二次函數(shù)內(nèi)容發(fā)展主線上的連貫性考查

[摘 要] 2023年天津中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)內(nèi)容的試題，綜合了圖形與幾何相關(guān)知識，注重對二次函數(shù)基礎(chǔ)知識的考查，意在加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解和性質(zhì)的運(yùn)用。試題重視函數(shù)與其他知識的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性和整體性，聚焦數(shù)學(xué)思想和方法，要求學(xué)生數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)問題，發(fā)展幾何直觀，提高解決問題的能力。試題命制關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的新變化新要求，進(jìn)行了積極的嘗試和探索。題目搭建了多種解題路徑，為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識、選拔培養(yǎng)創(chuàng)新人才提供了條件。對二次函數(shù)主題內(nèi)容的教學(xué)，要突出主干內(nèi)容，構(gòu)建函數(shù)知識體系，感悟用函數(shù)知識解決問題的思想方法，不斷豐富學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，提升其分析問題和解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；思想方法；推理能力；創(chuàng)新意識

[中圖分類號] G424.74 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1673—1654（2024）02—022—007

函數(shù)是研究運(yùn)動變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系及變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。保持穩(wěn)定，圍繞主線，考查能力，素養(yǎng)導(dǎo)向是中考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)。2023年天津中考數(shù)學(xué)試卷第（25）題，秉持《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）的理念和要求，考查二次函數(shù)的主干知識，強(qiáng)調(diào)知識的關(guān)聯(lián)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，突出考查學(xué)生的思維能力和運(yùn)用知識解決問題的能力，考查目標(biāo)導(dǎo)向核心素養(yǎng)的發(fā)展，有效落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)。在保持近年來命題思路的連續(xù)性和穩(wěn)定性的同時，進(jìn)行了有益的嘗試和探索，表現(xiàn)出一定的創(chuàng)新性。本文主要梳理題目蘊(yùn)含的思想方法和解決策略，力求實(shí)現(xiàn)幫助學(xué)生啟迪思維、提升能力、培育素養(yǎng)的目的。

二次函數(shù)是函數(shù)主題的重要內(nèi)容，其圖象更為復(fù)雜，性質(zhì)也是多方面，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。要充分利用圖象，采用數(shù)形結(jié)合的研究方法研究二次函數(shù)的基本性質(zhì)。二次函數(shù)與一元二次方程、不等式有著密切的聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化地解決問題。要利用二次函數(shù)部分的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步鞏固和加強(qiáng)函數(shù)的知識內(nèi)容及函數(shù)思想，使之深植學(xué)生內(nèi)心深處。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，以下三個方面還存在不足：一是理解二次函數(shù)解析式與拋物線的對應(yīng)關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀能力；二是以二次函數(shù)為工具揭示變化過程中的依賴關(guān)系及變化規(guī)律，發(fā)展抽象能力和推理能力；三是建立二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力。

一、原題呈現(xiàn)

本題設(shè)計了求頂點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及滿足一定條件的動點(diǎn)坐標(biāo)問題，低起點(diǎn)，高立意，拾級而上，把學(xué)生的思考步步引向深入，其中的兩次求動點(diǎn)M的坐標(biāo)，函數(shù)解析式的系數(shù)由具體數(shù)值到一般字母，需要運(yùn)用代數(shù)式表示、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、代數(shù)運(yùn)算及推理等才能解決問題。

二、試題評析

試題以拋物線為背景，并與特殊圖形相結(jié)合，深入探索圖象及圖形的性質(zhì)。第（Ⅰ）問，先是在常數(shù)系數(shù)下求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查圖象的基本性質(zhì)；接下來已知斜線段MN的長，求動點(diǎn)M的坐標(biāo)，需要將斜線段的長轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中豎直線段或水平線段的長；第（Ⅱ）問是前面問題的延續(xù)和深入，已知線段的和求動點(diǎn)M的坐標(biāo)。試題兼顧基礎(chǔ)性和綜合性，要求學(xué)生準(zhǔn)確把握解決問題的思想和方法，特別是用代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)、表示線段的長，將斜線段的長進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程的思想才能夠解決問題。

