問渠哪得清如許 為有源頭例題來
——例談教材的例題教學(xué)

湯池武

(江蘇省南京市寧海中學(xué),江蘇 南京 210000)

面對(duì)新課標(biāo)、新教材和新高考,老師們都在認(rèn)真研究教材,創(chuàng)新教法,努力轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,著力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng).面對(duì)新課改,老師們?cè)趯?shí)際的教學(xué)過程中,積極努力去創(chuàng)設(shè)問題情境,進(jìn)行體驗(yàn)式教學(xué),突出學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生在情境中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程,取得了非常好的效果.

但是對(duì)于知識(shí)的生長(zhǎng)過程,就知識(shí)的本身應(yīng)用而言,反倒是所花時(shí)間不多,尤其是對(duì)于課本例題的使用,往往有時(shí)一筆帶過,甚至有的老師嫌課本的例題太過簡(jiǎn)單、沒有思維含量等,從而自己另起爐灶,舍本逐末,本末倒置,讓知識(shí)的生長(zhǎng)鞏固失去剛剛開辟的土壤,從而失去了更好的螺旋式發(fā)展機(jī)會(huì),失去了學(xué)科能力和核心素養(yǎng)培養(yǎng)的最佳時(shí)機(jī).

無論是高考還是平時(shí)的模擬,所有的題目都來源于課本,而課本中的例題和習(xí)題是所有題目的母題,更為重要的是,它是知識(shí)落地生根的基礎(chǔ),是學(xué)生鞏固新知識(shí)的利器,更是融合了編者的許多智慧.

針對(duì)蘇教版(2019)新教材,筆者認(rèn)真研讀了每一個(gè)例題和習(xí)題,對(duì)于教材中的例題的作用,有以下一些想法.

1 例題是思維之基——關(guān)聯(lián)前后的思維性

數(shù)學(xué)的例題教學(xué),有時(shí)候不僅是對(duì)本節(jié)內(nèi)容知識(shí)的應(yīng)用,還有許多是對(duì)于前面知識(shí)的呼應(yīng)和后面內(nèi)容的啟發(fā),有時(shí)甚至是對(duì)于后面方法的引導(dǎo).這類例題突顯了強(qiáng)大的思維功能,為后面章節(jié)的學(xué)習(xí)甚至是整個(gè)本章知識(shí)方法應(yīng)用提供很大的幫助,這類例題本身就是非常寶貴的資源庫(kù),我們要注重這些問題的思維含量,這需要我們老師帶領(lǐng)學(xué)生一起去思索、去挖掘,去開發(fā),去感悟,從而真正達(dá)到思維與方法的統(tǒng)一.

例1 利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式:

證明(1)由公式C(α-β)得

本題第(1)小問是對(duì)兩角差的余弦公式的直接應(yīng)用,突出了學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的必要性和作用;對(duì)于第(2)小問,編者設(shè)置的這個(gè)小問,第一個(gè)意圖是參照第(1)小題打開左邊的公式證明即可,為后面的學(xué)習(xí)埋下了伏筆,第二個(gè)意圖是利用兩角余弦的和差公式,第三個(gè)意圖是利用這個(gè)思路和想法為證明兩角和與差的正弦公式提供了方法.

本例題不論是思想上、方法上還是技巧上都突出了本章的主要思想、主要方法和主要技巧,更為后面證明兩角和與差的正弦公式提供了方法,可以看成是本章思想的一個(gè)母題.看似簡(jiǎn)單的一個(gè)例題,其實(shí)蘊(yùn)含無窮的寶藏,在備課的時(shí)候就需要我們老師去挖掘,如果針對(duì)這個(gè)問題,老師們引導(dǎo)得當(dāng),那么對(duì)于后面的學(xué)習(xí)以及后面相關(guān)題目、難點(diǎn)的突破必定有事半功倍的效果.

2 例題是行動(dòng)之策——培養(yǎng)學(xué)生的能動(dòng)性

許多起始章節(jié),在形成數(shù)學(xué)知識(shí)過程中,有許多操作類的例題,尤其是幾何類的知識(shí),其意圖是讓學(xué)生通過自己動(dòng)手去作圖,去理解,去感受知識(shí)的生成過程,去體會(huì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造之美,從而初步形成相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)科素養(yǎng).但有時(shí)面對(duì)這些例題,老師往往是一帶而過或者直接跳過,學(xué)生一開始就失去了自己動(dòng)手感悟和讓知識(shí)生長(zhǎng)的機(jī)會(huì),為后面的學(xué)習(xí)埋下隱患.

