華秀祥
[摘? 要] “數(shù)學(xué)美”是立體、多元的。從學(xué)習(xí)的視角來(lái)看數(shù)學(xué)美,不能只看到數(shù)學(xué)的“本質(zhì)美”,還要看到數(shù)學(xué)的“育人美”。學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更會(huì)看(觀察)、更會(huì)想(思考)、更會(huì)說(shuō)(表達(dá)),讓自身的成長(zhǎng)更有力量。
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)美;本質(zhì)美;思維;立德樹(shù)人
美是人們對(duì)事物的一種感覺(jué)。希臘語(yǔ)審美(Aesthetikos)原意就是感覺(jué)。對(duì)于美而言,客觀的本質(zhì)屬性就是審美的對(duì)象,能引發(fā)人們從各個(gè)角度觀察與追求:一方面,人們借助數(shù)學(xué)能夠很好地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的那些具體的、具有規(guī)律性的東西。正如馬克思所說(shuō),美的客觀本質(zhì)屬性相對(duì)穩(wěn)定,具有規(guī)律性;另一方面,數(shù)學(xué)本身具有美的本質(zhì)屬性(簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧)。許多數(shù)學(xué)家不僅從邏輯的角度,還從美的角度審視數(shù)學(xué)結(jié)論。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo))規(guī)定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“總目標(biāo)”提出:“對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲,了解數(shù)學(xué)的價(jià)值,欣賞數(shù)學(xué)美,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成質(zhì)疑問(wèn)難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神?!保郏保菘偰繕?biāo)把“欣賞數(shù)學(xué)美”跟“興趣”“信心”“習(xí)慣”等放在了一起,將其列入了“情感態(tài)度與價(jià)值觀”。數(shù)學(xué)美的教學(xué)分布在新課標(biāo)“學(xué)段目標(biāo)”中:一、二年級(jí)“感受數(shù)學(xué)美”,三、四年級(jí)“體驗(yàn)數(shù)學(xué)美”,五、六年級(jí)“體驗(yàn)并欣賞數(shù)學(xué)美”,七、八、九年級(jí)“欣賞并嘗試創(chuàng)造美”。
一、欣賞數(shù)學(xué)的“本質(zhì)美”
愛(ài)因斯坦說(shuō):“美,本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性?!薄吨芤住は缔o》中記載:“易則易知,簡(jiǎn)則易從……易簡(jiǎn)而天下之理得矣?!敝袊?guó)哲學(xué)倡導(dǎo)大道至簡(jiǎn),人們普遍認(rèn)為恰到好處的簡(jiǎn)潔是一種美。數(shù)學(xué)的首要特點(diǎn)就是它的簡(jiǎn)潔性[2]。
“用字母表示數(shù)”主題單元教學(xué)含有字母乘法算式的簡(jiǎn)寫,用含有字母的乘法算式表示數(shù)量關(guān)系比文字簡(jiǎn)單,學(xué)生有深刻的體會(huì)??刹豢梢员硎镜酶?jiǎn)單?面對(duì)教師的問(wèn)題,學(xué)生一臉疑惑,教師用“小度講故事”的形式讓學(xué)生自學(xué)。含有字母乘法算式的簡(jiǎn)寫規(guī)則是本單元教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),學(xué)生單靠自學(xué)肯定不能將知識(shí)內(nèi)化。
首先,讓學(xué)生開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí),組內(nèi)交流自己的收獲;然后,第二組的4個(gè)學(xué)生到講臺(tái)與全班交流,其他5個(gè)小組進(jìn)行補(bǔ)充。在組與組、生與生的思辨中,學(xué)生知道:含有字母的乘法算式,乘號(hào)可以簡(jiǎn)寫成“·”,或者省略不寫。字母和數(shù)字相乘,如果要省略乘號(hào),必須把數(shù)字寫在字母的前面;字母和1相乘時(shí),字母前面的1可以省略不寫;兩個(gè)相同的字母相乘,可以寫成字母的平方,表示兩個(gè)相同的字母相乘。教師讓學(xué)生講述自己的體會(huì),學(xué)生一致認(rèn)同數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔美”。那一刻,數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美已經(jīng)在學(xué)生的心中播下了種子。