（一）基于課程標(biāo)準(zhǔn)，考查函數(shù)基礎(chǔ)知識

二次函數(shù)是按照“概念—圖象及性質(zhì)—聯(lián)系—應(yīng)用”的發(fā)展主線來進(jìn)行的，圖象及性質(zhì)是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，與方程、不等式的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)和綜合?！稑?biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“會根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)表達(dá)式化為[y=a（x）-h2+k]的形式，能由此得出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)[1]”等有關(guān)要求。函數(shù)的圖象及性質(zhì)、二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識的掌握，為深入理解函數(shù)的本質(zhì)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他函數(shù)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位，發(fā)展學(xué)生的推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域存在大量培養(yǎng)推理能力的素材，《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“了解代數(shù)推理[1]”的要求。代數(shù)推理以代數(shù)運(yùn)算為基礎(chǔ)，側(cè)重數(shù)與式的運(yùn)算、變形，具有一定的抽象性。初中階段的代數(shù)推理是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標(biāo)結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），或者用代數(shù)方法證明有關(guān)結(jié)論（或說理）[2]，具有計算和推理的雙重特征。從學(xué)生的掌握情況來看，學(xué)生對含有字母、特別是含多個字母的代數(shù)式、等式的恒等變形、等價變形還存在畏難情緒，消元、降次的思想方法、向特定目標(biāo)結(jié)構(gòu)變形的思維方向、運(yùn)算能力還有些不足。本題對代數(shù)推理的有關(guān)要求，進(jìn)行了嘗試和探索。

三、教學(xué)建議

縱觀近些年二次函數(shù)試題，多是代數(shù)與幾何的綜合問題，題目注重“數(shù)”與“形”的和諧統(tǒng)一，重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)和方程等思想方法的運(yùn)用。題目具有基礎(chǔ)性、探究性和挑戰(zhàn)性，全面考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

本題的考查方式通常有三種：一是數(shù)字系數(shù)下考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，如求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最值、與坐標(biāo)軸的的交點(diǎn)；二是字母系數(shù)下考查字母系數(shù)與圖象及性質(zhì)的關(guān)系，更加關(guān)注二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的本質(zhì)屬性；三是與特殊的幾何圖形相融合，加強(qiáng)代數(shù)知識與幾何知識的聯(lián)系和綜合，借助數(shù)式的特性和圖形的特征，探究拋物線及圖形更多更深層次的性質(zhì)[3]。教師要關(guān)注二次函數(shù)多樣性的考查角度，以實(shí)現(xiàn)“教―學(xué)―評”的一致性。試題堅持核心素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向。在教學(xué)工作中，應(yīng)注意以下幾個方面。

（一）突出主干，注重本質(zhì)

從現(xiàn)實(shí)世界實(shí)際問題出發(fā)，抽象出函數(shù)的概念，研究函數(shù)的圖象及性質(zhì)，探究函數(shù)與其他內(nèi)容的聯(lián)系，建立模型運(yùn)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)二次函數(shù)，既要注重函數(shù)的圖象和性質(zhì)，又要注重研究函數(shù)的思路和一般方法。學(xué)生掌握的不應(yīng)僅是枯燥的內(nèi)容，更應(yīng)讓學(xué)生體會靈動的、閃光的思想和方法。二次函數(shù)的解析式、對稱軸公式、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式從數(shù)量的角度揭示了二次函數(shù)的代數(shù)特征，拋物線的頂點(diǎn)、對稱性、變化趨勢直觀表現(xiàn)了圖象的幾何特征，要讓學(xué)生從數(shù)量和圖形兩個角度及其相互聯(lián)系中深入理解二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，深刻體會二次函數(shù)聯(lián)系、變化、對應(yīng)的本質(zhì)特征[4]。在學(xué)業(yè)水平考試評價中，一直堅持重點(diǎn)考查主干知識，考查學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀等，促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生的理性思維。

（二）建構(gòu)體系，整合內(nèi)容

二次函數(shù)、一元二次方程是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它們彼此之間聯(lián)系密切，相互滲透。要發(fā)揮函數(shù)的統(tǒng)領(lǐng)作用，用函數(shù)的觀點(diǎn)居高臨下看方程和不等式，借助它們之間的相互變形與轉(zhuǎn)化來解決問題，要強(qiáng)化學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想分析問題的意識，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他知識奠定基礎(chǔ)。教師要引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)、方程、不等式的有關(guān)內(nèi)容加強(qiáng)聯(lián)系和對比，厘清知識間的區(qū)別和聯(lián)系，以知識結(jié)構(gòu)框圖等方式，自主建構(gòu)有邏輯的知識體系，透徹理解相關(guān)內(nèi)容的整體性、關(guān)聯(lián)性。