例2畫一個(gè)四棱柱和一個(gè)三棱臺(tái).(蘇教版必修二153頁(yè))

本例題是立體幾何初步第一節(jié)的第一個(gè)例題,也是學(xué)生初步學(xué)習(xí)立體幾何的第一個(gè)例題,其重要程度不言而喻.許多老師在此時(shí)的教學(xué)時(shí)不舍得給學(xué)生時(shí)間進(jìn)行操作,覺得對(duì)于圖形尤其是立體圖形的畫法,要求不高,沒有真正體會(huì)編者的良苦用心.本例題作為立體幾何第一個(gè)例題,其目的是讓學(xué)生通過自己的操作去畫棱柱和棱臺(tái)這兩個(gè)圖形(在畫棱臺(tái)的時(shí)候先要畫出棱錐),體會(huì)面動(dòng)成體的過程,進(jìn)而初步形成立體中的直觀想象能力,在整個(gè)過程中,學(xué)生們也可以體會(huì)立體圖形的呈現(xiàn)方式和平面圖形有許多的區(qū)別,對(duì)于立體中線的關(guān)系、平面的位置關(guān)系等,立體中的相關(guān)元素之間的關(guān)系都有了一個(gè)初步的感受,為后面知識(shí)的學(xué)習(xí)提供了保障,這些能力為以后的學(xué)習(xí)和解題提供了幫助.

3 例題是經(jīng)典之題——培養(yǎng)學(xué)生的開放性

許多課本中的例題,都是非常經(jīng)典的例題,反映了這類知識(shí)的應(yīng)用或者是這類問題的一個(gè)經(jīng)典模型.在概率的學(xué)習(xí)過程中,我們知道概率起源于現(xiàn)實(shí)生活中的博弈游戲(賭博),而在現(xiàn)實(shí)生活中,擲骰子是同學(xué)們最熟悉不過的一種游戲(相較于猜正反樣本空間更多,更具有代表性),因此在概率的教學(xué)中,擲骰子是最重要的一個(gè)數(shù)學(xué)模型,也是同學(xué)們必須掌握的概率的一種數(shù)學(xué)模型,因此在概率的第一例題中就介紹了這個(gè)模型:

例3 “拋擲一顆骰子,結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”記為時(shí)間A,分別寫出樣本空間Ω及事件A所包含的樣本點(diǎn).(蘇教版必修二259頁(yè))

對(duì)于這個(gè)例題,本節(jié)后面的例2和例3,以及后面學(xué)習(xí)互斥事件和獨(dú)立事件時(shí)的引例,都是從這個(gè)例題模型出發(fā)得到的,都是要在這個(gè)模型的樣本空間中去討論的,因此這里的這個(gè)例題,是貫穿本章整個(gè)內(nèi)容的一個(gè)典型例題,更是概率的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型.老師在講解的時(shí)候不能因?yàn)楹?jiǎn)單而一筆帶過,應(yīng)該重視起來.重視這個(gè)基本的模型的結(jié)構(gòu),可以適當(dāng)發(fā)散,讓學(xué)生進(jìn)行分析,也可以聯(lián)系后面的教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生在這個(gè)例題中可以盡可能多地對(duì)模型的本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí),那么對(duì)于后面內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)生的思維發(fā)散有非常重要的作用.

4 例題是規(guī)范之本——突出解題的示范性

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí),當(dāng)我們創(chuàng)設(shè)情境帶領(lǐng)學(xué)生感受了知識(shí)的生成過程后,就要應(yīng)用知識(shí)去解決問題.這時(shí),例題是最好的生長(zhǎng)土壤,它不僅完美展示了知識(shí)的初步應(yīng)用,而且強(qiáng)調(diào)了怎樣用嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語言來表達(dá),這也是數(shù)學(xué)所培養(yǎng)的能力之一.而課本中的例題,大多數(shù)都是在知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用中展示該類問題嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范的數(shù)學(xué)語言示范.

本例題是兩角和與差的余弦本節(jié)的例3,也是本章最重要、最典型的一類問題,是本章已知三角函數(shù)值求另外三角函數(shù)值的母題.作為例題展示了兩角和與差公式求值的應(yīng)用,突出公式的應(yīng)用技巧,更多的目的是給這類問題提供了更加簡(jiǎn)潔的書寫規(guī)范.