學(xué)以致用——教師首先讓學(xué)生把4×a以及正方形周長(zhǎng)(C=4×a)和面積(S=a×a)計(jì)算公式用更簡(jiǎn)單的形式表示,使學(xué)生熟悉簡(jiǎn)寫規(guī)則;然后通過(guò)游戲進(jìn)行深度學(xué)習(xí):要求學(xué)生辨析a+a可不可以簡(jiǎn)寫?如果可以,怎么簡(jiǎn)寫?表示什么意義?它和a×a有什么區(qū)別?教師精準(zhǔn)拋出一系列和字母學(xué)習(xí)主題有關(guān)的深度核心問(wèn)題后,學(xué)生進(jìn)行了熱烈的討論。圍繞這些核心問(wèn)題,學(xué)生能在質(zhì)疑、辯論、反思中感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。
簡(jiǎn)潔美體現(xiàn)了大自然的普遍規(guī)律,這就是大自然的統(tǒng)一性,也是科學(xué)家常說(shuō)的秩序。比如,圓不論大小,周長(zhǎng)與直徑的比都是一個(gè)固定的常數(shù),這個(gè)常數(shù)是一個(gè)不可思議的無(wú)理數(shù)π。比如,多邊形中三角形內(nèi)角和180°,直角三角形的勾股定理,長(zhǎng)方形、平方四邊形、三角形、梯形面積公式統(tǒng)一,長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐體積公式統(tǒng)一,頂點(diǎn)、棱、面?zhèn)€數(shù)關(guān)系的歐拉公式等。正是因?yàn)榇笞匀灰约皵?shù)與圖形的統(tǒng)一性,使人們認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)潔美。
二、把握數(shù)學(xué)的“育人美”
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是“立德樹(shù)人”。讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美不是靠告知和灌輸,而是教師要在單元整體目標(biāo)的引領(lǐng)下創(chuàng)造合適的情境、活動(dòng),運(yùn)用合適的載體,讓學(xué)生在真實(shí)的活動(dòng)中,在與有形之物、無(wú)形之思的碰撞與互動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)的育人美。
數(shù)學(xué)的美是創(chuàng)造,是簡(jiǎn)單中的復(fù)雜,是無(wú)序中的有序。機(jī)械模仿不是美,遷移、應(yīng)用、創(chuàng)新才是美?!坝米帜副硎緮?shù)”一課設(shè)有北京旅游的情境:1個(gè)房間有4張鋪位,2個(gè)房間有4×2=8(張)鋪位,3個(gè)房間有4×3=12(張)鋪位,4個(gè)房間有4×4=16(張)鋪位……這樣的情境機(jī)械重復(fù),學(xué)生憑借已有知識(shí)就能解答,無(wú)法激起興趣。
教師讓學(xué)生用1個(gè)算式概括這里的所有的計(jì)算,于是有學(xué)生提出:可以用a表示房間的數(shù)量,4×a就是一共的鋪位數(shù)。從用具體的數(shù)表示房間的個(gè)數(shù),到用抽象的字母a表示房間的個(gè)數(shù),這是學(xué)生思維一次大的跨越。課堂上部分學(xué)生先是疑惑,聽(tīng)了同伴的解釋后恍然大悟:字母a神通廣大,不僅可以表示1間房,還可以表示2間房,在這里它可以表示任意房間的數(shù)量。這時(shí)有個(gè)學(xué)生補(bǔ)充說(shuō):“這里的字母a雖然神通廣大,但它只能表示1、2、3……這樣的自然數(shù),字母a表示的數(shù)不可能無(wú)限大?!甭?tīng)完他的話,學(xué)生都安靜了下來(lái),他們的思維在飛速運(yùn)轉(zhuǎn),片刻之后有些學(xué)生輕輕點(diǎn)頭表示默認(rèn),用燦爛的笑容為同伴點(diǎn)贊。數(shù)學(xué)思維的美,數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿?,充滿了整個(gè)教室!