（三）感悟思想，發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合地學(xué)習(xí)研究函數(shù)部分的有關(guān)內(nèi)容，其目的是能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題，它直接指向幾何直觀素養(yǎng)的培育和發(fā)展。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分類、具體化、歸納等過程，感悟從函數(shù)的數(shù)量關(guān)系及圖象的幾何特征來刻畫函數(shù)性質(zhì)的方法。中考壓軸題多是函數(shù)與幾何知識的綜合題，更需將形的直觀與數(shù)的精確完美融合才能解決問題，將數(shù)量關(guān)系用“形”直觀表達(dá)，將圖形特征用“數(shù)”精確刻畫，使數(shù)形結(jié)合成為學(xué)生思考問題解決問題的重要方式和手段[5]。圖形（包括函數(shù)的圖象）自然地帶有幾何直觀，數(shù)形結(jié)合、幾何直觀，往往能夠在合情推理與邏輯推理間架起橋梁。從圖形出發(fā)，直觀形象地猜測結(jié)論，想象獲得結(jié)論的途徑，通過符合邏輯的計算和推理（包含代數(shù)推理），來證明結(jié)論的正確。

（四）內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)，提升能力

夯實(shí)必備知識和提升關(guān)鍵能力，是提高教學(xué)效果的重要手段。要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較、思考、歸納、推理等過程，反思解決問題的方法和過程，提煉和體會問題深處存在的規(guī)律，積累和豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，通過經(jīng)驗(yàn)的長期積累和內(nèi)化，在問題解決的活動中提升解決問題的能力，逐步學(xué)會數(shù)學(xué)的觀察、思考與表達(dá)方式，形成帶有數(shù)學(xué)學(xué)科特征的價值觀、思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。

學(xué)生的學(xué)習(xí)行為、解決問題的方式方法是教師教學(xué)行為的直接反映。教師在教學(xué)中要關(guān)注數(shù)學(xué)問題的研究思路、研究脈絡(luò)，學(xué)會分析，學(xué)會思考，教給學(xué)生在面臨新的問題時解決問題的方法。數(shù)學(xué)教學(xué)要以知識為載體，滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下解決問題，良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和品質(zhì)才能根植于學(xué)生的內(nèi)心深處，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)的育人目標(biāo)才能實(shí)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2022：57-62.

[2]錢德春.關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020，（4）中旬：2-3.

[3] 陳莉紅，劉洪居，曹經(jīng)富.關(guān)注新變化 聚焦核心素養(yǎng)：2022年中考“函數(shù)”專題命題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2023，（3）：36-49.

[4] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2022：155-162．

[5] 孫鋒，楊明.注重本質(zhì)理解·強(qiáng)化應(yīng)用意識·導(dǎo)向素養(yǎng)發(fā)展：2022年中考“函數(shù)”專題解題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2023，（1/2）：32-41.

Coherence Examination on the Main Line of the Development of Quadratic Function Content：The Thinking Traits Reflected in Mathematics in the 2023 Tianjin High School Entrance Examination

Bai Shaoqiang

Tianjin Binhai New Area Teacher Development Center，Tianjin，300480

Abstract：Item 25 of the 2023 Tianjin High School Entrance Examination takes the content of quadratic functions as the carrier，integrating knowledge related to graphics and geometry，emphasizing the examination of basic knowledge of quadratic functions，deepening the understanding of the essence of functions and the application of their properties. It pays attention to the internal connection between functions and other knowledge，and pays attention to the structure and integrity of mathematical knowledge content. It focuses on mathematical ideas and methods，studying function problems through a combination of numbers and shapes，developing geometric intuition，and improving students' problem-solving abilities. We have actively attempted and explored the new changes and requirements advocated by the curriculum standards. At the same time，the design of the questions has established various problem-solving paths，providing conditions for cultivating students' innovative awareness and selecting and cultivating innovative talents. For the teaching of quadratic function theme content，we should highlight the main content，build a function knowledge system，comprehend the thinking methods of using function knowledge to solve problems，and continuously enrich students' experience，so as to enhance the ability to analyze and solve problems.

Key words：Combination of Numbers and Shapes，Method of Thinking，Reasoning Ability，Innovation Awareness

（責(zé)任編輯：陳暢）

作者簡介? 白紹強(qiáng)，中學(xué)高級教師，天津市濱海新區(qū)教師發(fā)展中心。天津，300480。