基于改進(jìn)積分不等式的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李紫薇,姜偕富,李敬瑩,李佳峰,馬雪樂(lè)

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

時(shí)滯在實(shí)際系統(tǒng)中十分常見(jiàn),如數(shù)字控制系統(tǒng)、氣動(dòng)系統(tǒng)中的長(zhǎng)傳輸線(xiàn)、制造過(guò)程和遠(yuǎn)程控制系統(tǒng)中都存在時(shí)滯,時(shí)滯已成為致使系統(tǒng)性能差甚至不穩(wěn)定的主要原因之一。在過(guò)去的幾十年里,由于時(shí)滯在許多實(shí)際系統(tǒng)中都會(huì)出現(xiàn),導(dǎo)致一些不適當(dāng)?shù)男阅堋⒄袷幧踔敛环€(wěn)定,人們對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析付出了大量的努力,主要集中在以下幾個(gè)方向:一種方法是找到一個(gè)合適的L-K泛函;例如,LKF延遲分區(qū)方法[1],LKF增強(qiáng)項(xiàng)[2],LKF三重積分及四重積分項(xiàng)[3]等等。另一種方法是通過(guò)發(fā)展各種不等式技術(shù),如Jensen不等式[4]、基于Wirtinger積分不等式[5]、Bessel-Legendre不等式[6]等。此外,為了進(jìn)一步提高求解LMI的自由度,在LKF的導(dǎo)數(shù)中經(jīng)常引入額外的自由加權(quán)矩陣技術(shù),如零等式[7]、自由加權(quán)矩陣[8]等。其中,Bessel-Legendre積分不等式可以極大程度地減少所得到的結(jié)果的保守性。對(duì)于恒延遲系統(tǒng),Bessel-Legendre積分不等式有得到解析解的潛力。然而,它在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用中存在一個(gè)缺點(diǎn),即它所得到的邊界依賴(lài)于互凸組合。對(duì)于具有時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng),通過(guò)引入松弛矩陣,Lee等人提出了一個(gè)affine Bessel-Legendre積分不等式(ABLI)[9]。然而其松弛項(xiàng)是與延遲無(wú)關(guān)的,其中的自由度還沒(méi)有得到充分的反映,這導(dǎo)致了一定的保守性。受參考文獻(xiàn)[10]的啟發(fā),本文通過(guò)插入一對(duì)凸參數(shù),給出了一個(gè)基于松弛矩陣的復(fù)合積分不等式(CSMBII)。該不等式有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

(1)避免了Bessel-Legendre積分不等式中時(shí)滯變量h(t)出現(xiàn)在分母中這一情況,能更方便地處理時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)。

(2)解決了ABLI積分不等式中的松弛矩陣與時(shí)變時(shí)延無(wú)關(guān)的問(wèn)題[11],使得CSMBII能進(jìn)一步捕獲時(shí)變時(shí)延和系統(tǒng)狀態(tài)之間的耦合信息。在此基礎(chǔ)上,針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)導(dǎo)出了一種新的穩(wěn)定性判據(jù)。通過(guò)兩個(gè)數(shù)值例子,驗(yàn)證了該準(zhǔn)則的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮以下線(xiàn)性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng):

(1)

引理1(Bessel-Legendre積分不等式)[6]對(duì)于任意正定矩陣R和任意一個(gè)連續(xù)可微函數(shù){x(s)|s∈[a,b]},對(duì)于所有整數(shù)N,以下積分不等式成立:

(2)

引理2(ABLI)[9]給定對(duì)稱(chēng)矩陣R>0,任意矩陣X和一個(gè)連續(xù)可微函數(shù){x(s)|s∈[a,b]},對(duì)于所有整數(shù)N,以下積分不等式成立:

(3)

其中:

引理3[12]對(duì)于一個(gè)給定的二次函數(shù)f(y)=a2y2+a1y+a0,其中ai∈R,i=0,1,2,且0≤y=h(t)≤h,如果滿(mǎn)足以下條件:

(1)f(0)<0;(2)f(h)<0;(3)-h2a2+f(0)<0;

則有:f(y)<0,其中y∈[0,h]。

引理4(CSMBII) 對(duì)于滿(mǎn)足系統(tǒng)(1)的時(shí)滯變量h(t),任意正定矩陣Ri(i=1,2),任意連續(xù)可微函數(shù){x(t)|t∈[-h,0]},及松弛矩陣Xi(i=1,2),存在參數(shù)α,β∈[0,1],且滿(mǎn)足α+β=1,使得下面的不等式成立:

(4)

證明根據(jù)引理2和引理3可得:

