初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)路徑

勾洪飛

幾何直觀是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識點、解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。教師在教學(xué)中應(yīng)該重視對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)與發(fā)展，精準(zhǔn)解讀新課標(biāo)，明確初中數(shù)學(xué)幾何直觀的概念及主要表現(xiàn)形式。而后基于基本內(nèi)涵，探尋培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的基本路徑，兼顧整體性與發(fā)展性，推進(jìn)實現(xiàn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展，為他們的高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力支撐?；诖耍疚恼撌隽顺踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的基本概念，分析了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的價值，從直觀表征、直觀分析、直觀解釋及直觀發(fā)現(xiàn)四個角度論述了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的路徑，旨在讓學(xué)生有更好的發(fā)展。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出了空間觀念與幾何直觀是貫穿義務(wù)教育各學(xué)段的兩個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。由此觀之，幾何直觀能力在支撐學(xué)生展開高質(zhì)量、持續(xù)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用。它不僅能夠為學(xué)生高效學(xué)習(xí)幾何知識提供思維、技能方面的助力，還能驅(qū)動學(xué)生更好地理解并洞察其它抽象的數(shù)學(xué)知識點，激勵學(xué)生多元思考問題，探究知識的本質(zhì)與內(nèi)核。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，為學(xué)生高質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實踐探究提供便利。

（一）概念內(nèi)涵

幾何直觀主要指的是運用圖表或圖形分析問題的意識與習(xí)慣。具體而言，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，根據(jù)自己感知到的幾何元素及其組成部分完成遷移，嘗試用數(shù)學(xué)語言描述自己遷移認(rèn)知與理解的過程，同時能夠畫出相應(yīng)的圖形，表示數(shù)與形之間的關(guān)系，構(gòu)建知識、問題與圖形之間的直觀模型，以此有效把握知識與問題的本質(zhì)與內(nèi)核，具有較為清晰的分析思路，實現(xiàn)對知識、問題的高度抽象與概括。綜合分析可知，教師可以從課前、課中、課后各個環(huán)節(jié)出發(fā)，思考選擇符合學(xué)生階段變化和社會發(fā)展的教學(xué)理念、內(nèi)容和方式，將幾何直觀這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到初中數(shù)學(xué)教學(xué)之中。

（二）初中階段幾何直觀的表現(xiàn)形式

小學(xué)階段的幾何直觀更加重視學(xué)生空間想象，換言之，重視學(xué)生空間觀念的形成與發(fā)展。高中階段的幾何直觀則是讓學(xué)生在空間想象基礎(chǔ)上逐漸過渡至直觀想象，減少學(xué)生對空間觀念的依賴，從邏輯層面完成直觀想象。從整體角度來分析，初中階段的幾何直觀是要以演繹推理為主線，依據(jù)自身的推理經(jīng)驗，經(jīng)歷從感悟演變成概念的過程，形成初步的幾何直覺，為高中階段的直觀想象奠定基礎(chǔ)。

從細(xì)節(jié)角度來分析，學(xué)生的幾何直觀表現(xiàn)為以下幾個方面：其一，學(xué)生能夠通過尺規(guī)作圖、折紙、剪拼等一系列實踐操作活動，初步感知圖形的結(jié)構(gòu)特征；其二，學(xué)生能夠利用圖形表示、理解并解釋幾何概念與命題，參與初步的幾何推理活動；其三，學(xué)生能夠利用變換、坐標(biāo)表示圖形的運動與性質(zhì)，感悟數(shù)形結(jié)合的思想；其四，學(xué)生能夠利用圖表工具表示并分析具體問題情境中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建模型，達(dá)成問題的解決。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)價值

（一）有利于輔助學(xué)生理解抽象概念

教師在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，能幫助學(xué)生理解抽象概念，為學(xué)生的概念解讀提供良好的思考機會。初中階段學(xué)生已經(jīng)具備了一定的思辨性思維，他們能夠基于自身的思維認(rèn)知基礎(chǔ)，對抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生獨特的見解。這時候教師基于學(xué)生產(chǎn)生的思考，有意識地啟發(fā)、點撥、引領(lǐng)學(xué)生從中總結(jié)相同之處和不同之處，探尋知識的規(guī)律與本質(zhì)，參與直觀表征等過程，持續(xù)深化直觀的數(shù)學(xué)觀念。

