立體幾何的能力考查及備考策略

鄭超超

新課程改革后，高考由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)化，因此高考命題把對學(xué)生能力的考查放在了首要位置，其中主要包括空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力．立體幾何與空間向量是高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，承載著能力考查的重任．下面以教材為依托，分析能力培養(yǎng)目標(biāo)及備考策略．

１ 立足教材

教材是高考命題的依據(jù)，也是教師教學(xué)、學(xué)生備考的依據(jù)，因此我們要認(rèn)真研讀，透徹理解，把握備考方向．教材中立體幾何、空間向量的重點內(nèi)容主要包括幾何體的體積、面積，空間點、線、面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，應(yīng)用空間向量求空間角與空間距離等．

２ 培養(yǎng)能力

２.１ 空間想象能力

考題中所涉及的幾何體大部分是以直觀圖的形式體現(xiàn)的，但也有些題目沒有給出圖形，需要我們自己去構(gòu)圖輔助解答，這就對考生的空間想象能力提出了更高的要求．

例１ 如圖１所示，正方形ABCD 和正方形CDEF所在的平面互相垂直．Ω１ 是正方形ABCD 及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合，Ω２ 是正方形CDEF 及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)AB＝１，給出下列三個結(jié)論：

① ?M ∈Ω１，?N ∈Ω２，使MN ＝２;

② ?M ∈Ω１，?N ∈Ω２，使EM ⊥BN ;

③ ?M ∈Ω１，?N ∈Ω２，使EM 與BN 所成角為６０°．

其中所有正確結(jié)論為______．

解析

結(jié)合題目圖形特征構(gòu)造正方體，如圖２ 所示，當(dāng)點M 與B 重合，N 與E 重合，MN 為正方體的對角線，其最大值為３＜２，所以命題①錯誤．

當(dāng)點M 與D 重合，點N 與C 重合時，有EM ⊥BN ，所以命題②正確．

當(dāng)點M 與C 重合，點N 與D 重合時，BN ∥EH ，EH 與EC 所成角為６０°，則EM 與BN 所成角為６０°，所以命題③正確．

綜上，正確的命題為②③．

２.２ 推理論證能力

空間中點、線、面位置關(guān)系的判斷是高考命題的?？夹问剑祟悊栴}的處理需要考生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C能力．

例２ 如圖３所示，在四棱錐PＧABCD 中，AB ∥CD ，平面PAB ∩平面PCD ＝m ，證明：CD ∥m ．

證明 因為AB ∥CD ，AB ?平面PAB，CD ?平面PAB，所以CD ∥平面PAB．又CD ? 平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝m ，所以CD ∥m ．

２.３ 運算求解能力

空間向量是處理立體幾何問題的重要途徑，特別是在空間角和空間距離等問題的求解中具有廣泛應(yīng)用．利用空間向量的坐標(biāo)運算，將幾何問題代數(shù)化，這一過程有效體現(xiàn)了高考對考生運算求解能力的考查．

例３ 如圖４所示，在長方體ABCDＧA１B１C１D１ 中， 底面ABCD 是正方形，點E 在棱AA１上，BE⊥EC１．

（１）證明：BE⊥平面EB１C１;

（２）若AE ＝A１E，求二面角BＧECＧC１ 的正弦值．