中心節(jié)點距離可控的加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò)一致性分析

李達(dá)權(quán),孫偉剛

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

目前,作為多智能體系統(tǒng)中一種典型的集體行為,一致性問題因其在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用獲得了越來越多的關(guān)注。在多智能體系統(tǒng)的一致性過程中,系統(tǒng)可能會受到外部干擾[1]。為了度量系統(tǒng)的抗干擾能力,文獻(xiàn)[2]引入網(wǎng)絡(luò)一致性的概念并證明了網(wǎng)絡(luò)一致性完全由網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜決定。由于拉普拉斯矩陣的特征值通常受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定[3],因此很難得到由所有非零特征值的倒數(shù)之和量化的網(wǎng)絡(luò)一致性的精確結(jié)果。而對于若干類確定性網(wǎng)絡(luò),目前已經(jīng)取得了很多解析結(jié)果,如文獻(xiàn)[4]通過平均首次通達(dá)時間研究了加權(quán)Cayley網(wǎng)絡(luò)一階一致性,證明了網(wǎng)絡(luò)一致性關(guān)于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模遵循四種類型的冪律;文獻(xiàn)[5]探討了多個領(lǐng)導(dǎo)者設(shè)置的領(lǐng)導(dǎo)-追隨者網(wǎng)絡(luò)一致性解析求解問題和領(lǐng)導(dǎo)者數(shù)目對網(wǎng)絡(luò)一致性的影響;文獻(xiàn)[6]研究了一類含有中心節(jié)點的單圈圖的一致性,證明了中心節(jié)點的度差異越大一致性越好,但并未研究中心節(jié)點的距離和網(wǎng)絡(luò)權(quán)重因子對網(wǎng)絡(luò)一致性的影響。為此,構(gòu)造一類具有可控中心節(jié)點距離的加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò)為研究對象,利用其規(guī)則的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),得到網(wǎng)絡(luò)一致性關(guān)于中心節(jié)點的距離和權(quán)重因子的解析表達(dá)式,探討中心節(jié)點的距離和網(wǎng)絡(luò)權(quán)重因子對網(wǎng)絡(luò)一致性的影響。

1 預(yù)備知識

1.1 網(wǎng)絡(luò)一致性的定義

在一階一致性問題中,在時間t處,每個節(jié)點i的狀態(tài)用xi(t)來表示,整個系統(tǒng)在時間t的狀態(tài)由向量x(t)∈RN給出。每個節(jié)點狀態(tài)都會受到隨機干擾,目標(biāo)是讓節(jié)點在其當(dāng)前狀態(tài)的平均值上保持一致。該系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下:

(1)

式中,L是拉普拉斯矩陣,ω(t)是一個高斯白噪聲隨機過程且是一個N維零均值向量。在系統(tǒng)不存在噪聲情況下,系統(tǒng)每個節(jié)點狀態(tài)達(dá)到一致;在有噪聲情況下,系統(tǒng)的各節(jié)點無法達(dá)到完全一致,而是在平均值處波動。為了測量這些波動的方差,引入網(wǎng)絡(luò)一致性來量化這些波動的穩(wěn)態(tài)方差,也是對含噪聲魯棒性的度量。

網(wǎng)絡(luò)一致性定義為各個節(jié)點的狀態(tài)偏離所有節(jié)點平均值的平均穩(wěn)態(tài)方差,即

定義系統(tǒng)(1)的輸出為

y(t)=Jx(t)

(2)

(3)

引理設(shè)p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0是一個多項式函數(shù),n≥2且a0≠0。則

(4)

式中,λi(i=1,2,3,…,n)表示方程p(x)=0的根[7]。

證明：

由于λi(i=1,2,3,…,n)為方程p(x)=0的n個根,

2 加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò)一致性的精確計算

2.1 加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò)