（二）有利于引領(lǐng)學(xué)生探尋問題本質(zhì)

問題是驅(qū)動學(xué)生高效探究知識的“催化劑”，教師培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，能驅(qū)動學(xué)生從不同的角度探尋問題的本質(zhì)，引發(fā)他們的多元思考。學(xué)生以較強的幾何直觀能力為支點，能讓以往單一層次維度的思考逐漸延伸至多元層次維度的思考，看待問題也將從點及面，逐漸趨向問題本質(zhì)。這種思考過程能讓學(xué)生經(jīng)歷直觀發(fā)現(xiàn)、直觀分析及直觀解釋等思考，啟迪多元思路，幫助他們理解和接受抽象的內(nèi)容與方法。這樣不僅可以幫助學(xué)生更好地建立起數(shù)與形之間的聯(lián)系，還能促進(jìn)互相轉(zhuǎn)化，讓他們具備較強的問題探究能力。

（三）有利于驅(qū)動學(xué)生掌握科學(xué)方法

幾何直觀能力的培養(yǎng)能驅(qū)動學(xué)生掌握科學(xué)方法，引領(lǐng)他們站在宏觀角度看待數(shù)學(xué)問題，逐漸深化對幾何、數(shù)學(xué)之間關(guān)系的深層認(rèn)知，摸索出解決數(shù)學(xué)問題的多元、有效方法。在具體實踐中，學(xué)生在腦海中內(nèi)化自己見過、想過、分析過的幾何圖形，并生成與之相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，而后基于感知生成創(chuàng)新思維活動，抓住知識本質(zhì)，有效理解并認(rèn)知數(shù)學(xué)知識。整個過程循序漸進(jìn)、融會貫通、舉一反三，逐漸形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及問題解決的標(biāo)準(zhǔn)化思路路徑。教師可以將幾何直觀能力分解為直觀表征、直觀分析、直觀解釋、直觀發(fā)現(xiàn)，再采用符合學(xué)生年齡、認(rèn)知、階段性知識、信息化技術(shù)的教學(xué)方法，不僅能夠推動學(xué)生改變自己的學(xué)習(xí)理念，還能推動學(xué)生分析自己之前學(xué)習(xí)方式的不足，把握更加符合自己個性的科學(xué)學(xué)習(xí)方法。

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力的培養(yǎng)路徑

（一）以直觀表征培養(yǎng)幾何直觀能力

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)更加關(guān)注學(xué)生對書面知識的掌握和認(rèn)知，但是對學(xué)生的思維培養(yǎng)不足，更何況學(xué)生的直觀表征的深度發(fā)展。此外，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生缺乏實際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實踐的機會。將直觀表征融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)，既能改變以上教學(xué)問題，也能促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)幾何直觀能力。直觀表征指的是學(xué)生借助具體的圖形表達(dá)數(shù)學(xué)對象，從“形”的角度產(chǎn)生對知識的多元理解，促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)概念的多維解讀。教師要結(jié)合所教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計與“形”相關(guān)的元素，鼓勵學(xué)生多元辨析，產(chǎn)生視覺上的初步感知，而后基于自身的感知基礎(chǔ)，完成對數(shù)學(xué)對象的多維解讀，以此達(dá)成幾何直觀能力的培育及發(fā)展。

以人教版初中數(shù)學(xué)課本教材第十九章第二節(jié)《一次函數(shù)》為例，其中的重點知識是讓學(xué)生理解一次函數(shù)的概念，并了解一次函數(shù)的基本特征。學(xué)生結(jié)合教材，將了解一次函數(shù)的代數(shù)式為形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）。在指導(dǎo)學(xué)生分析其基本特征時，如果從圖形的角度進(jìn)行直觀表征，教師可以讓他們更好地理解。因此，教師可以讓學(xué)生從以下兩個步驟著手完成直觀表征：

首先，教師可以通過表格直觀展示其基本規(guī)律。教師借助表格，直觀呈現(xiàn)y隨著x增長時，增幅是固定的，讓學(xué)生初步獲得有關(guān)于直觀表征的體驗。