注2:從式(4)中可以看出,Bessel-Legendre不等式前的分?jǐn)?shù)由于參數(shù)β的存在可以被消去,進(jìn)而可以避免時(shí)滯變量h(t)出現(xiàn)在分母中的情況,使得該不等式能更方便地用來(lái)處理時(shí)滯系統(tǒng);同時(shí),可以看出(X1H+X2H)這一松弛量由于參數(shù)α的存在與時(shí)滯變量h(t)相關(guān),使得其可以更多地捕獲時(shí)滯變量與系統(tǒng)狀態(tài)之間的耦合信息,故引理4綜合了引理2與引理3的優(yōu)點(diǎn),預(yù)期可以得到一個(gè)保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。后續(xù)將圍繞引理4給出一個(gè)系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則并通過(guò)數(shù)值示例來(lái)說(shuō)明運(yùn)用該不等式的優(yōu)勢(shì)。

2 主要結(jié)果

(5)

(6)

(7)

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。其中:

G2[h(t)]=[h(t)e7e1-e2h(t)(e1-e7)h(t)(e7-e2)],

E1=[e1e2e7e9],E2=[e2e3e8e10],

ei=col{0(i-1)n×n,In,0(10-i)n×n},i=1,2,…,10.

證明首先,構(gòu)造如下形式的L-K泛函,

式中:

基于系統(tǒng)(1)的軌跡求取V(t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù):

其中:

由引理4(N=2)易知:

綜上,對(duì)V(t)求導(dǎo)可得:

當(dāng)

(8)

3 數(shù)值算例

本節(jié)通過(guò)兩個(gè)例子驗(yàn)證了本文提出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則的有效性。

首先,針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)(1)考慮了以下兩個(gè)系統(tǒng)模型,這些系統(tǒng)模型在許多文獻(xiàn)[9,11,13,14,15]中被廣泛用于驗(yàn)證穩(wěn)定性準(zhǔn)則的有效性。

例1使用文獻(xiàn)[13]中的系統(tǒng)模型:

(9)

令μ=-μ1=μ2,運(yùn)用定理1計(jì)算了不同μ={0.1,0.2,0.5,0.8}的時(shí)滯系統(tǒng)(1)的最大時(shí)滯上界h,將本文所得最大時(shí)滯上界h與文獻(xiàn)[9,13,14]對(duì)比,得到的結(jié)果如表1所示。

表1 例1中具有不同μ值的最大允許時(shí)滯上界h

對(duì)于給定的μ,時(shí)滯系統(tǒng)(1)的最大時(shí)滯上界h如表1所示,顯然,本文定理1所得的結(jié)果要優(yōu)于文獻(xiàn)[3,5,12],且本文定理引入的決策變量相對(duì)文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[5]而言更少,在一定程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度。

例2使用文獻(xiàn)[5]中的系統(tǒng)模型:

(10)

令μ=-μ1=μ2,運(yùn)用定理1計(jì)算了不同μ={0.1,0.2,0.5,0.8}的線(xiàn)性系統(tǒng)(1)的最大時(shí)滯上界h,將本文所得最大時(shí)滯上界h與文獻(xiàn)[2,5,14]對(duì)比,得到的結(jié)果如表2所示。

表2 例2中具有不同μ值的最大允許時(shí)滯上界h

對(duì)于給定的μ,如表2所示,本文定理1得到的最大允許時(shí)滯上界h最大。因?yàn)楸疚倪\(yùn)用了基于松弛矩陣的復(fù)合積分不等式(CSMBII),并在此基礎(chǔ)上在積分泛函中補(bǔ)充了兩對(duì)積分項(xiàng)的修正L-K泛函,考慮了更多的時(shí)滯相關(guān)信息,有效減小了結(jié)果的保守性。

通過(guò)上述2個(gè)數(shù)例的驗(yàn)證可知,使用CSMBII的定理1可以得到較小保守性的穩(wěn)定性結(jié)果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了時(shí)變時(shí)滯線(xiàn)性系統(tǒng)的相關(guān)穩(wěn)定性問(wèn)題。給出了一個(gè)基于松弛矩陣的復(fù)合積分不等式(CSMBII),基于該不等式,構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)腖-K泛函,基于新的L-K泛函和引理4,導(dǎo)出了一個(gè)具有較小保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。最后,給出了兩個(gè)數(shù)值例子,證明了該方法的有效性。但是,本文并未考慮非線(xiàn)性因素,下一步將本文方法應(yīng)用于非線(xiàn)性時(shí)滯系統(tǒng)的相關(guān)研究中。