巧借數(shù)學(xué)思想 助力復(fù)習(xí)教學(xué)

王冠軍

［摘? 要］ 借助各種數(shù)學(xué)思想助力復(fù)習(xí)教學(xué)，能有效提高復(fù)習(xí)效率。文章以“認(rèn)識(shí)更大的數(shù)”的單元復(fù)習(xí)教學(xué)為例，從五個(gè)方面展開分析：巧借分類思想，梳理復(fù)習(xí)脈絡(luò)；巧借類比思想，發(fā)現(xiàn)知識(shí)聯(lián)系；巧借化歸思想，提煉學(xué)習(xí)方法；巧借整體思想，設(shè)計(jì)題組練習(xí)；巧借數(shù)形結(jié)合思想，提升解題能力。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思想；復(fù)習(xí)；更大的數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是指完成階段性教學(xué)后，教師帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)這一階段所學(xué)內(nèi)容實(shí)施系統(tǒng)性的總結(jié)、歸納，以幫助學(xué)生鞏固提升實(shí)際應(yīng)用能力。復(fù)習(xí)課應(yīng)從宏觀的角度出發(fā)厘清知識(shí)脈絡(luò)，建立知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系，“串珠成鏈”形成知識(shí)板塊，絕不可淺嘗輒止于碎片化的知識(shí)點(diǎn)。事實(shí)證明，教師巧借各種數(shù)學(xué)思想，能有效提升復(fù)習(xí)教學(xué)效率，幫助學(xué)生將零碎的知識(shí)點(diǎn)整合成“知識(shí)樹”。

一、巧借分類思想，梳理復(fù)習(xí)脈絡(luò)

分類思想既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的解題方法。分類思想貫穿學(xué)生整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯，以積零為整或化整為零的形式呈現(xiàn)。分類思想在復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)梳理知識(shí)脈絡(luò)具有重要意義。

單元復(fù)習(xí)內(nèi)容比較雜、多，如果“眉毛胡子一把抓”，難以讓學(xué)生從根本上建構(gòu)完整的知識(shí)架構(gòu)和理解知識(shí)的本質(zhì)。分類思想的介入能將單元知識(shí)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類、整理，幫助學(xué)生更好地理解章節(jié)脈絡(luò)和建構(gòu)完整的認(rèn)知體系。

“認(rèn)識(shí)更大的數(shù)”單元知識(shí)點(diǎn)多且雜，比如包括自然數(shù)、數(shù)位順序以及大數(shù)的讀寫法、比較、改寫、近似值等。如果教師帶領(lǐng)學(xué)生逐個(gè)回顧知識(shí)點(diǎn)的概念并進(jìn)行配套練習(xí)，不僅需要耗費(fèi)大量時(shí)間，而且取得的教學(xué)效果也不理想。學(xué)生在這種模式下進(jìn)行復(fù)習(xí)，只是單純地重復(fù)記憶零碎的知識(shí)點(diǎn)，難以真正實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)的過程性目標(biāo)，更談不上提升學(xué)習(xí)能力。

究竟該如何將本章節(jié)零碎的知識(shí)點(diǎn)“串珠成鏈”，幫助學(xué)生建構(gòu)完整、清晰的知識(shí)脈絡(luò)呢？實(shí)踐證明，分類思想的介入能幫助學(xué)生將孤立、分散的知識(shí)組織成清晰的脈絡(luò)圖。

比如，對(duì)于大數(shù)的認(rèn)識(shí)主要涉及大數(shù)的讀寫、比較等內(nèi)容，教師可引導(dǎo)學(xué)生將相應(yīng)的知識(shí)羅列在一起制作成表格（見表1），讓學(xué)生應(yīng)用分類思想完善對(duì)這部分知識(shí)的認(rèn)識(shí)。這種教學(xué)模式遠(yuǎn)遠(yuǎn)比針對(duì)知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)教學(xué)的效果好。

教師除了利用表格或思維導(dǎo)圖羅列知識(shí)框架，還可以應(yīng)用分類思想對(duì)問題進(jìn)行探索。比如本單元的復(fù)習(xí)，教師可以呈現(xiàn)如下材料，要求學(xué)生根據(jù)材料中涉及的數(shù)分析問題。

材料：聯(lián)合國(guó)人口基金會(huì)發(fā)布的2021年世界人口數(shù)量顯示，截至2021年12月21日，全球人口總數(shù)超過75億人，中國(guó)以1411780000人位居世界第一。其中，中國(guó)人口中有2.91億的學(xué)生，1844.37萬的專任教師……