其次，教師可以通過坐標(biāo)圖直觀呈現(xiàn)函數(shù)的規(guī)律。學(xué)生借助表格，已經(jīng)了解到一次函數(shù)中，y隨x增長或下降時，增幅和降幅是固定的這一結(jié)論。隨后，教師可以借助幾何圖形，讓學(xué)生在幾何圖形中看到圖形呈直線變化的規(guī)律，完成深一輪的表征，對“k”和“b”的認(rèn)知更為深層。

教師在引領(lǐng)學(xué)生理解一次函數(shù)基本特征的時候，從表格到圖形逐層遞進(jìn)，直觀化逐漸明顯。學(xué)生能夠更為直觀、具體地分析了一次函數(shù)的本質(zhì)，感知了其內(nèi)涵意蘊。這樣的過程使得學(xué)生的概念理解趨于直觀化、特色化、清晰化，實現(xiàn)了幾何直觀能力的培育及發(fā)展。

（二）以直觀分析培養(yǎng)幾何直觀能力

傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)更加注重教師依賴教材的講解和學(xué)生的綜合記憶，較少給予學(xué)生獨立思考的機會，關(guān)注學(xué)生抽象能力的提升，而往往忽視了數(shù)學(xué)知識與生活實際的聯(lián)系。這樣的教學(xué)不但會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，還會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。直觀分析在初中數(shù)學(xué)知識教學(xué)中的應(yīng)用，不僅能夠改善這樣的情況，還能推動學(xué)生在探索中學(xué)會獨立思考和解決實際問題。因此，教師需要對直觀分析進(jìn)行深度分析。直觀分析指的是學(xué)生借助具體的圖形分析數(shù)學(xué)問題，這一環(huán)節(jié)更加側(cè)重于學(xué)生利用圖形尋求問題解決的基本思路與方法。初中階段的數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，其中涵蓋的數(shù)量關(guān)系比較多。學(xué)生通過圖形，能摒棄無用或干擾的信息，以更為直觀的方式將相關(guān)的數(shù)量關(guān)系系統(tǒng)表現(xiàn)出來，并基于數(shù)量關(guān)系建立起相應(yīng)的模型。這一模型能直觀呈現(xiàn)各種數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生將復(fù)雜的語言文字轉(zhuǎn)換為圖形語言，借此提升他們的幾何直觀能力。

以人教版初中數(shù)學(xué)課本教材第二十四章第二節(jié)《點和圓、直線和圓的位置關(guān)系》為例，由這一知識點延伸出來的綜合性問題難度比較大，教師可以選擇一道比較經(jīng)典的“最值”問題引導(dǎo)學(xué)生完成直觀分析過程。學(xué)生在解答時往往會存有各種各樣的困難，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式完成分析，尋求問題解決的基本思路。

（三）以直觀解釋培養(yǎng)幾何直觀能力

部分學(xué)生很難快速從小學(xué)生的身份朝著初中生的身份轉(zhuǎn)變，而教師又往往更加關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)公式和解題步驟的記憶和推理，沒有重視學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和原理的深度理解和應(yīng)用。如此教學(xué)，不僅會阻礙學(xué)生更加牢固掌握數(shù)學(xué)知識，還會降低初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率。直觀解釋影響下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠改變以上不足，鼓勵學(xué)而思相互交流和討論，拓展學(xué)習(xí)思維。因此，教師需要關(guān)注直觀解釋概念的分析。綜合分析可知，直觀解釋是要讓學(xué)生借助一些圖形，自主描述數(shù)學(xué)結(jié)論或結(jié)果，更加側(cè)重于學(xué)生基于結(jié)論反向推理，完成對知識點的創(chuàng)造性思考，持續(xù)深化他們的知識理解與分析素養(yǎng)。因此，教師可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生利用幾何圖形完成直觀解釋，讓他們創(chuàng)造性地理解并分析數(shù)學(xué)知識點，引發(fā)對知識點的創(chuàng)新思考，促進(jìn)不同知識內(nèi)容的整合與構(gòu)建，讓學(xué)生的幾何直觀思維持續(xù)深化。