教師拋出新的問(wèn)題:“有誰(shuí)能理解他說(shuō)的4×a表示什么意思?”這一次舉手的學(xué)生很多,似乎都理解了。一個(gè)女生說(shuō):“4×a表示鋪位的張數(shù)。”大部分學(xué)生不再舉手,表示同意。只有一個(gè)男生高高舉手,他說(shuō):“這里的4×a 還可以表示鋪位的張數(shù)是房間數(shù)量的4倍?!?/p>
教師裝作不懂,讓他接著解釋:“a是房間的個(gè)數(shù),4×a就表示鋪位數(shù)量是房間數(shù)量的4倍?!甭?tīng)了他的解釋,其他學(xué)生鼓掌表示贊同,教師也笑了,掌聲讓他清楚學(xué)生已經(jīng)掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。教師在黑板上認(rèn)真地板書:4×a既可以表示鋪位數(shù),又可以表示鋪位數(shù)是房間數(shù)的4倍。在鋪位數(shù)的下面標(biāo)注“數(shù)量”,4倍下面標(biāo)注“關(guān)系”,旨在強(qiáng)調(diào)含有字母的乘法算式不但可以用來(lái)表示數(shù)量,而且可以用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。欣賞著黑板上簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)性板書,數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美讓每一位學(xué)生都看得真真切切。
數(shù)學(xué)的美在于通透。通透中見(jiàn)美,是數(shù)學(xué)育人美的重要特征。通透與美總是緊密相連的,唯有通透才能感受到數(shù)學(xué)的美[3]。一節(jié)數(shù)學(xué)課,學(xué)生走進(jìn)教室,40分鐘后走出教室,會(huì)有什么變化?這與教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解是否通透,對(duì)學(xué)生日常經(jīng)驗(yàn)以及在其他情境中已經(jīng)獲得的先前知識(shí)是否了解有關(guān)。教師只有將教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)評(píng)價(jià)和學(xué)生已有認(rèn)知理解通透了,才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的情境化的教學(xué)材料,確立學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生才能在教師的幫助下走向深度學(xué)習(xí),才能感受到數(shù)學(xué)通透的育人美。
蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“可能性”單元例題:口袋里有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球,從口袋里任意摸出1個(gè)球,可能摸出哪種顏色的球?日常經(jīng)驗(yàn)中學(xué)生已經(jīng)知道,可能摸出紅球,也可能摸出黃球。學(xué)生已經(jīng)會(huì)解決的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題,教材到底想讓學(xué)生通透理解什么數(shù)學(xué)知識(shí)?其實(shí)教材是想讓學(xué)生通透理解“隨機(jī)現(xiàn)象”,即在一定條件下,在個(gè)別實(shí)驗(yàn)或觀察中呈現(xiàn)不確定性,但在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)或觀察中其結(jié)果又具有一定規(guī)律性的現(xiàn)象。學(xué)生通過(guò)小組合作,從口袋里隨便摸出1個(gè)球,觀察后放回,一共摸了10次。小組長(zhǎng)記錄10次摸出球的顏色,把6個(gè)小組的摸球情況都一一展示到黑板上。
第1組:黃、黃、黃、黃、黃、黃、紅、黃、黃、黃;
第2組:紅、紅、紅、紅、黃、紅、黃、黃、紅、黃;
第3組:黃、黃、紅、紅、紅、紅、黃、紅、紅、紅;
第4組:紅、黃、紅、黃、黃、黃、紅、紅、黃、黃;
第5組:紅、黃、紅、黃、黃、紅、紅、紅、黃、紅;
第6組:黃、黃、黃、黃、黃、黃、黃、紅、紅、黃。
每個(gè)小組口袋里都是1個(gè)紅球和1個(gè)黃球,可是摸出的結(jié)果卻不一樣。橫向比較,會(huì)發(fā)現(xiàn):第1、6小組到第7、8次才摸到紅球,第2、4、5小組第1次就摸到了紅球,第2小組連續(xù)摸到紅球,可第6小組幾乎到最后才摸到紅球??v向比較,會(huì)發(fā)現(xiàn):同樣都是第一次,2、4、5小組摸到的是紅球,1、3、6小組摸到的是黃球……教師在黑板上整齊展示,讓學(xué)生通透理解“隨機(jī)”的含義:在摸球之前不能確定摸出球的顏色,上一次摸出球的顏色也不能影響下一次摸出球的顏色,任意摸一次的結(jié)果都是隨機(jī)的。
教學(xué)試一試:口袋里有2個(gè)紅球,任意摸出1個(gè)球,可能摸出哪個(gè)球?摸出的一定是紅球嗎?為什么?這個(gè)問(wèn)題學(xué)生回答摸出的一定是紅球,因?yàn)榭诖镏挥屑t球,但少有學(xué)生會(huì)思考得通透,可能摸出左邊的紅球,也可能摸出右邊的紅球。“試一試”教學(xué)的是“確定性現(xiàn)象”,但“確定性現(xiàn)象”中也有“隨機(jī)現(xiàn)象”。一會(huì)兒左邊的紅球,一會(huì)兒右邊的紅球,學(xué)生的理解真能通透嗎?他們會(huì)關(guān)注紅球的左右嗎?大多數(shù)學(xué)生只會(huì)關(guān)注2個(gè)紅球。課堂上教師將口袋里的2個(gè)紅球標(biāo)上1號(hào)和2號(hào),方便學(xué)生準(zhǔn)確記載摸出的是幾號(hào)紅球,這種可視性的標(biāo)簽讓學(xué)生通透理解了“確定性現(xiàn)象”中的“隨機(jī)現(xiàn)象”。摸出的一定是紅色的球,但可能是1號(hào)的紅球,也可能是2號(hào)的紅球,并且它們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是隨機(jī)的。教師在課堂上讓“隨機(jī)現(xiàn)象”“確定性現(xiàn)象”變得可視,變得通透,變得美麗。