如由 sinα求cosα?xí)r,既簡(jiǎn)潔明了,又體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯推理,在最后求解的時(shí)候?qū)懗龉讲⒋胗?jì)算,使整個(gè)過程更加重點(diǎn)突出、層次分明、詳略得當(dāng),給學(xué)生做了非常好的示范作用.

5 例題是應(yīng)用之道——呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性

新課標(biāo)和新教材更加突顯數(shù)學(xué)的情境背景,更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.對(duì)于應(yīng)用章節(jié)中的許多例題,一些計(jì)算數(shù)據(jù)看似不太完美或者難以計(jì)算,但卻是現(xiàn)實(shí)背景、真實(shí)數(shù)據(jù)并來源于生活實(shí)際,有些老師往往以數(shù)據(jù)不好或者調(diào)整數(shù)據(jù)等原因忽略或者輕視這些問題,浪費(fèi)了這么寶貴的實(shí)際應(yīng)用問題,從而喪失了培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)學(xué)科素養(yǎng)的最好的催化劑.

例5A,B兩地之間隔著一個(gè)水塘(如圖1),現(xiàn)選擇另一點(diǎn)C,測(cè)得CA=182 m,CB=126 m,∠ACB=63°,求A,B兩地之間的距離(精確到1 m).(蘇教版必修二92頁(yè))對(duì)于該問題,許多老師會(huì)因?yàn)楸绢}過于簡(jiǎn)單或者數(shù)據(jù)不好而略過這個(gè)例題換其他例題,也有些老師會(huì)修改一下角度值讓學(xué)生去計(jì)算,這兩種處理該例題的方式都沒有體會(huì)教材編寫者的真實(shí)意圖.雖然這個(gè)數(shù)據(jù)不是很好(從計(jì)算角度),但該例題在這里有非常重要的作用.首先是回歸到現(xiàn)實(shí)情境,回應(yīng)本章開頭的如何測(cè)量河流兩個(gè)碼頭之間的距離問題,充分說明了余弦定理的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性,而對(duì)于不太好的角度這個(gè)數(shù)據(jù),其實(shí)也是真實(shí)情境的數(shù)學(xué)表現(xiàn),利用這些數(shù)據(jù)去計(jì)算就需要我們通過查表、計(jì)算器等相關(guān)工具求解,更加符合現(xiàn)實(shí)意義,從而可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng).

圖1 例5題圖

6 例題是發(fā)展之本——展示主干知識(shí)的基礎(chǔ)性

新教材中,對(duì)于許多平時(shí)應(yīng)用比較廣泛的定理和常見結(jié)論,往往不是以定理的形式出現(xiàn),而是以例題或習(xí)題中出現(xiàn).通過例題的形式來介紹這些相關(guān)的定理和結(jié)論,這樣的例題可以大大減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),更好地突出基本定理的主體地位,更好地說明了知識(shí)的基礎(chǔ)性和例題的重要性,讓學(xué)生通過解決例題去得到一些常見結(jié)論,讓他們?cè)诶}中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)結(jié)論之間的相互延展,從而更深層次體會(huì)主干知識(shí)的基礎(chǔ)性.

例6 已知AC,AB分別是平面α的垂線和斜線,C,B分別是垂足和斜足,a?α,a⊥BC.

求證:a⊥AB.(蘇教版必修二183頁(yè))

這個(gè)例題在其他教材上是作為定理出現(xiàn)的,而在這里作為例題出現(xiàn).本例題主要目的是讓學(xué)生通過例題總結(jié)歸納證明線線垂直的方法——找線面垂直——利用線線垂直;這種證明的思路是立體幾何中證明線面垂直、線線垂直最基本的方法;本題也是在介紹線面角知識(shí)后的例題,蘊(yùn)含了利用幾何法如何去做出線面角的方法,充分培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).作為例題讓學(xué)生去證明該結(jié)論,更加強(qiáng)調(diào)立體幾何中公理、定義等的基礎(chǔ)性,從而更好地提升學(xué)生的邏輯推理能力.

7 結(jié)束語

面對(duì)新教材,我們不僅僅要重點(diǎn)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生過程,更要重視知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),認(rèn)真揣摩例題等背后所蘊(yùn)含的知識(shí)、能力、方法和素養(yǎng)資源.在來源于課本的同時(shí)高于課本,在講授例題的同時(shí)挖掘內(nèi)涵,相信這些例題一定會(huì)成為教學(xué)的源源活水,讓學(xué)生醍醐灌頂!