以人教版初中數(shù)學(xué)課本教材第十四章第二節(jié)《完全平方公式》為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)中將經(jīng)歷探索完全平方公式的過程。在指導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)時，教師要讓學(xué)生學(xué)會從幾何的角度完成推理，以求邊長為“a+b”正方形面積的方式驗證這一公式，使學(xué)生直觀感受公式的幾何含義，加深對完全平方公式的記憶，借此強化他們的幾何直觀能力。學(xué)生經(jīng)歷了一系列的探究后，能充分認(rèn)知代數(shù)與幾何知識之間的關(guān)系，明晰代數(shù)的抽象性、繁瑣性，能夠借助幾何圖形的方式直觀、形象地展現(xiàn)出來，以此養(yǎng)成以幾何方式解釋代數(shù)知識的意識與理念，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中不斷經(jīng)歷純粹抽象事物的過程。

（四）以直觀發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)幾何直觀能力

傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識之間的聯(lián)系性沒有得到教師的關(guān)注，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的知識存在孤立性，很難推動學(xué)生鞏固和記憶知識。而直觀發(fā)現(xiàn)與初中數(shù)學(xué)知識的有效融合，既能推動學(xué)生將知識串聯(lián)和并聯(lián)起來，也能促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)幾何直觀能力。因此，教師需要對直觀發(fā)現(xiàn)進(jìn)行深度思考。分析可知，直觀發(fā)現(xiàn)是讓學(xué)生借助圖形整體把握所學(xué)知識點，自主生成并得出結(jié)論。學(xué)生在直觀發(fā)現(xiàn)的過程中，能樹立全局思維，能夠根據(jù)具體的結(jié)論構(gòu)建直觀模型，摸索結(jié)論獲得的過程，也可以反向思考，根據(jù)直觀圖形得出結(jié)論。不管是哪一種過程，都能持續(xù)強化學(xué)生的幾何直觀能力，讓學(xué)生經(jīng)歷多元思考與辨析的過程。

以人教版初中數(shù)學(xué)課本教材第一章第五節(jié)《有理數(shù)的乘方》為例，教師可以為學(xué)生出示一道比較經(jīng)典的推理題，讓學(xué)生結(jié)合有理數(shù)乘方的知識點多元思考，得出解決問題的有效結(jié)論。對此，教師可以出示以下推理題：

如圖1所示，將一個邊長為1的正方形分割成七個部分，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，以此類推。

（1）求圖形⑦的面積。

（2）受此啟發(fā)，你是否可以求出的值？

圖1

如上所述，學(xué)生在解答以上問題時，能基于問題中所賦予的直觀特征，明確問題解決的過程。從圖1中可以看出，這一算式所求的就是圖形①②③④⑤⑥的面積之和。很顯然，最后所求的結(jié)論便是。由此，學(xué)生便找到了解決此類問題的方法。直觀發(fā)現(xiàn)往往是學(xué)生在解決問題的基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)，這一過程將持續(xù)深化他們的直覺思維，展現(xiàn)他們創(chuàng)新創(chuàng)造的過程。教師在具體的教學(xué)中要鼓勵學(xué)生積極延展直觀發(fā)現(xiàn)的思維，讓他們在問題解決過程中完成多元、多維且高效的分析，持續(xù)發(fā)展直觀發(fā)現(xiàn)能力，提升學(xué)生的直覺經(jīng)驗，讓學(xué)生的幾何直觀能力得到充分發(fā)展。

四、結(jié)語

綜上所述，在新課改的背景下，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，聚焦新課標(biāo)，明晰初中階段幾何直觀能力的基本內(nèi)涵，從意識理念層面明確初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力培養(yǎng)的價值，并從直觀表征、直觀分析、直觀解釋及直觀分析四個維度出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使得學(xué)生能夠在一系列的學(xué)習(xí)活動中完成多元、多維的知識理解與探索，獲得幾何直觀能力的深層且多元發(fā)展，提升他們的學(xué)科核心素養(yǎng)，滿足初中階段學(xué)生學(xué)科學(xué)習(xí)能力發(fā)展的基本需要。