問題1：材料中呈現(xiàn)了一些什么數(shù)？哪些數(shù)屬于自然數(shù)？（復(fù)習(xí)自然數(shù)）

問題2：可以將材料中呈現(xiàn)的數(shù)進(jìn)行分類嗎？與同桌互相讀一讀、寫一寫各個(gè)數(shù)。（復(fù)習(xí)大數(shù)的讀法與寫法）

問題3：嘗試將材料中的數(shù)進(jìn)行排隊(duì)，并說明這么排的理由。（復(fù)習(xí)大數(shù)大小的比較）

學(xué)生緊緊圍繞材料中的信息進(jìn)行思考，不僅復(fù)習(xí)了自然數(shù)的概念、大數(shù)的讀與寫，還根據(jù)數(shù)位順序進(jìn)行大小的比較等。自然數(shù)、數(shù)位順序、讀寫、大小比較等內(nèi)容，教師均通過一則材料所提供的數(shù)據(jù)一氣呵成地完成了復(fù)習(xí)教學(xué)。

在學(xué)生順利完成以上三個(gè)環(huán)節(jié)后，教師要求學(xué)生將材料中所有的數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一書寫后再次分析，并說明如此分類的具體理由。學(xué)生經(jīng)觀察提出：可根據(jù)整萬、整億、末尾是否為零等標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。

問題4：將“全球人口總數(shù)超過75億人”這里的75億寫成完整的數(shù)，該怎么寫？（大數(shù)改寫的復(fù)習(xí)）

問題5：生活中，若我們對(duì)數(shù)的要求不那么精確，該怎么進(jìn)行簡(jiǎn)便表示？說說你的做法與注意事項(xiàng)。（復(fù)習(xí)大數(shù)近似數(shù)）

一則人口信息材料就能將本章節(jié)的重點(diǎn)知識(shí)羅列到一起進(jìn)分析，每一個(gè)問題都對(duì)應(yīng)了一個(gè)復(fù)習(xí)重點(diǎn)。隨著問題的逐個(gè)突破，學(xué)生成功地將本單元知識(shí)點(diǎn)梳理成知識(shí)脈絡(luò)。知識(shí)間的聯(lián)系與脈絡(luò)梳理是本節(jié)課的“課眼”，學(xué)生緊扣“課眼”將各個(gè)問題分類整理、逐個(gè)擊破、總結(jié)歸納，使得整個(gè)復(fù)習(xí)教學(xué)過程流暢、簡(jiǎn)約而又不簡(jiǎn)單。

二、巧借類比思想，發(fā)現(xiàn)知識(shí)聯(lián)系

類比思想是指對(duì)兩個(gè)或多個(gè)對(duì)象的內(nèi)部屬性或關(guān)系的相似面進(jìn)行分析，推導(dǎo)出它們之間存在的共性特征，或由一個(gè)事物類比出另一事物特征的思維活動(dòng)。類比思想是由已知推測(cè)出未知，它是猜想的前提，而猜想又是發(fā)現(xiàn)的前提。因此，將類比思想應(yīng)用在復(fù)習(xí)教學(xué)中，不僅能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)，還能讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別。

“認(rèn)識(shí)更大的數(shù)”單元的復(fù)習(xí)，大數(shù)改寫和求近似數(shù)的目的與方法具有相似之處，但又是完全獨(dú)立的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，怎樣讓學(xué)生自主精準(zhǔn)辨析出其中的聯(lián)系與區(qū)別呢？教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下思考：改寫大數(shù)和求大數(shù)的近似數(shù)都是為了將數(shù)據(jù)變成以萬（億）為單位的數(shù)，那兩者一樣嗎？哪里不一樣？

通過對(duì)這個(gè)問題的思考與交流，學(xué)生明確：大數(shù)的改寫，其大小不會(huì)發(fā)生變化，只有單位發(fā)生變化。這就相當(dāng)于與別人換零錢，最終換回來的錢數(shù)是相等的，改寫前后的數(shù)用“=”號(hào)相連；求大數(shù)的近似數(shù)是將該數(shù)進(jìn)行四舍五入，即使結(jié)果與原數(shù)據(jù)接近，卻不能用“=”號(hào)連結(jié)，只能用“≈”。

將這兩者放在一起進(jìn)行類比，讓學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念有了明晰的認(rèn)識(shí)。由此可見，類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大法寶，在復(fù)習(xí)教學(xué)中巧借類比思想，能讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，為建立清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

