察體會果凍的重量對果凍的平均價格的影響，使學(xué)生初步體會加權(quán)平均數(shù)的“權(quán)”作用。

活動2：明晰概念

（1）第①種購買方案的平均單價是多少？如何計(jì)算？有哪些不同的計(jì)算方法？

（2）其他購買方案的平均單價是多少？

讓學(xué)生獨(dú)立分析第①種購買方案中的平均單價。

教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生可能提出的不同解法，引導(dǎo)學(xué)生比較兩種解法的區(qū)別，選擇最優(yōu)方法，給予肯定，并鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要大膽猜想、仔細(xì)驗(yàn)證。在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出問題，讓學(xué)生用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)計(jì)算來驗(yàn)證猜想的正確性，并通過解題過程讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，讓學(xué)生清楚加權(quán)平均數(shù)的大小不僅受到各組數(shù)據(jù)值的大小的影響，而且受到各組值出現(xiàn)次數(shù)多少的影響。

又如在湘教版八年級上冊“平方根”的教學(xué)中，教師通過地板磚的鋪設(shè)實(shí)例引入教學(xué)內(nèi)容，并圍繞學(xué)習(xí)任務(wù)，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律的素材開展教學(xué)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

問題：某家庭在裝修兒童房時需鋪地磚10.8 m2，剛好用去正方形的地磚30塊。你能算出每塊地磚的邊長是多少嗎？

學(xué)生思考并作答。

師：如何計(jì)算正方形的邊長？

教師展示學(xué)生的思考過程，并強(qiáng)調(diào)此題是已知面積求邊長。

師：如果每個正方形的面積為1、4、9時，邊長又是多少？

學(xué)生思考并作答，教師強(qiáng)調(diào)計(jì)算出邊長的依據(jù)。

師：如果每個正方形的面積為5 m2，邊長又是多少？如果每個正方形的面積為a m2，邊長又是多少？

讓學(xué)生體驗(yàn)已知一個數(shù)的平方求這個數(shù)的過程，為歸納平方根的概念做好鋪墊，同時提出問題，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

對于比較抽象的函數(shù)概念的引入，學(xué)生很難體會變量之間的對應(yīng)關(guān)系。對此，教師可以選擇國慶假期的閱兵式的情境，讓學(xué)生體會變量之間的對應(yīng)關(guān)系，引發(fā)學(xué)生的思考。

問題情境：

1.請同學(xué)們觀看國慶閱兵的視頻，觀察視頻中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象并提出數(shù)學(xué)問題。

生1：視頻中的數(shù)學(xué)問題是士兵踢正步時速度不變，只是踢正步的步子數(shù)和路程在變化，哪些是變量？它們之間有什么關(guān)系？

教師結(jié)合學(xué)生的回答列表：

[步子數(shù)[x] 路程[y] 1 75 2 150 3 225 [?]? ? ? ? ? ? ? ? ? [?]? ? ? ? ? ? ]

提問：剛才提出的數(shù)學(xué)問題中哪些是常量，哪些是變量？這些變量是怎么變化的？

2.生活中這樣的問題很多，請同學(xué)們再舉一些生活中含有變量的實(shí)例。

學(xué)生展示生活中含有變量的實(shí)例，討論：常量有哪些？變量有幾個？分別是哪些變量？它們之間有什么關(guān)系？ 這些變量是怎樣變化的？

從生活入手，讓學(xué)生學(xué)會觀察生活中的數(shù)學(xué)問題，以精準(zhǔn)而高效的方式指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，隨后讓學(xué)生回顧舊知識，并分享個人實(shí)例。這樣，既復(fù)習(xí)了上節(jié)課的內(nèi)容又引入了本節(jié)課的內(nèi)容，同時提高學(xué)生把所學(xué)數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界相聯(lián)系的意識和能力，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

三、擴(kuò)大思維空間，實(shí)現(xiàn)學(xué)生與學(xué)生的“共生”

教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體。課程實(shí)施過程中，教師需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析與拆解、重構(gòu)處理，通過學(xué)習(xí)活動讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)，從而把握其價值與意義。學(xué)生通過參與學(xué)習(xí)活動，與同伴協(xié)作交流，在收獲知識的同時，擴(kuò)大了思維的空間，提升了核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)了思維的生長。

例如，人教版九年級下冊“相似三角形”一節(jié)，教材只出示一個探究兩個相似的正三角形和兩個相似的正六邊形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角的關(guān)系的問題，并不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究問題從特殊到一般、從簡單到復(fù)雜的過程，因此不利于學(xué)生之間的有效學(xué)習(xí)與交流。為此，教師就要將一個大的問題拆解成幾個小問題，從特殊的正三角形出發(fā)，研究相似三角形的邊、角特征，然后再擴(kuò)充到較復(fù)雜的相似正六邊形的邊、角特征，在研究了邊、角特殊的多邊形后（如圖5），讓學(xué)生討論邊與角一般的三角形、四邊形、多邊形，再一次體會從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的數(shù)學(xué)分析過程，從而體會研究數(shù)學(xué)問題的基本方法和思路， 落實(shí)“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的目標(biāo)。

[1.兩相似正三角形的特征探究

2.兩相似正六邊形的特征探究

3.兩相似一般三角形的特征探究

4.兩相似一般四邊形的特征探究

5.兩相似多邊形的特征：

6.兩相似多邊形的性質(zhì)： ]

四、堅(jiān)持教學(xué)反思，實(shí)現(xiàn)教師技能的“生長”

教學(xué)是一門充滿未知色彩的藝術(shù)，即使一節(jié)課從備課的準(zhǔn)備到課堂的呈現(xiàn)，教師都做了充分的準(zhǔn)備和進(jìn)行了仔細(xì)的打磨，但由于課堂上學(xué)生群體的不同，出現(xiàn)的問題也不盡相同。這就需要教師不斷根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，結(jié)合教材中的知識體系，堅(jiān)持進(jìn)行每一節(jié)課的課后教學(xué)反思。通過反思，思考教學(xué)內(nèi)容，調(diào)整教學(xué)的方式和方法，這樣不僅能更有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，還能促進(jìn)教師對教學(xué)內(nèi)容的理解和把握，提高教師的教學(xué)技能，實(shí)現(xiàn)教師的專業(yè)發(fā)展。

課堂的“生長力”直接決定了課堂的實(shí)效。教師需要精心設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)前測，巧妙創(chuàng)設(shè)情境，有效設(shè)計(jì)活動，以擴(kuò)大學(xué)生的思維空間，努力實(shí)現(xiàn)學(xué)生與學(xué)習(xí)資源、教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的“共生”。通過教師的教學(xué)反思，實(shí)現(xiàn)教師技能的“生長”，讓教師的“生長”推動學(xué)生的成長，讓學(xué)生的成長帶動教師的“生長”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)課堂的“共生”。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 湯虹.指向初中生數(shù)學(xué)概念理解的數(shù)學(xué)文化融入研究［D］.寧波：寧波大學(xué)，2022.

［2］? 陳江紅.渝中區(qū)“共生課堂”課時教學(xué)案例設(shè)計(jì)：一元二次方程及解法［J］.進(jìn)展，2020（23）：73-75.

［3］? 張勇.在體驗(yàn)中走向共生：初中數(shù)學(xué)共生課堂體驗(yàn)式教學(xué)的嘗試與思考［J］.理科考試研究，2017（8）：35-36.

［4］? 丁兆全.初中數(shù)學(xué)共生課堂體驗(yàn)式教學(xué)的嘗試與思考［J］.新課程教學(xué)（電子版），2020（6）：77.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）