三、美美與共,立德樹(shù)人
數(shù)學(xué)的本質(zhì)美與生俱來(lái),它的簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧具有一般性。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合在一起,也是國(guó)際課程的發(fā)展趨勢(shì)。新課標(biāo)豐富了“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容,與跨學(xué)科知識(shí)、歷史文化有機(jī)結(jié)合。數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言,成為人們表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具,與人們的生活息息相關(guān)。
對(duì)稱是物體在某種變換下保持不變的性質(zhì)。圖形中有對(duì)稱美,物體中有對(duì)稱美,代數(shù)中同樣有對(duì)稱美,比如a+b=b+a;a×b=b×a;(a+b)2=a2+2ab+b2中a和b可以交換。對(duì)稱現(xiàn)象在生活中隨處可見(jiàn):埃及的金字塔、西安古城、彩色的蝴蝶、運(yùn)動(dòng)的足球……對(duì)稱給人以平衡、典雅、和諧、穩(wěn)定的感覺(jué),人們逐漸把對(duì)稱演化為美的享受。
自然界有很多周而復(fù)始、綿延不絕的現(xiàn)象,人們稱這樣的現(xiàn)象具有周期性。仰望星空,會(huì)發(fā)現(xiàn)星空圍繞北極星旋轉(zhuǎn)具有周期性;生活在海邊,會(huì)發(fā)現(xiàn)海水潮起潮落的循環(huán)具有周期性;耕種田野,會(huì)感悟季節(jié)春種秋收的交替具有周期性;生活中太陽(yáng)升起落下,日復(fù)一日;月亮陰晴圓缺,月復(fù)一月;氣候四季交替,年復(fù)一年。一年中春夏秋冬四季輪回,一周中星期一到星期日7天循環(huán),一天中24個(gè)小時(shí)不停輪轉(zhuǎn)。數(shù)學(xué)以及生活中處處都有“周期美”。
和諧出自《管子·兵法》:“和合故而能諧”,是指人與人之間配合適當(dāng)、和平共處,人們把和諧作為審美的標(biāo)準(zhǔn)。和諧不等于相等,比如一幅畫包含多種顏色,和諧并不是這幅畫中所有顏色占有相同的面積,而是根據(jù)繪畫的內(nèi)容以及顏色的深淺確定適當(dāng)?shù)谋壤?;把一條長(zhǎng)度為1的直線段分為不相等的2段,長(zhǎng)段為x,短段為1-x,古希臘認(rèn)為最美的比例應(yīng)當(dāng)是長(zhǎng)段/整段=短段/長(zhǎng)段,也就是x∶1=(1-x)∶x,得到方程x2+x-1=0的解x=0.618,這便是數(shù)學(xué)上最美的黃金分割點(diǎn)。
在美的課堂教學(xué)中,學(xué)生結(jié)合這些美的教學(xué)材料,深度走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué):課前學(xué)生會(huì)預(yù)習(xí),課中學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去觀察,課后學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界,讓學(xué)生既能從數(shù)學(xué)的角度去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,又能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題;課前學(xué)生有想法,課中學(xué)生的思維得到提升,課后學(xué)生思考問(wèn)題變得更加全面,尤其是批判性思維的發(fā)展,讓學(xué)生在生活中會(huì)有更多奇妙的創(chuàng)造;課前學(xué)生能用自己的語(yǔ)言表達(dá),課中學(xué)生學(xué)習(xí)用專業(yè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá),課后學(xué)生借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言很好地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中那些具有共性的、規(guī)律性的東西。
美可以陶冶人的道德情操,增加生活樂(lè)趣;美可以改善人的思維品質(zhì),提高行為素養(yǎng)。美的數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更美好,讓學(xué)生的成長(zhǎng)更有力量。數(shù)學(xué)的“本質(zhì)美”與“育人美”二者融合,一切皆美,此乃數(shù)學(xué)美的大境界。
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數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·小學(xué)版2024年2期