三、巧借化歸思想，提煉學(xué)習(xí)方法

在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生常常會(huì)遇到一些無法直接求解的問題，想要突破這些問題的辦法就是將這些陌生的問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生認(rèn)知范疇內(nèi)的問題來分析，這就是化歸思想的應(yīng)用。巧借化歸思想，可以對(duì)問題條件或結(jié)論進(jìn)行變更，也可以變更問題的形式，同時(shí)借助數(shù)形結(jié)合思想化繁為簡(jiǎn)，促進(jìn)問題的解決。

化歸思想應(yīng)用方法多樣，但不論怎樣轉(zhuǎn)化，都是為了將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單、通透，便于學(xué)生理解?；瘹w思想在復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用，一般要遵循以下幾個(gè)原則：

①熟悉化，即將陌生的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)；②簡(jiǎn)單化，指將問題的解決方案或處理方式變得簡(jiǎn)單；③和諧化，通過對(duì)問題條件或結(jié)論的化歸，讓其形式變得統(tǒng)一，更符合常規(guī)思維；④直觀化，即將一些抽象的問題直觀具體化；⑤正難則反，若從正面難以處理的問題，可從反面去探索。

“認(rèn)識(shí)更大的數(shù)”單元的復(fù)習(xí)，初看毫無章法可言，并且單純的知識(shí)梳理確實(shí)比較棘手。若細(xì)細(xì)琢磨，會(huì)發(fā)現(xiàn)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間有一定的邏輯關(guān)系：這些數(shù)大都為自然數(shù)，從數(shù)位順序出發(fā)，都能準(zhǔn)確地讀寫與比較；想要讓大數(shù)讀、寫起來更加便捷一些，可將它們改寫為以億或萬為單位的數(shù)；求大數(shù)的近似數(shù)與改寫大數(shù)存在類似的目的等。從化歸思想的角度來分析，識(shí)別數(shù)的方法則自然形成。

改寫大數(shù)和求大數(shù)的近似數(shù)的具體目的是什么呢？目的就是讓這些冗長(zhǎng)的大數(shù)變得更加簡(jiǎn)捷和便于讀寫、記憶。如圖1，本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容通過化歸思想可以羅列成一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)圖。

化歸思想的介入，讓學(xué)生對(duì)大數(shù)改寫與求近似值有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，并在大腦中建構(gòu)了一個(gè)完整的方法結(jié)構(gòu)圖，為后續(xù)研究類似問題奠定了方法基礎(chǔ)。化歸思想不僅幫助學(xué)生簡(jiǎn)化復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)，還貫穿數(shù)學(xué)解題的始終，解題是將問題從未知向已知不斷轉(zhuǎn)化的過程。

四、巧借整體思想，設(shè)計(jì)題組練習(xí)

練習(xí)是復(fù)習(xí)課的重要組成部分，是促使學(xué)生從更深層次理解知識(shí)與掌握技能以及發(fā)展數(shù)學(xué)能力的途徑。練習(xí)對(duì)于復(fù)習(xí)課來說，就像新課的總結(jié)一樣，具有“點(diǎn)睛”的功效。對(duì)于“認(rèn)識(shí)更大的數(shù)”復(fù)習(xí)課的題組練習(xí)，一般情況下教師會(huì)做如下設(shè)計(jì)：

1. 猜數(shù)游戲

（1）比最小的六位數(shù)少1的數(shù)是什么？

（2）一個(gè)由3個(gè)百萬、4個(gè)十萬、3個(gè)千組成的數(shù)是什么？

（3）一個(gè)八位數(shù)，最高位上是5，百萬位上是4，百位上是8，其余各位上為0，這個(gè)數(shù)是多少？

2. 數(shù)字組合

將3個(gè)0與3個(gè)7組合成符合如下要求的數(shù)：①最小的六位數(shù)；②最大的六位數(shù)；③讀數(shù)只有一個(gè)零的數(shù)。

3. 猜價(jià)格

若一輛電瓶汽車的價(jià)格經(jīng)過四舍五入后約13萬元，那么這輛車的最高與最低價(jià)格分別是多少？

此練習(xí)題組雖能兼顧到各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但知識(shí)過于零散，學(xué)生很難從整體上把握這部分內(nèi)容。為此，筆者結(jié)合學(xué)情，巧借整體思想做了如下改進(jìn)：