由于拉普拉斯矩陣的特征值通常受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所決定,因此很難獲得由所有非零特征值的倒數(shù)之和量化的網(wǎng)絡(luò)一致性的精確結(jié)果。因此選取一類含有兩個中心節(jié)點的加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò),其距離用d來表示,中心節(jié)點的度由其所連接的節(jié)點數(shù)目m和n控制,網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為N=m+n+d+1。由于這類加權(quán)網(wǎng)絡(luò)具有規(guī)則的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以得到網(wǎng)絡(luò)一致性關(guān)于中心節(jié)點距離和權(quán)重因子的解析解。圖1給出了該網(wǎng)絡(luò)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖1 一類加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò),紅色圓圈表示中心節(jié)點,紅色實線表示加權(quán)

2.2 網(wǎng)絡(luò)一致性的精確計算

定理網(wǎng)絡(luò)一致性解析表達(dá)式為

從表3中數(shù)據(jù)可以看出，該支承輥試樣化學(xué)成分中的碳含量較標(biāo)準(zhǔn)值稍低，雖然不符合JB/T4120—2006《大型鍛造合金鋼支承輥》標(biāo)準(zhǔn)中70Cr3Mo鋼的成分要求，但碳含量基本接近標(biāo)準(zhǔn)的下限值，不是導(dǎo)致支承輥剝落掉塊的主要原因。

證明：根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),其拉普拉斯矩陣L表示如下:

式中,I為一個m+n階的單位矩陣以及

為了得到拉普拉斯矩陣L的特征多項式P(λ)的結(jié)果,經(jīng)過行列式初等變換,得

(5)

(6)

由式(6)可得如下遞歸關(guān)系:

Uk(λ)=(λ-2)Uk-1(λ)-Uk-2(λ),k≥3

(7)

式中,U1(λ)=λ-2,U2(λ)=λ2-4λ+3為初始條件。由式(7)得,

式中,Uk(0),Uk(1),Uk(2)分別為λ的常數(shù)項,一次項系數(shù)和二次項系數(shù)。

結(jié)合式(3)和式(4)網(wǎng)絡(luò)一致性解析表達(dá)式為

3 網(wǎng)絡(luò)一致性的魯棒性分析

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)一致性解析表達(dá)式H,通過Matlab數(shù)值模擬得到圖2、圖3和圖4。研究分析了以下三方面內(nèi)容:一、圖2為權(quán)重因子r對網(wǎng)絡(luò)一致性H的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)權(quán)重越大時,一致性越好;二、圖3一致性H關(guān)于兩個中心節(jié)點之間的距離d的關(guān)系,表明距離越短,一致性越好;三、圖4為中心節(jié)點所連節(jié)點數(shù)目m對一致性H的作用,當(dāng)固定一個中心節(jié)點所連節(jié)點數(shù)目時,則另一個中心節(jié)點所連節(jié)點數(shù)目越少,即初始節(jié)點數(shù)目越少,一致性越好。另外,固定網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N以及距離d和權(quán)重r不變時,可以得到中心節(jié)點的度相差越大,即|m-n|r越大時,網(wǎng)絡(luò)一致性越好,對噪聲更具魯棒性。

圖2 網(wǎng)絡(luò)一致性H關(guān)于權(quán)重r的分布圖

圖3 網(wǎng)絡(luò)一致性H關(guān)于兩個中心節(jié)點之間的距離d的分布圖

圖4 網(wǎng)絡(luò)一致性H關(guān)于中心節(jié)點所連節(jié)點數(shù)目m的分布圖

4 結(jié)束語

選取一類加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò)為研究對象,研究了可控中心節(jié)點距離的加權(quán)樹狀網(wǎng)絡(luò)一致性,通過計算得到了網(wǎng)絡(luò)一致性的解析表達(dá)式并分析各網(wǎng)絡(luò)參數(shù)分別對網(wǎng)絡(luò)一致性的影響。由于拉普拉斯特征值與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān),權(quán)重因子在不同位置處及多個中心節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)一致性分析目前正在研究當(dāng)中。