（1）3400006讀作（? ），若去掉其中1個(gè)數(shù)字，讓該數(shù)成為1個(gè)零都不讀的六位數(shù)是（? ），將3400006四舍五入，改寫為以萬為單位的數(shù)是（? ）；

（2）比3400006多2萬的數(shù)是（? ），將3400006去掉1個(gè)數(shù)字，變成1個(gè)最大的六位數(shù)為（? ），四舍五入到萬位約為（? ）；

（3）將一個(gè)數(shù)四舍五入到萬位約為34萬，該數(shù)最大與最小分別是多少？

改進(jìn)后的題組練習(xí)，既兼顧到基礎(chǔ)知識(shí)，又強(qiáng)調(diào)了大數(shù)中“零”的特殊性。一數(shù)多用的方法不僅突破了教學(xué)難點(diǎn)，還讓學(xué)生從整體的角度對(duì)“大數(shù)”有了一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)。尤其是最后一個(gè)問題，對(duì)學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性，這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新意識(shí)具有重要的促進(jìn)作用。

五、巧借數(shù)形結(jié)合思想，提升解題能力

數(shù)形結(jié)合思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從代數(shù)意義與幾何直觀兩個(gè)角度分別進(jìn)行分析，使其數(shù)量關(guān)系和空間形式有機(jī)融合并呈現(xiàn)出來。

數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用，主要分為以下幾種類型：①由形化數(shù)，即觀察直觀的圖形，從其特征中挖掘出數(shù)量關(guān)系，將數(shù)學(xué)事物的本質(zhì)特征展現(xiàn)出來；②由數(shù)化形，即從題意出發(fā)，繪制出與之匹配的圖形，以反映出圖中所傳遞的數(shù)量關(guān)系，具有化繁為簡(jiǎn)、化抽象為直觀的效果；③數(shù)形轉(zhuǎn)換，即將數(shù)形靈活轉(zhuǎn)換，起到揭示數(shù)形關(guān)系的作用。

單元復(fù)習(xí)中的練習(xí)訓(xùn)練，基本都是典型例題與變式訓(xùn)練相結(jié)合的方式。如果沒有數(shù)學(xué)思想方法的介入，學(xué)生很難順利解決所有問題。復(fù)習(xí)過程中的問題比新知教學(xué)時(shí)的問題難度要大一些，對(duì)學(xué)生的思維要求更高，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)解決這些問題有一定的幫助。數(shù)形結(jié)合思想能將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)捷、直觀，為學(xué)生解決綜合性的問題服務(wù)。

例1? 已知一個(gè)數(shù)，通過四舍五入的辦法到萬位大約是23萬，那么這個(gè)數(shù)最小是多少？最大是多少？

僅從這一段文字來看，這個(gè)問題雖然題干簡(jiǎn)單，卻難以讓學(xué)生快速探尋出準(zhǔn)確的答案。

如圖2，若將23萬左右的數(shù)用圖示表達(dá)，則能讓學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)23萬到24萬之間，中點(diǎn)左側(cè)接近23萬處，哪些數(shù)能夠“四舍”到23萬；22萬到23萬之間，中點(diǎn)右側(cè)接近23萬處，哪些數(shù)是可以“五入”至23萬。

通過畫圖、讀圖、分析圖，學(xué)生很快就解決了這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)問題。由此可見，將直觀的“數(shù)軸”應(yīng)用在此題中，不僅彰顯出數(shù)形結(jié)合思想對(duì)復(fù)習(xí)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，還有機(jī)滲透了數(shù)集和直線上點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)夯實(shí)了基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)家拉格朗日提出：若幾何與代數(shù)“分道揚(yáng)鑣”，那么它們的應(yīng)用都會(huì)變得狹窄，進(jìn)展會(huì)變得異常緩慢；而將它們組成搭檔時(shí)，兩者則會(huì)互相吸取對(duì)方的優(yōu)點(diǎn)，彰顯出數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，加快發(fā)展進(jìn)程。雖然小學(xué)階段尚未涉及高深的數(shù)學(xué)內(nèi)容，但教師應(yīng)盡早滲透與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生形成良好的數(shù)形結(jié)合習(xí)慣，這對(duì)學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展具有重要促進(jìn)作用。

總之，學(xué)生在課堂中掌握的知識(shí)隨著時(shí)間的遷移會(huì)逐漸出現(xiàn)遺忘，但受教育過程中獲得的數(shù)學(xué)思想方法、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣、研究問題的基本途徑等不會(huì)隨時(shí)間的流逝而淡化，這些將是促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)。